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Berechnung: MAC eines Trapezflügels

Mittwoch, 18. Dezember 2013 - 00:44 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Aviatik, Mathematik
Auf der Seite Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe habe ich Formeln hergeleitet, mit denen man den MAC für beliebige Flächen über Integrale berechnen kann. Auf dieser Seite löse ich diese Integrale für Trapezflügel. Mit den resultierenden Formeln kann der MAC für trapez-, rechteck- und dreieckförmige Flügel berechnet werden.

Flügel aus mehreren Abschnitten

Wenn ein Flügel aus mehreren trapezförmigen Abschnitten besteht, kann mit den Formeln auf dieser Seite der MAC (Länge, X- und Y-Position) jedes Abschnittes separat berechnet werden. Dann rechnet man alle Positionen auf den Referenzpunkt des Flügels um. Mit diesen Werten kann man dann den MAC des ganzen Flügels mit den Formeln der folgenden Abschnitte berechnen:

Fläche eines Trapezflügels

In allen folgenden Formeln wird die Fläche S des Trapezflügels benötigt. Man kann diese Formel durch Lösen des Integrals der Formel (AreaIntegral) Berechnung der Flügelfäche herleiten. Die Berechnung einer Trapezfläche ist jedoch trivial:

(1)
wobei'
' =' 'Fläche des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe an der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe an der Spitze des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Spannweite des Halbflügels oder Flügelabschnittes

Länge des MAC

Informationen zum BildX-Position und Flügeltiefe c als Funktion von y

Zur Berechnung der Länge cmac des MAC benötigen wir c(y), die Flügeltiefe c als Funktion der Position y. Dies ist bei trapezförmigen Flügeln eine Geraden-Funktion mit der Steigung (ctcr) / b und der Tiefe c(0) = cr an der Flügelwurzel. Die Geradengleichung lautet somit:

(2)
wobei'
' =' 'Flügeltiefe als Funktion des Abstandes y von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Flügeltiefe an der Spitze des Halbflügels oder Flügelabschnittes = c(b)
' =' 'Flügeltiefe an der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes = c(0)
' =' 'Spannweite des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Y-Abstand von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes

Die Formel für die Länge cmac des MAC beliebig geformter Halbflügel oder Flügelabschnitte lautet:

(3)
Quelle

Länge des MAC (Ziel-SeiteBerechnung: Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe (MAC))

wobei'
' =' 'Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Fläche des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Spannweite des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe als Funktion des Abstandes y von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes

Durch Einsetzen von (2) in (3) und Ausführen des Integrals erhält man:

Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe (MAC) eines Trapezflügels

(6)
wobei'
' =' 'Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe MAC des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe an der Spitze des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe an der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes

Oft gibt man statt ct das Verhältnis γ = ct / cr an. Ersetzt man in (6) ct durch γ · cr, erhält man folgende Formel:

(7)
mit

Y-Position des MAC und AC

Da der Neutralpunkt AC eines Flügelabschnittes auf dem MAC des Abschnittes liegt, sind deren Y-Positionen identisch. Für die Berechnung der Y-Position wird die Flügeltiefe c als Funktion von y benötigt. Diese habe ich bei (2) hergeleitet:

(8)

Die Formel für die Y-Positionen ymac und yac beliebig geformter Halbflügel oder Flügelabschnitte lautet:

(9)
Quelle

Y-Position beliebig geformter Flügel

wobei'
' =' 'Y-Position des MAC von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Y-Position des Neutralpunktes AC von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Fläche des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Spannweite des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe als Funktion des Abstandes y von der Wurzel des Flügels
' =' 'Abstand von der Wurzel des Flügels oder Flügelabschnittes

Y-Position von MAC und AC eines Trapezflügels

(12)
wobei'
' =' 'Y-Position des MAC von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Y-Position des Neutralpunktes AC von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Flügeltiefe an der Spitze des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe an der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Spannweite des Halbflügels oder Flügelabschnittes

X-Position des MAC

Informationen zum BildX-Position und Flügeltiefe c als Funktion von y

Zur Berechnung der X-Position xmac des MAC benötigen wir die Flügeltiefe c(y) als Funktion der Position y und die Position der Vorderkante x(y) als Funktion von y.

Die Flügeltiefe c(y) habe ich bei (2) bereits hergeleitet:

(13)

Die X-Position der Vorderkante ist bei trapezförmigen Flügeln eine Geraden-Funktion mit der Steigung a / b, welche bei y = 0 den Wert x(0) = 0 hat. Die Geradengleichung lautet somit:

(14)

Die Formel für die X-Position xmac des MAC beliebig geformter Halbflügel oder Flügelabschnitte lautet:

(15)
Quelle

X-Position beliebig geformter Flügel

wobei'
' =' 'X-Position des MAC vom Referenzpunkt des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Fläche des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Spannweite des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'X-Position der Vorderkante, vom Referenzpunkt des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen, als Funktion von y
' =' 'Flügeltiefe als Funktion von y
' =' 'Y-Abstand von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
(18)
wobei'
' =' 'X-Position des MAC vom Referenzpunkt des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen
' =' 'Flügeltiefe an der Spitze des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Flügeltiefe an der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Pfeilung (Sweep) als X-Wert der Vorderkante der Spitze vom Referenzpunkt des Halbflügels oder Flügelabschnittes aus gemessen

X-Position des AC

Der Neutralpunkt AC liegt definitionsgemäss bei 25% des MAC. Daraus ergibt sich für die X-Position xac des Neutralpunktes:

(19)
wobei'
' =' 'X-Position des Neutralpunktes bezüglich des Referenzpunktes des Flügels oder Flügelabschnittes
' =' 'X-Position des MAC bezüglich des Referenzpunktes des Flügels oder Flügelabschnittes
' =' 'Länge des MAC
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Erzeugt Montag, 9. Dezember 2013
von wabis
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Geändert Mittwoch, 8. April 2015
von wabis