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Berechnung von Schub und Gegenschub

Für die Berechnung des Bremsweges eines Flugzeugs benötige ich ein einfaches mathematisches Modell eines Turbofan-Triebwerkes, welches Schub und Gegenschub in Abhängigkeit von N1 (Drehzahl des Fan) und der Geschwindigkeit des Flugzeugs liefert. Aus Triebwerks-Kennzahlen und Zusammenhängen zwischen Triebwerks-Parametern leite ich ein Modell mit entsprechenden Formeln her.

Im Gegensatz zu Triebwerk-Simulationsprogrammen, welche alle internen Parameter berechnen, brauche ich nur ein vereinfachtes Modell, welches mir den Zusammenhang zwischen N1, Geschwindigkeit des Flugzeugs und resultierendem Schub liefert und das Ganze nur für Standardatmosphäre auf Meereshöhe. Interne Parameter werden nicht simuliert sondern durch vereinfachte Formeln approximiert, soweit die Parameter für die Berechnung des Schubes benötigt werden.

Formel für die Schubkraft

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ZoomInformationen zum BildQuerschnitt durch ein zweiachsiges Turbofan-Triebwerk

Die totale Schubkraft F (Netto Schubkraft) eines Triebwerks ist abhängig von internen Faktoren wie der Verteilung des Luftmassenflusses {\dot m}_0 im Triebwerk, der Geschwindigkeiten vi dieser Luftströmungen und externen Faktoren wie der Geschwindigkeit v0 des Flugzeugs und Eigenschaften der Luft wie Druck, Temperatur und Luftdichte.

Die Schubkraft Fi ist das Produkt von Luftmassenstrom {\dot m}_i (Luftmasse, die in einer bestimmten Zeit ausgestossen wird) und der Geschwindigkeit vi der enstprechenden Luftmasse:

(1)
F_i = {\dot m}_i \cdot v_i

Durch den inneren Aufbau eines Triebwerks ergibt sich daraus die folgende allgemeine Formel für den Schub eines Turbofan-Triebwerks [1]:

(2)
F = \big [ F_1( v_0 ) \big ] + \big [ F_2( v_0 ) \big ]
F = \big [ \dot m_1 \cdot ( v_1 - v_0 ) + \color{red}{ ( \dot m_\mathrm{B} - \dot m_\mathrm{Z} ) \cdot v_1 + A_1 \cdot ( p_1 - p_0 ) } \big ] + \big [ \dot m_2 \cdot ( v_2 - v_0 ) \big ]

Für ein vereinfachtes Modell können folgende Annahmen und Vereinfachungen getroffen werden:

  • Der Druck p1 in der primären Schubdüse entspricht dem Umgebungsdruck: p1 = p0.
  • Die Massenstromanteile von Brennstoff {\dot m}_\mathrm{B} und Zapfluft {\dot m}_\mathrm{Z} werden vernachlässigt.

Damit vereinfacht sich die Schub-Formel (2) zu:

(3)
F(v_0) = F_1(v_0) + F_2(v_0) = {\dot m}_1 \cdot (v_1 - v_0) + {\dot m}_2 \cdot (v_2 - v_0)
wobei'
F(v_0) ' =' 'Totale Schubkraft in Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Flugzeugs v0
F_1(v_0) ' =' 'Schubkraft-Anteil des Kerntriebwerks
F_2(v_0) ' =' 'Schubkraft-Anteil des Fan
{\dot m}_1 ' =' 'Massenfluss durch das Kerntriebwerk
{\dot m}_2 ' =' 'Massenfluss des Sekundärkreises (Fan)
v_0 ' =' 'Geschwindigkeit des Flugzeugs (True Air Speed TAS) = Geschwindigkeit der Luft beim Triebwerkseintritt
v_1 ' =' 'Geschwindkeit der Luft beim Austritt am Kerntriebwerk relativ zum Triebwerk
v_2 ' =' 'Geschwindigkeit der Luft beim Fan-Austritt relativ zum Triebwerk

Schubberechnung des Fans

Das Manteltriebwerk hat keinen eigenen Antrieb, sondern wird vom Kerntriebwerk mit angetrieben. Das Manteltriebwerk funktioniert daher wie ein Propeller.

Wenn man sich die Schubberechnung eines Propellers ansieht, fällt auf, dass in diesen Formeln der Unterschied des Staudrucks vorkommt. Allerdings erkennt man nach einigem Unformen der Formel, dass dieser Staudruck-Unterschied bereits in Massenfluss \dot m_2 und Luftgeschwindigkeit vfan berücksichtigt sind. Daher kommen für das Mateltriebwerk keine solchen Drücke mehr in der Schubformel vor.

