In diesem Beitrag beschreibe ich, was ein MAC ist und wozu er gebraucht wird. Ich leite hier die allgemeinen Formeln für die Berechnung eines MAC her. Auf der folgenden Seite werden die Formeln für die Berechnung des MAC eines Trapezflügels aus den hier gezeigten allgemeinen Formeln hergeleitet. Auf der Seite Online-Rechner für MAC kann man den MAC von beliebigen, aus rechteckigen, trapezförmigen und dreieckigen Abschnitten zusammengesetzten Flügeln interaktiv berechnen.

Einführung und Definitionen

Bei der Beladung eines Verkehrflugzeugs muss die Ladung so verteilt werden, dass der Schwerpunkt (Center of Gravity, CG) innerhalb eines bestimmten Bereiches liegt. Ein paar Minuten vor dem Pushback erhalten die Piloten das Loadsheet, auf dem die Lage des Schwerpunktes in %MAC eingetragen ist. Dieser Wert bestimmt die Trimmung des Flugzeugs, welche am Trimmrad eingestellt wird und/oder im MCDU eingegeben wird. Die Skala des Trimmrades kann direkt in %MAC beschriftet sein. Meist ist die Skala jedoch mit sog. Airplane Nose Up (ANU) Einheiten beschriftet. Eine Umrechnungstabelle findet man z.B. im Aircraft Flight Manual (AFM) oder dem Loadsheet, oder die ANU Einheiten stehen bereits im Loadsheet.

Die korrekte Start-Trimmung ist sehr wichtig, damit das Flugzeug bei der berechneten Geschwindigkeit rotiert werden kann und abhebt. Eine falsche Trimmung kann im Extremfall zum Absturz führen oder das Flugzeug kann nicht abheben.

Für die Berechnung des MAC muss man folgende Begriffe kennen:

Center of Pressure (CP)

Druckpunkt: Punkt, an dem die Kraftkomponente aus der Summe aller Kräfte eines Flügels angesetzt wird. Das Nickmoment (Pitching Moment, PM) um diesen Punkt ist Null. Die Position des CP ändert sich mit dem Anstellwinkel des Flügels.

Aerodynamic Center (AC)

Neutralpunkt: Wird die Summe aller Kräfte eines Flügels an diesem Punkt angesetzt, ist das Nickmoment um diesen Punkt zwar nicht Null, bleibt jedoch für verschiedene Anstellwinkel nahezu konstant. Daher wird das AC für Berechnungen und Bezugspunkte bevorzugt. Dieser Punkt liegt bei den meisten Flügelprofilen bei 25% des MAC.

Center of Gravity (CG)

Schwerpunkt: Punkt, an dem das Gesamtgewicht des Flugzeugs angenommen wird.

Pitching Moment (PM)

Nickmoment: Wenn die aerodynamischen Kräfte eines Flügels nicht am Druckpunkt (CP) angesetzt werden, sondern an einem beliebigen anderen Punkt, fliesst ein zusätzliches Nickmoment um diesen Punkt in die Rechnung ein. Der Momentbeiwert c_M eines Flügels bezieht sich auf das AC.

Center of Pressure, Pitching Moment und Aerodynamic Center

Die auf einen Flügel einwirkenden Kräfte variieren in Richtung und Stärke von Bereich zu Bereich der Flügeloberfläche. Alle diese Kräfte kann man zu einer einzigen Auftriebskraft F_L summieren, die an einem frei wählbaren Punkt angreift, plus einem Nickmoment oder Pitching Moment M um diesen Punkt.

Es gibt einen Punkt auf dem Flügel, bezüglich dem alle Kräfte ausbalanciert sind, sodass das Nickmoment um diesen Punkt Null wird. Diesen Punkt nennt man Druckpunkt oder Center of Pressure CP. Der Druckpunkt bietet sich auf den ersten Blick als Referenzpunkt P für die Auftriebskraft an, weil mit diesem Punkt offenbar kein zusätzliches Nickmoment in die Rechnungen einfliessen würde.

