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Kompressibilität der Luft

Gase wie Luft sind komprimierbar. Steigt der Luftdruck, wird die Luft dichter, es befinden sich somit mehr Moleküle in einem bestimmten Volumen. Dasselbe kann durch Zusammendrücken einer bestimmten Gasmenge erreicht werden. Der Zusammenhang wird durch die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase ausgedrückt.

Die Luftdichte kann aber auch lokal ändern (ρ const), wenn sie von relativ zum Gasstrom bewegten Körpern gestört wird. Insbesondere wird die Luft vor einem Flugzeug gestaut, was die Luftdichte dort lokal vergrössert. Für kleine Fluggeschwindigkeiten unterhalb Mach 0,3 können diese Kompressionseffekte vernachlässigt werden und es kommt Gleichung (4) für die Berechnung des dynamischen Drucks zur Anwendung. Für grössere Geschwindigkeiten muss die Kompressibilität der Luft jedoch berücksichtigt werden indem mit Gleichung (6) für kompressible Gase aus der Gasdynamik gerechnet wird.

Bei Verkehrsflugzeugen muss die Kompressibilität der Luft bei Druck- und Temperaturmessungen berücksicht werden, aus denen wichtige Daten wie Geschwindigkeit, Flughöhe und Steigrate abgeleitet werden.

Thermische Zustandsgleichung idealer Gase

Die thermische Zustandsgleichung idealer Gase beschreibt den Zusammenhang von statischem Druck p, Dichte ρ und Temperatur T idealer Gase. In Berechnungen der Aviatik wird Luft als ideales Gas angenommen [1].

(1)
p = \rho \cdot R_\mathrm{S} \cdot T
wobei'
p ' =' 'statischer Druck in N/m2
\rho ' =' 'Gasdichte (Luftdichte) in kg/m3
R_\mathrm{S} ' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft: RS = 287,053 J/kg/K [Note1]
T ' =' 'Temperatur in Kelvin

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

(2)
\rho = {m \over V}
wobei'
\rho ' =' 'Gasdichte (Luftdichte)
m ' =' 'Gas-Masse in kg
V ' =' 'Volumen in m3
(3)
R_\mathrm{S} = {R \over M}
wobei'
R_\mathrm{S} ' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft: RS = 287,053 J/kg/K [Note1]
R ' =' 'universelle Gaskonstante = 8,314 32 J/mol/K [Note2]
M ' =' 'molare Masse (Masse pro Mol); trockene Luft: 28,9644 g/mol

Die molekulare Zusammensetzung von Luft ändert sich allgemein mit der Höhe, kann jedoch bis 100 km Höhe als konstant angenommen werden. In der Aviatik wird mit der oben angegebenen Zusammensetzung von trockener Luft gerechnet.

Hydrodynamischer Druck

Aus den Bernoulli-Gleichungen lässt sich der dynamische Druck ableiten der bei Gasströmen eine Rolle spielt. Die aerodynamischen Kräfte beim Flugzeug (Auftrieb, Luftwiderstand usw.) sind direkt proportional zum dynamischen Druck.

(4)
q = {1 \over 2} \cdot \rho \cdot v^2
wobei'
q ' =' 'dynamischer Druck
\rho ' =' 'Gasdichte
v ' =' 'Geschwindigkeit relativ zur Luft (TAS)

Die Gleichung (4) gilt nur für kleine Relativgeschwindigkeiten unterhalb Mach 0,3 = 200 kt = 360 km/h = 100 m/s. Für höhere Geschwindigkeiten müssen die Gleichungen (6) und (7) zur Berechnung des dynamischen Druckes verwendet werden.