Hier die Formeln für die Schubberechnung eines Propellerantriebes mit Hilfe der Formeln für ideale Gase [2]:

(4)
F_2 = A \cdot ( p_\mathrm{t2} - p_\mathrm{t0} ) = A \cdot \left[ \left( p_0 + { 1 \over 2 } \cdot \rho \cdot { v_2 }^2 \right) - \left( p_0 + { 1 \over 2 } \cdot \rho \cdot { v_0 }^2 \right) \right] =
(5)
F_2 = \rho \cdot A \cdot { 1 \over 2 } \cdot \left( { v_2 }^2 - { v_0 }^2 \right)
wobei'
F_2 ' =' 'Schub des Propellers bzw. Fan-Triebwerks
A ' =' 'Propeller- bzw. Fan-Fläche
\rho ' =' 'Luftdichte
p_0 ' =' 'statischer Umgebungsdruck
p_\mathrm{t0} ' =' 'Staudruck vor dem Fan-Triebwerk
p_\mathrm{t2} ' =' 'Staudruck hinter dem Fan-Triebwerk
v_0 ' =' 'Geschwindigkeit der Luft vor dem Fan-Triebwerk relativ zum Triebwerk
v_2 ' =' 'Geschwindigkeit der Luft hinter dem Fan-Triebwerk relativ zum Triebwerk

Aus der Formel für den Schub (3) wissen wir, dass der Schub vom Massenfluss und der Geschwindigkeitsänderung der Luft abhängig ist:

(6)
F_2 = \dot m_2 \cdot ( v_2 - v_0 )

Der Massenfluss durch das Manteltriebwerk ist konstant:

(7)
\dot m_2 = \rho \cdot A \cdot v_\mathrm{fan}
wobei'
\dot m_2 ' =' 'Massenfluss durch das Fan-Triebwerk
\rho ' =' 'Luftdichte
A ' =' 'Propeller- bzw. Fan-Fläche
v_\mathrm{fan} ' =' 'Geschwindigkeit der Luft beim Fan

Setzen wir dies in (6) ein und setzen dies gleich (5):

(8)
F_2 = \color{red}{ \rho \cdot A } \cdot v_\mathrm{fan} \cdot ( v_2 - v_0 ) = \color{red}{ \rho \cdot A } \cdot { 1 \over 2 } \cdot \left( { v_2 }^2 - { v_0 }^2 \right)

Durch ρ und A dividieren und nach vfan auflösen ergibt:

(9)
v_\mathrm{fan} = { { v_2 }^2 - { v_0 }^2 \over 2 \cdot ( v_2 - v_0 ) } = { ( v_2 + v_0 ) \cdot ( v_2 - v_0 ) \over 2 \cdot ( v_2 - v_0 ) } =
(10)
v_\mathrm{fan} = { v_2 + v_0 \over 2 }

Die Geschwindigkeit der Luft beim Fan ist also der Mittelwert der Geschwindigkeiten vor und nach dem Triebwerk!

Damit können wir die Propeller-Formel (5) in die Schubformel (6) umformen:

(11)
F_2 = \rho \cdot A \cdot { 1 \over 2 } \cdot \color{blue}{ \left( { v_2 }^2 - { v_0 }^2 \right) }

Das blaue Binom erweitern:

(12)
F_2 = \rho \cdot A \cdot \color{magenta}{ { 1 \over 2 } \cdot ( v_2 + v_0 ) } \cdot ( v_2 - v_0 )

Der farbige Term ist gerade die Geschwindigkeit vfan:

(13)
F_2 = \color{ blue }{ \rho \cdot A \cdot v_\mathrm{fan} } \cdot ( v_2 - v_0 )

Der blaue Term ist der Massefluss \dot m_2:

(14)
F_2 = \dot m_2 \cdot ( v_2 - v_0 ) \qquad\leftrightarrow\qquad F_2 = \rho \cdot A \cdot { 1 \over 2 } \cdot \left( { v_2 }^2 - { v_0 }^2 \right)

Wir sehen, dass die in der Propeller-Formel vorkommenden Staudrücke in obiger Formel enthalten sind.

Die Druckunterschiede, die für das Kerntriebwerk berücksichtigt werden müssen, sind eine Folge des Verbrennungsprozesses und der Form des Triebwerks. Da im Fan-Teil des Triebwerks keine Verbrennung stattfindet und dieser Teil des Triebwerks praktisch offen ist, gibt es keine zusätzlich zu berücksichtigenden Drücke, welche nicht bereits in obiger Formel enthalten sind.

