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Barometrische Höhenformel

Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Wetterdynamik innerhalb der unteren Atmosphäre nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann.

 Rechenformular

In der einfachsten Form kann grob angenommen werden, dass der Luftdruck in der Nähe des Meeresspiegels um ein Hektopascal [hPa] je acht Meter Höhenzunahme abnimmt.

Die Thermische Zustandsgleichung idealer Gase beschreibt, wie Druck, Dichte und Temperatur der Atmosphäre miteinander gekoppelt sind. Wenn zwei der Werte bekannt sind, kann der dritte daraus berechnet werden. Aufgrund der Erdbeschleunigung wird die Atmosphäre immer dichter, je weiter man sich der Erdoberfläche nähert. Die Dichte ist aber auch von der Temperatur abhängig, welche nicht so einfach berechnet werden kann. Es wird im Standardmodell daher ein mittlerer gemessener Temperaturverlauf festgelegt. Damit kann dann die Dichte und der Druck in Abhängigkeit der Höhe (bzw. Temperatur) eindeutig berechnet werden.

Temperatur

Das in der Luftfahrt verwendete Modell der Standardatmosphäre teilt die Atmosphäre in verschiedene Luftschichten mit jeweils linearem Temperaturverlauf ein. Der Temperaturverlauf in einer dieser Luftschichten wird mittels des Temperatur-Gradienten αi beschrieben. Die Temperatur in einer beliebigen Höhe kann daraus folgendermassen berechnet werden:

(1)
wobei'
' =' 'Temperatur in der Höhe h in Kelvin
' =' 'Temperatur in einer Bezugshöhe (z.B. Meereshöhe)
' =' 'Temperatur-Gradient in der i-ten Schicht in K/m (Kelvin pro Meter)
' =' 'Höhe in m
' =' 'Bezugshöhe (Meereshöhe = 0 m)

Den Temperatur-Gradienten und die Referenzwerte können aus der Tabelle weiter unten auf der Seite herausgelesen werden.

Luftdruck

Bei den Formeln für Luftdruck und Luftdichte muss zwischen zwei Fällen unterschieden werden. In Luftschichten mit konstanter Temperatur (isotherm) gilt eine andere Formel als in Schichten mit linearem Temperaturverlauf. [1] [2]:

Linearer Temperaturverlauf

Ab Meereshöhe href = 0 m bis auf eine Höhe von h = 11 km ist der Temperaturverlauf annähernd linear. Die Formel für den Luftdruck, wenn die Temperatur sich linear mit der Höhe ändert, lautet:

(3)
mit
wobei'
' =' 'statischer Druck in der Höhe h in N/m2
' =' 'statischer Druck auf der Referenzhöhe href. Für href = 0 m (Meereshöhe) ist pref = 101 325 N/m2 bzw. Pa
' =' 'Temperatur auf der Referenzhöhe href. Für href = 0 m (Meereshöhe) ist Tref = 288,15 K (15 °C)
' =' 'Temperatur-Gradient = −0,0065 K/m
' =' 'Höhe über Meer in Metern von 0 m bis 11 000 m
' =' 'Referenzhöhe. Für Meereshöhe ist href = 0 m
' =' 'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft = 28,9644 g/mol
' =' 'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s2
' =' 'universelle Gaskonstante = 8,314 46 J/(mol·K)
' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Setzt man die Referenzhöhe auf Meereshöhe href = 0 m und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur Tref = 15°C = 288,15 K, Luftdruck pref = 1013,25 hPa, Temperaturgradient α = −0,0065 K/m), so erhält man die Internationale Höhenformel für die Troposphäre (gültig bis h = 11 km Höhe):

Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands lediglich eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird.

Die Referenzwerte können aus der Tabelle weiter unten auf der Seite abgelesen werden.

Isotherm

Ab einer Referenzhöhe von href = 11 km bis in eine Höhe von h = 20 km ist die Luft-Temperatur konstant Tref. Die Formel für den Luftdruck, wenn die Temperatur konstant ist, lautet:

(2)
mit
wobei'
' =' 'statischer Druck in der Höhe h in N/m2
' =' 'statischer Druck auf der Referenzhöhe href in N/m2
' =' 'Höhe über Meer in Metern
' =' 'Referenzhöhe, ab der die Temperatur konstant bleibt
' =' 'universelle Gaskonstante = 8,314 46 J/(mol·K)
' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)
' =' 'Temperatur ab der Referenzhöhe href in Kelvin
' =' 'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft = 28,9644 g/mol
' =' 'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s2

Die Referenzwerte können aus der Tabelle weiter unten auf der Seite abgelesen werden.