Der Druck, der in einem Staurohr, auch Pitotrohr genannt, gemessen wird, ist die Summe von statischem Druck und dynamischem Druck:

(5)

p_\mathrm{t} = p_\mathrm{s} + q

wobei'
p_\mathrm{t} ' =' 'totaler Druck wie er im Staurohr gemessen wird
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Luftdruck
q ' =' 'dynamischer Druck

Drücke in kompressiblen Gasen

Bei höheren Geschwindigkeiten ab Mach 0,3 muss die Kompressibilität der Luft berücksichtigt werden, sodass für den dynamischen Druck nicht mehr die Gleichung (4) verwendet werden kann. Statt dessen gilt [2]:

(6)
p_\mathrm{tc} = p_\mathrm{s} \cdot \left[ 1 + { \kappa - 1 \over 2 } \cdot Ma^2 \right] ^ { \kappa / (\kappa - 1) }
(7)

q_\mathrm{c} = p_\mathrm{tc} - p_\mathrm{s}

wobei'
p_\mathrm{tc} ' =' 'totaler kompressibler Druck im Staurohr
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Druck der Umgebungsluft in Flughöhe
q_\mathrm{c} ' =' 'dynamischer Druck bei hohen Geschwindigkeiten
Ma ' =' 'Mach-Zahl
\kappa ' =' 'Adiabatenexponent (kappa) κ = cp/cV = 1,4 für Luft [Note3]

Die Mach-Zahl kann folgendermassen berechnet werden:

(8)

Ma = v / a

(9)
a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T }
wobei'
Ma ' =' 'dimensionslose Mach-Zahl; 1.0 bedeutet Schallgeschwindigkeit
v ' =' 'Geschwindigkeit gegenüber der Luft = True Airspeed (TAS)
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit
\kappa ' =' 'Adiabatenexponent (kappa) κ = cp/cV = 1,4 für Luft [Note3]
R_\mathrm{S} ' =' 'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,053 J/kg/K [Note1]
T ' =' 'Temperatur in Kelvin

Wenn man statt der Mach Geschwindigkeit die True Airspeed verwendet, sieht obige Formel wiefolgt aus:

(10)
q_\mathrm{c} = p_\mathrm{s} \cdot \left[ \left( { (\kappa-1) \cdot \rho \over 2 \cdot \kappa \cdot p_\mathrm{s} } \cdot v^2 + 1 \right) ^ {\kappa / (\kappa - 1)} - 1 \right]
wobei'
q_\mathrm{c} ' =' 'dynamischer Druck in kompressiblen Gasen (c = compressible)
v ' =' 'Geschwindigkeit True Airspeed TAS
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Luftdruck in Flughöhe
\rho ' =' 'Luftdichte in Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft

Luftdruck und Luftdichte erhält man über das Schichtenmodell (Ziel-SeiteBarometrische Höhenformel).

Notes

Beachte, dass in der Luftfahrt zum Teil leicht von der Norm abweichende Werte verwendet werden [3] [4]. Die in der Luftfahrt verwendeten Werte sind auf der Seite Standardatmosphäre aufgeführt.

Der in der Luftfahrt verwendete Wert für RS = 287,053 weicht vom Normwert RS = 287,058 J/K/kg ab
Der in der Luftfahrt verwendete Wert für RS weicht vom Normwert RS = 287,058 J/K/kg ab
Der in der Luftfahrt verwendete Wert für R = 8,314 32 weicht vom Normwert R = 8,314 4598 J/K/mol ab, siehe Gaskonstante; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Gaskonstante
Die Messwerte für κ variieren von 1,39911,402. In der Luftfahrt wird κ = 1,4 = 7/5 verwendet.

Quellen

Barometric formula - Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Barometric_formula
The measurement of airspeed of airplanes
http://www.spaceagecontrol.com/naca-tn-616.pdf
U.S. Standard Atmosphere; Wikipedia(en)
https://en.wikipedia.org/wiki/U%2ES%2E%5FStandard%5FAtmosphere
Normal temperature and pressure; Wikipedia(en)
https://en.wikipedia.org/wiki/Normal%5Ftemperature%5Fand%5Fpressure
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Erzeugt Sonntag, 7. Oktober 2007
von wabis
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Geändert Montag, 26. September 2016
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