Die Düse eines (Kern-)Triebwerks wird übrigens so gestaltet, dass der Luftdruck am Austritt dem Umgebungsdruck entspricht. Dadurch wird die höchste Geschwindigkeit der Luft beim Austritt erreicht. Daher kann der Druck-Term in der Schubformel für das Kerntriebwerk vernachlässigt werden.

Einfluss von Geschwindigkeit, Luftdichte und Temperatur auf den Schub

(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildEinfluss von Geschwindigkeit und Staudruck auf den Schub eines Triebwerks [3]

Die obige Formel (14) gilt nur angenähert für Standardatmosphäre und Geschwindigkeiten unter Mach 0,3. Die Massenflüsse und Strömungsgeschwindigkeiten durch das Triebwerk hängen von auch äusseren Einflüssen wie Geschwindigkeit des Flugzeugs, Luftdichte und Temperatur ab. Luftdichte und Temperatur hängen von Wetterbedingung und Flughöhe ab. Fliegt das Flugzeug schnell genug (mehr als Mach 0,3), so macht sich die Kompressibilität der Luft bemerkbar, indem die Luftdichte und Temperatur erhöht werden, je schneller das Flugzeug fliegt.

Informationen zum BildSchub als Funktion von Geschwindigkeit für verschiedene Bypass-Werte [4]

Die Einflüsse wirken wiefolgt:

Je höher das Flugzeug fliegt, umso niedriger werden Luftdichte und Temperatur, bis zu einer Höhe von 11 km. Zwischen 11 km und 20 km Höhe bleibt die Temperatur konstant, wogegen die Luftdichte weiter abnimmt. Für Berechnungen von Druck, Luftdichte und Temperatur in bestimmten Höhen siehe Schichtenmodell (Ziel-SeiteBarometrische Höhenformel).

Der Brutto-Schub des Triebwerks nimmt proportional mit der Luftdichte ab. Niedrigere Temperturen erhöhen die Leistung leicht. Der Brutto-Schub nimmt unter diesen Einflüssen insgesamt mit der Flughöhe erheblich ab (ca. 55% Schub bei 11 km Höhe).

Wenn ein Flugzeug schnell fliegt, staut sich die Luftmasse vor dem Flugzeug. Man spricht vom Staudruck (dynamic pressure). Dieser erhöht die lokale Luftdichte und Temperatur vor dem Flugzeug umso mehr, je näher sich die Fluggeschwindigkeit der Schallgeschwindigkeit nähert. Diese Erhöhung der Luftdichte aufgrund des Staudrucks erhöht die Leistung der Gasturbine. Bei einem reinen Turbojet Triebwerk (Triebwerk ohne Bypass, also ohne Fan) wird die Leistung soweit gesteigert, dass der Verlust aufgrund der Geschwindigkeitsdifferenz von Flugzeug und Abgasstrahl (Formel (14)) kompensiert wird. Bei einem Turbojet Triebwerk wird daher gesagt, der Schub hänge praktisch nicht von der Fluggeschwindigkeit ab.

Bei einem Turbofan-Triebwerk mit seinem grossen Bypass-Verhältnis trägt die Gasturbine, also das Kerntriebwerk, nur einen Bruchteil zum Schub bei. Nur das Kerntriebwerkt erhöht seine Leistung aufgrund des Staudrucks erheblich. Der Fan steigert seine Leistung mit der Geschwindigkeit nur in dem Verhältnis, wie es der Zunahme der Luftdichte aufgrund der Geschwindigkeit (Zunahme des Staudrucks) entspricht. Daher nimmt der kombinierte Netto-Schub von Kerntiebwerk und Fan im Vergleich zu einem reinen Turbojet Triebwerk mit der Geschwindigkeit trotzdem ab, wenn auch nicht so stark wie ohne Berücksichtigung des Staudrucks. Je grösser das Bypass Verhältnis, umso grösser die Abnahme. Die Abnahme des Nettoschubs liegt bei einem Turbofan-Triebwerk irgendwo zwischen dem mit der Formel (14) berechneten Wert und dem entsprechenden Standschub, siehe Bild. [4]

Da ich in dieser Arbeit nur ein Triebwerks-Modell für Geschwindigkeiten unter 200 kt benötige, kann ich obige Einflüsse vernachlässigen.

