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Abstand Geradenschar vom Ursprung

Montag, 29. November 2010 - 03:45 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik
Auf dieser Seite zeige ich an einem Beispiel, wie der Abstand einer Geradenschar vom Ursprung berechnet werden kann, wenn die Geradenschar in Parameterform gegeben ist.

Motivation

D.K. hat mir bei wer-weiss-was eine Anfrage mit dem Titel "Abstand Geradenschar-Ursprung" gestellt und mich als Experten ausgewählt.

Aufgabe

Gegeben ist eine Geradenschar:

(1)
mit

Eine Geradenschar ist eine Menge von Geraden, die sich in einem Parameter (hier ) unterscheiden. Der erste Vektor von (1) stellt eine Geradengleichung in Parameterform dar. Je nach Wert von erhalten wir eine dazu parallel verschobene Gerade. Alle Geraden zusammen werden als Geradenschar bezeichnet.

Gesucht

Gesucht wird der kürzest mögliche Abstand der Geradenschar zum Urspung (Nullpunkt).

Lösung

Die Geradenschar bildet eine Ebene. Dies wird sofort ersichtlich, wenn man die Gleichung (1) in Parameterform aufschreibt, wobei und die Parameter sind:

(2)
wobei'
' =' 'Punkt einer Geraden und somit auch der Ebene gebildet aus der Geradenschar
' =' 'Richtungsvektor jeder Geraden und somit auch der Ebene
' =' 'zweiter Vektor der Ebene der Geradenschar

Die Formel (2) ist eine Ebenengleichung in Parameterform. Der blaue Teil stellt eine Geradengleichung in Parameterform dar. Der grüne Teil verschiebt die Gerade parallel entlang dem Vektor .

Für die Berechnung des Abstandes dieser Ebene zum Ursprung eignet sich die Hessesche Normalform der Ebene am besten, denn es gilt:

(3)
wobei'
' =' 'Abstand der Ebene vom Nullpunkt
' =' 'beliebiger Punkt der Ebene
' =' 'der auf Länge 1 normierte Normalenvektor der Ebene
' =' 'Skalarprodukt der beiden Vektoren

Einen Punkt der Ebene kennen wir bereits aus der Aufgabe:

(4)

Den Normalenvektor der Ebene können wir aus dem Kreuzprodukt von zwei Vektoren bilden, die in der Ebene liegen. Aus der Parameterform (2) können wir zwei solche Vektoren und ablesen.

(5)

Daraus kann der Normalenvektor berechnet werden:

(6)

Und der normierte Normalenvektor ist dann:

(7)

Hinweis: Die Länge eines Vektors kann nach Pythagoras berechnet werden, indem die Summe der Quadrate seiner Komponenten berechnet wird und daraus die Wurzel gezogen wird.

Somit haben wir alle nötigen Vektoren, um den Abstand der Geradenschar vom Ursprung zu berechnen:

(8)

Da wir nur am Betrag des Abstandes interessiert sind, wird vom Skalarprodukt in (8) der Absolutbetrag gebildet. Wenn wir und vertauscht hätten, wäre das Skalarprodukt positiv geworden.

Die Geradenschar hat also den Abstand 5 vom Ursprung!

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Geändert Freitag, 10. Januar 2014
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