WaBis

walter.bislins.ch

Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium ausbreiten. Auf dieser Seite geht es jedoch nur um die in der Luftfahrt relevante Schallgeschwindigkeit in Luft. Für Schallwellen in Fluiden und Festkörpern siehe Schallgeschwindigkeit (Wikipedia).

Die Schallgeschwindigkeit in Luft kann nach folgender Formel berechnet werden:

(1)

$a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{s} \cdot T }$

wobei^'

$a$ ^'	=^'	^'Schallgeschwindigkeit
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa) κ = c_p/c_V = 1,4 für Luft [Note-1]
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/kg/K
$T$ ^'	=^'	^'Temperatur (in Kelvin)

Nach dem in der Luftfahrt üblichen Modell der Standardatmosphäre beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 15 °C (Standard-Temperatur auf Meereshöhe) [Note-2]:

a = 340,3 m/s = 1225 km/h = 661,5 kt

Da die Temperatur nach dem Modell der Standardatmosphäre bis in eine Höhe von 11 km kontinuierlich abnimmt, nimmt auch die Schallgeschwindigkeit bis in diese Höhe entsprechend ab.

Einfluss von Druck und Dichte

Die Schallgeschwindigkeit ist abhängig von der Kompressibilität der Luft und von der Dichte der Luft. Je "fester" (weniger kompressibel) die Luft, umso höher die Schallgeschwindigkeit, je schwerer die Luft (dichter), umso niedriger die Schallgeschwindigkeit. Die Kompressibilität der Luft ist ebenfalls abhängig von der Luftdichte: je dichter die Luft, umso weniger kompressibel ist sie. Auch die Temperatur hat Einfluss auf die Kompressibilität: je höher die Temperatur, umso weniger kompressibel ist die Luft. Da die Dichte nun sowohl die Kompressibilität erhöht (erhöht die Schallgeschwindigkeit), als auch die Schwere erhöht (verringert die Schallgeschwindigkeit), hebt sich der Einfluss der Dichte auf die Schallgeschwindigkeit gerade auf. Somit ist die Schallgeschwindigkeit von Luft in weiten Bereichen nur noch eine Funktion der Temperatur. Daher kommen in der Formel für die Schallgeschwindigkeit nur T und ein paar Naturkonstanten vor, obwohl die Schallgeschwindigkeit physikalisch betrachtet durch andere Parameter bedingt ist.

Da die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Temperatur abhängig ist, macht eine Angabe wie "Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe" somit keinen Sinn, ausser wenn die Temperatur als Funktion der Höhe über Meer ausgedrückt wird, wie zum Beispiel beim Modell der Standardatmosphäre.

Die Eigenschaften Druck p, Dichte ρ und Temperatur T von Gasen sind miteinander über die Gasgleichung verknüpft:

$p = R_\mathrm{S} \cdot \rho \cdot T \qquad\Leftrightarrow\qquad T = { p \over R_\mathrm{S} \cdot \rho } \qquad\Leftrightarrow\qquad \rho = { p \over R_\mathrm{S} \cdot T }$

Immer wenn zwei der drei Werte bekannt sind, kann der dritte daraus berechnet werden. Wenn man zum Beispiel die Temperatur nicht kennt, jedoch Dichte und Druck, so lässt sich daraus nach der Formel oben mitte die Temperatur berechnen. Setzt man diese Formel in (1) ein, erhält man die Schallgeschwindigkeit in Funktion von Druck und Dichte:

(1b)	$a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T } = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot { p \over R_\mathrm{S} \cdot \rho } } = \sqrt{ \kappa \cdot { p \over \rho } }$

Obwohl also die Schallgeschwindigkeit bereits berechnet werden kann, wenn nur die Temperatur bekannt ist, kann man sie über die Gasgleichung auch aus Druck und Dichte berechnen, weil Druck und Dichte zusammen über die Gasgleichung die Temperatur des Gases festlegen.

Modell zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit

Schall kann sich in jeder Art von Medium ausbreiten (Festkörper, Flüssigkeit, Gas). In Festkörpern können sich Schallwellen sowohl als Längswellen (Longitudinalwellen), als auch als Querwellen (Transversalwellen) ausbreiten, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit der beiden Wellenarten generell verschieden ist. Da in Flüssigkeiten und Gasen keine Scherkräfte auftreten können, gibt es dort nur Longitudinalwellen.

