D.K. hat mir bei wer-weiss-was eine Anfrage mit dem Titel "Abstand Geradenschar-Ursprung" gestellt und mich als Experten ausgewählt.
Gegeben ist eine Geradenschar:
(1) | |
mit |
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Eine Geradenschar ist eine Menge von Geraden, die sich in einem Parameter (hier
Gesucht wird der kürzest mögliche Abstand der Geradenschar zum Urspung (Nullpunkt).
Die Geradenschar bildet eine Ebene. Dies wird sofort ersichtlich, wenn man die Gleichung (1) in Parameterform aufschreibt, wobei
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wobei' |
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Die Formel (2) ist eine Ebenengleichung in Parameterform. Der blaue Teil stellt eine Geradengleichung in Parameterform dar. Der grüne Teil verschiebt die Gerade parallel entlang dem Vektor
Für die Berechnung des Abstandes dieser Ebene
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wobei' |
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Einen Punkt der Ebene kennen wir bereits aus der Aufgabe:
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Den Normalenvektor
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Daraus kann der Normalenvektor berechnet werden:
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Und der normierte Normalenvektor ist dann:
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Hinweis: Die Länge eines Vektors
Somit haben wir alle nötigen Vektoren, um den Abstand der Geradenschar vom Ursprung zu berechnen:
(8) |
Da wir nur am Betrag des Abstandes interessiert sind, wird vom Skalarprodukt in (8) der Absolutbetrag gebildet. Wenn wir
Die Geradenschar hat also den Abstand 5 vom Ursprung!