Luftdichte

Die Dichte kann nach folgender Formel aus Druck und Temperatur berechnet werden. Da der Druck p(h) vom verwendeten Modell (isotherm (2) oder linearer Temperaturverlauf (3)) abhängig ist, gilt dies auch für die Dichte:

(4)
wobei'
' =' 'Dichte in der Höhe h in kg/m3
' =' 'statischer Druck in der Höhe h in N/m2
' =' 'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft = 28,9644 g/mol
' =' 'universelle Gaskonstante = 8,314 46 J/(mol·K)
' =' 'Temperatur in der Höhe h in Kelvin
' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Die molare Masse ist generell von der Luftzusammensetzung abhängig, die sich in verschiedenen Höhen ändert. Für Höhen bis 100 km kann die Zusammensetzung jedoch als konstant angenommen werden.

Schichtenmodell

Da im Standardmodell der Atmosphäre zwischen isothermen Höhenschichten und Schichten mit linearem Temperaturverlauf unterschieden wird, gibt es auch zwei Gruppen von entsprechenden Formeln:

Linearer Temperaturverlauf

Isotherm (T = const.)

(5)
(6)
mit
(7)
wobei'
' =' 'statischer Druck in der Höhe h in N/m2
' =' 'statischer Druck auf Referenzhöhe href in N/m2
' =' 'Dichte in der Höhe h in kg/m3
' =' 'Dichte auf Referenzhöhe href in kg/m3
' =' 'Höhe über Meer in Metern
' =' 'Referenzhöhe in Metern
' =' 'Referenz-Temperatur in Kelvin
' =' 'Temperatur-Gradient der Schicht i in K/m
' =' 'Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe = 9,806 65 m/s2
' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/(kg·K)

Anwendung

Um den statischen Luftdruck, die Luftdichte oder die Temperatur der Luft in einer bestimmten Höhe nach dem Standardmodell zu bestimmten, geht man folgendermassen vor:

  1. Suche in der Tabelle unten die zur Höhe passende Höhenschicht
  2. Verwende nur Werte aus der passenden Zeile der Tabelle!
  3. Schaue bei der Spalte αi, ob diese Höhenschicht isotherm ist oder nicht
  4. Verwende nur die Formeln der entsprechenden Spalte oben (isotherm oder linearer Temperaturverlauf)
  5. Setze in den obigen Formeln die Referenzwerte der passenden Zeile der Tabelle unten ein und berechne damit Druck, Dichte und Temperatur

Für Berechnungen kannst du das Rechenformular dieser Seite verwenden.

Referenzwerte

Für die Luftschichten des Standardmodells ergeben sich die folgenden Referenzwerte:

i Höhenschicht [m] href [m] αi [K/m] Tref [K] ρref [g/m3] pref [Pa]
0 0 - 11 000 0 −0,0065 288,15 1225,00 101 325
1 11 000 - 20 000 11 000 0,0 216,65 363,918 22 632,1
2 20 000 - 32 000 20 000 0,001 216,65 88,0348 5474,89
3 32 000 - 47 000 32 000 0,0028 228,65 13,2250 868,019
4 47 000 - 51 000 47 000 0,0 270,65 1,427 53 110,906
5 51 000 - 71 000 51 000 −0,0028 270,65 0,861 605 66,9389
6 71 000 - 84 852 71 000 −0,0020 214,65 0,064 2110 3,956 42

Obige Tabelle entspricht der Tabelle der Seite Standardatmosphäre.

Rechenformular

Das folgende Rechenformular funktioniert bis in eine Höhe von h84 852 m mit einer Genauigkeit von 5 Stellen. Die Werte werden mit den Formeln dieser Seite berechnet, d.h. es wird mit dem Schichtenmodell gerechnet.

Das Script zum Rechenformular findest du hier.

Quellen

Formelsammlung Hydrostatik - Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Hydrostatik
Barometrische Höhenformel - Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Barometrische_H%C3%B6henformel
Weitere Infos zur Seite
Erzeugt Sonntag, 29. Juni 2014
von wabis
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Geändert Sonntag, 27. Oktober 2019
von wabis