Um die Schallgeschwindigkeit zu bestimmen, kann man sich ein einfaches Modell vorstellen. An den Schnittpunkten eines regelmässigen räumlichen Gitters sitzen Bälle mit einer bestimmten Masse, welche mit ihren Nachbar-Bällen über Federn verbunden sind. In einem echten Material entsprechen die Bälle den Molekülen und die Federn stellen die Bindungskräfte zwischen den Molekülen dar. Schall breitet sich durch das Modell aus, indem er die Federn zusammendrückt oder auseinanderzieht, was Energie an die benachbarten Bälle überträgt, welche die Energie an die nächsten Federn weiter geben usw. Die Geschwindigkeit, in der solche Kompressions-Wellen durch das Modell wandern, hängt von der Steifigkeit der Federn (steifere Federn übertragen Energie schneller) und der Masse der Bälle (schwerere Bälle lassen sich schwerer bewegen) ab. Effekte wie Streuung und Reflexion können mit diesem Modell auch erklärt werden. [1]

In echtem Material entspricht der sog. Elastizitätsmodul [2] [3] (oder bei Gasen der Kompressionsmodul [4] [5]) der Steifigkeit der Federn. Die Dichte des Materials entspricht der Masse der Bälle. Wenn alle anderen Parameter konstant sind, ist die Schallgeschwindigkeit umso grösser, je steifer das Material ist, und umso niedriger, je dichter das Material ist.

(2)

$c = \sqrt{ C \over \rho } \qquad\qquad\qquad\qquad a = \sqrt{ K \over \rho }$

wobei^'

$c$ ^'	=^'	^'Schallgeschwindigkeit (allgemein)
$C$ ^'	=^'	^'Steifigkeit (Elastizitätsmodul E bei Festkörpern bzw. Kompressionsmodul K bei Fluiden)
$a$ ^'	=^'	^'Schallgeschwindigkeit in Luft
$K$ ^'	=^'	^'Kompressionsmodul von Luft
$\rho$ ^'	=^'	^'Dichte des Materials (Masse pro Volumen)

Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Luft

Die Schallgeschwindigkeit ist variabel und hängt von den Eigenschaften des Materials ab, durch welches sie wandert. In Festkörpern hängt die Geschwindigkeit von Longitudinalwellen von der Steifigkeit gegenüber Druckkräften und der Dichte des Materials ab. In Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen) sind Kompressibilität und Dichte die massgebenden Faktoren.

In Gasen ist die Kompressibilität K abhängig von der Dichte und Temperatur: Je dichter das Gas und je höher die Temperatur, umso "steifer" ist das Gas:

(3)

$K = \kappa \cdot \underbrace{ R_\mathrm{S} \cdot \rho \cdot T }_p$

wobei^'

$K$ ^'	=^'	^'Kompressionsmodul von Luft
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa) κ = c_p/c_V = 1,4 für Luft [Note-1]
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/kg/K
$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte
$T$ ^'	=^'	^'Temperatur (in Kelvin)
$p$ ^'	=^'	^'Luftdruck

Wenn wir nun das Kompressionsmodul von Luft K in (2) einsetzen, erhalten wir die Formel für die Schallgeschwindigkeit in Luft:

(4)

$a = \sqrt{ K \over \rho } = \sqrt{ \kappa \cdot p \over \rho } = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot \rho \cdot T \over \rho } = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{s} \cdot T }$

wobei^'

$K$ ^'	=^'	^'Kompressionsmodul von Luft
$p$ ^'	=^'	^'Luftdruck
$\rho$ ^'	=^'	^'Luftdichte
$\kappa$ ^'	=^'	^'Adiabatenexponent (kappa) κ = c_p/c_V = 1,4 für Luft [Note-1]
$R_\mathrm{S}$ ^'	=^'	^'spezifische Gaskonstante; trockene Luft = 287,058 J/kg/K
$T$ ^'	=^'	^'Temperatur (in Kelvin)

Man sieht, dass sich der Einfluss der Dichte auf die Kompressibilität K und die Dichte unter dem Bruchstrich gerade aufheben. Die Schallgeschwindigkeit a in Luft ist nur noch von der Temperatur T und den Gas-spezifischen Konstanten κ und R_S abhängig!

Gültigkeitsbereich

Die Formel (4) für die Schallgeschwindigkeit gilt für ideales Gas mit konstantem Molekulargewicht und über einen Temperaturbereich, in dem κ relativ konstant ist. In diesem Fall ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig. Trockene Luft kann in weiten Temperatur und Druckbereichen (von Meereshöhe bis ca. 20 km) als ideales Gas betrachtet werden. Luftfeuchtigkeit hat einen kleinen aber messbaren Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit (Erhöhung um ca. 0,1...0,6 %), weil einige Sauerstoff und Stickstoff Moleküle der Luft durch die leichteren Wasser Moleküle erstetzt werden. [6]