Formel für den Gegenschub

Informationen zum BildSchnittbild Triebwerk im Umkehrschub-Betrieb

Wenn Gegenschub gegeben wird (Reverse Thrust), wird der Fan-Massenstrom {\dot m}_2 in einem bestimmten Winkel θ seitwärts nach vorne abgelenkt (siehe Bild).

Der Massenstrom {\dot m}_1 des Kerntriebwerks wird weiterhin nach hinten ausgestossen und erzeugt den Schubanteil F1.

Der vom Fan-Massenstrom erzeugte Schubanteil F2 wirkt nur teilweise nach vorne als Gegenschub. Der als Gegenschub anrechenbare Anteil F2,x beträgt:

(15)
F_{2,\mathrm{x}} = F_2 \cdot \cos\theta
wobei'
F_{2,\mathrm{x}} ' =' 'Gegenschubkraft als Anteil von F2 in Fahrtrichtung
F_2 ' =' 'Totale Schubkraft vom Fan
\theta ' =' 'Ausstosswinkel der Luftmasse des Fan (60 Grad)

Da cos(θ) = 0,5 ist, wirkt nur die halbe vom Fan erzeugte Schubkraft als Gegenschub. Der vom Kerntriebwerk erzeugte Schub F1 wirkt weiterhin nach hinten und schwächt dadurch den Gegenschub. Tatsächlich resultiert nur dann ein bremsender Netto-Schub, wenn F2,x grösser als F1 ist.

Die Formel für den Gegenschub lautet:

(16)
F_\mathrm{rev}(v_0) = F_1(v_0) - F_{2,\mathrm{x}}(v_0) = {\dot m}_1 \cdot (v_1 - v_0) - {\dot m}_2 \cdot ( \cos\theta \cdot v_2 + v_0)
wobei'
F_\mathrm{rev}(v_0) ' =' 'Totale Schubkraft (negativ wenn F2,x > F1)
F_1(v_0) ' =' 'Schubanteil des Kerntriebwerks
F_{2,\mathrm{x}}(v_0) ' =' 'X-Komponente des Fan-Schubs = Gegenschub-Anteil
{\dot m}_1 ' =' 'Massenfluss durch das Kerntriebwerk
{\dot m}_2 ' =' 'Massenfluss des Sekundärkreises (Fan)
v_0 ' =' 'Geschwindigkeit des Flugzeugs (True Air Speed TAS) = Geschwindigkeit der Luft beim Triebwerkseintritt
v_1 ' =' 'Geschwindkeit der Luft beim Austritt am Kerntriebwerk relativ zum Triebwerk
v_2 ' =' 'Geschwindigkeit der Luft beim Fan-Austritt relativ zum Triebwerk
\theta ' =' 'Austrittswinkel des Fan-Gegenschubs = 60 Grad

Das CFM56-5A3 Triebwerk

Informationen zum BildDaten der Turbofan Serie CFM56-5A

Als Modell-Beispiel verwende ich die Daten des CFM56-5A3 Turbofan-Triebwerkes, welches zum Beispiel bei einem Airbus A320 zum Einsatz kommt. Das CFM56-5A3 ist ein zweiachsiges Turbofan-Triebwerk mit nicht gemischtem Fluss (unmixed flow turbofan).

Technische Daten des CFM56-5A3 [5]

Fmax Thrust 26 500 lbs 117,9 kN
Max Climb Thrust 5260 lbs 23,4 kN
Max Cruise Thrust 5000 lbs 22,25 kN
{\dot m}_{0,\mathrm{max}} Mass flow 876 lbs/s 397,3 kg/s
μ Bypass ratio 6
Fan Diameter 68,3 in 1,67 m

Obige Angaben beziehen sich auf den maximalen Startschub unter Standardatmosphäre (Temperatur = 15 °C, Luftdruck = 1013,25 hPa) und Stillstand des Flugzeugs (v0 = 0).

Mass flow ist definiert als: {\dot m}_0 = {\dot m}_1 + {\dot m}_2.

Bypass ratio ist definiert als: \mu = {\dot m}_2 / {\dot m}_1.

Die Bypass ratio ist keine Konstante sondern verändert sich in Abhängigkeit der verschiedenen Betriebsparameter.

Das Triebwerks-Modell

Für die Schubberechnung benötige ich die einzelnen Massenflüsse {\dot m}_i und Strömungsgeschwindigkeiten vi in Abhängigkeit der relativen Drehzahl N1 des Fan. Die relative Drehzahl des Fan wird im Cockpit in Prozent N1 der Auslegungsdrehzahl des Triebwerks angezeigt.

Aus dem Datenblatt eines Triebwerkes kann ich den maximalen Schub Fmax, den maximalen totalen Massenfluss {\dot m}_{0,\mathrm{max}} und das Aufteilungsverhältnis μ dieses Flussen in {\dot m}_{1,\mathrm{max}} und {\dot m}_{2,\mathrm{max}} herauslesen.

Mit diesen Daten alleine kann kein Triebwerks-Modell berechnet werden. Weitere Informationen über Turbofan-Triebwerke müssen gefunden werden.

Ich benötige noch folgende Zusammenhänge:

Obige Zusammenhänge fasse ich zusammen in einem Modell des Triebwerks und spiele in einer Simulation damit:

Einfluss von Gegenschub auf den Bremsweg

Um abschätzen zu können, welchen Einfluss der Gegenschub auf den Bremsweg hat, müssen zwei Fälle unterschieden werden:

  1. Bremsen mit dem AutoBrake-System
  2. Manuelle (Voll-)Bremsung

Beim Bremsen mit dem AutoBrake-System wird vom System so gebremst, dass eine konstante Verzögerung resultiert, egal ob die Reverser aktiviert sind oder nicht. Nur wenn die Gegenschubkräfte grösser sind, als es die eingestellte Verzögerung erfordert, wird der Bremsweg durch die Reverser kürzer als ohne. Sind die Gegenschubkräfte kleiner als es die eingestellte Verzögerung verlangt, so ist der Bremsweg mit und ohne Gegenschub genau gleich lang. Allerdings müssen die Räder um genau den Anteil weniger Bremsen, den der Gegenschub aufbringt. Mit Gegenschub werden also die Bremsen geschont. Bei nasser oder vereister Piste können die Bremsen meist die geforderte Bremskraft nicht voll erbringen. In diesem Fall würde der Bremsweg ohne Gegenschub auch mit AutoBrake länger!

Bei manueller Bremsung oder gar Vollbremsung trägt der Gegenschub zusätzlich zur Bremskraft bei. In diesem Fall wird der Bremsweg mit Reverser immer kürzer als ohne! Bei gutem Pistenzustand tragen die Reverser nur einen Bruchteil zur Bremskraft bei. Bei nasser oder vereister Piste kann der Anteil der Reverser jedoch erheblich sein!

Die maximal mögliche Bremskraft der Räder hängt vom Haftreibungskoeffizienten und der Auflagekraft der Räder auf den Boden ab. Der Haftreibungskoeffizient ist vom Zustand der Piste und den Rädern abhängig. Generell ist der Einfluss der Reverser umso grösser, je kleiner der Haftreibungskoeffizient ist.

 Berechnung des Haftreibungskoeffizienten

Die folgenden Tabellen geben einen Anhaltspunkt, wie sich die Landedistanz mit Gegenschub im Vergleich zu ohne Gegenschub reduziert, abhängig vom Pistenzustand [6].

A330
Dry 2 %
Wet 5 %
1/4" water 8 %
1/2" water 7 %
1/4" slush 8 %
1/2" slush 7 %
compacted snow 7 %
ice 19 %
A340
Dry 3 %
Wet 8 %
1/4" water 13 %
1/2" water 11 %
1/4" slush 13 %
1/2" slush 11 %
compacted snow 10 %
ice 27 %

Quellen

Flugzeugtriebwerke: Grundlagen, Aero-Thermodynamik, Kreisprozesse; von Willy J. G. Bräunling; Beispiel 5-5; Seite 243
http://books.google.ch/books?id=2yrCF9-XE7YC&pg=PA269&lpg=PA269&dq=triebwerk+n1&source=bl&ots=4Gc9Iavrki&sig=qGM8daUbiLh20TzOZphjc4AXw-M&hl=de&sa=X&ei=WN1xT9vPMsHNhAeb4OynAQ&ved=0CCQQ6AEwADgK#v=onepage&q=triebwerk%20n1&f=false
Propeller Thrust; Glenn Research Center; NASA; Editor: Nancy Hall; May 05 2015
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/propth.html
www.smartcockpit.com; Jet Engine Basics - SmartCockpit
http://www.smartcockpit.com/docs/Jet_Engines_Basics.pdf
adg.stanford.edu; Thrust Variation with Speed and Altitude
http://adg.stanford.edu/aa241/propulsion/tvshv.html
CFM Technical Data
http://www.cfm56.com/products/cfm-technical-data
Reverse-Thrust Force Compared To Brakes; Zeke; Forum airliners.net
http://www.airliners.net/aviation-forums/tech_ops/read.main/249447/
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