Wird jedoch der Anstellwinkel (Angle of Attack, AoA) α des Flügels verändert, ändert sich die Kräfteverteilung am Flügel. Damit verschiebt sich auch der Druckpunkt nach hinten oder nach vorne. Würde man den obigen fixen Referenzpunkt P als Angriffspunkt für die Auftriebskraft wählen, würde sich durch das Verschieben des Druckpunktes ein Nickmoment einstellen, das vom Anstellwinkel α und der Stärke des Auftriebs F_L abhängig ist: M(α) = F_L(α) · r(α), wobei r der Abstand von P zum aktuellen Druckzentrum ist. Sowohl der Auftrieb F_L als auch der Abstand r des Druckpunktes vom Referenzpunkt P sind vom Anstellwinkel abhängig und damit auch das Nickmoment M. Der Punkt P ist damit als Referenzpunkt nicht besser geeignet, als jeder andere Punkt.

Eine besondere Eigenschaft eines gewölbten Flügels ist jedoch, dass es einen Punkt AC gibt, an dem das Produkt aus F_L und r, und damit das Nickmoment M, zwar nicht Null ist, aber praktisch unabhängig vom Anstellwinkel. Diesen Fixpunkt nennt man Neutralpunkt oder Aerodynamic Center AC. Für Stabilitätsberechnungen ist das Konzept mit dem konstanten Nickmoment M und dem festen Referenzunkt AC einfacher zu handhaben, als dem Druckpunkt CP mit der Anstellwinkel abhängigen Position.

Damit kann das Kräfte- und Momentensystem eines Flügels komplett durch den Auftrieb und Luftwiderstand beschrieben werden, welche im Neutralpunkt AC angreifen, plus dem Nickmoment um den Neutralpunkt. [1]

Für ein Profil bei inkompressibler, reibungsfreier Strömung ergibt sich aus der Skeletttheorie ein Neutralpunkt AC bei 25% der Profiltiefe (Chord), welcher unabhängig von der Profilform und -wölbung ist. Bei der Umströmung realer Profile verschiebt sich dieser nur geringfügig. Das Drehmoment M oder dessen Momentbeiwert c_M beziehen sich auf den fixen Neutralpunkt AC. Der MAC wird so platziert, dass der Neutralpunkt bei 25% des MAC liegt.

Prinzip des MAC

Alle grösseren Verkehrsflugzeuge haben gepfeilte, aus mehreren Abschnitten zusammengesetzte Flügelformen. Die Tiefe des Flügelprofils (Chord) variiert also abschnittweise mit dem Abstand vom Rumpf bis zur Flügelspitze. In der Regel variiert auch das Flügelprofil und der Anstellwinkel mit dem Abstand vom Rumpf. Diese Variationen werden in die Beiwerte für Auftrieb c_L, Luftwiderstand c_D und Moment c_M eingerechnet und müssen daher in der Herleitung der folgenden Formeln nicht berücksichtigt werden.

Weil die aerodynamischen Kräfte und Momente mit dem Abstand vom Rumpf variieren, werden aerodynamische Berechnungen mit solchen Flügelformen umständlich und kompliziert. Dies wird durch das Konzept des Mean Aerodynamic Chord MAC vereinfacht.

Das Prinzip hinter dem MAC ist folgendes:

Jeder Körper hat einen Schwerpunkt (Center of Gravity, CG). Berechnungen von Flugbahnen eines Körpers lassen sich vereinfachen, indem man sich die Masse des ganzen Körpers in diesem Schwerpunkt konzentriert vorstellt. Ein komplizierter Körper kann so durch ein einfaches Punkt-Modell ersetzt werden.

Analog lässt sich die komplizierte Form einer Flügelhälfte durch ein 2-dimensionales Modell des Flügels ersetzen: den MAC. Die Druckverteilung über einer Flügelhälfte kann in eine einzige Auftriebskraft und ein Nickmoment um den Neutralpunkt AC des MAC zusammengefasst werden. Die Länge c_mac des MAC entspricht einer gewichteten mittleren Flügeltiefe des realen Flügels. Die X-Position x_mac des MAC wird durch die Position x_ac des Neutralpunktes AC festgelegt, sodass dieser bei 25% des MAC liegt:

Da der Neutralpunkt AC einer Flügelhälfte auf dem MAC liegt, sind die Y-Positionen des MAC und des Neutralpunktes identisch. Der Neutralpunkt beider Flügelhälften zusammen genommen liegt in der Mitte zwischen den beiden Neutralpunkten der einzelnen Flügelhälften.

MAC als Modell-Flügel

Man kann den realen Flügel durch einen einfachen rechteckigen Modell-Flügel mit ähnlichem Profil und gleicher Fläche ersetzen, dessen Vorderkante bei x_mac liegt und dessen Flügeltiefe gleich c_mac ist. Die X-Positionen von Druckpunkt CP und Neutralpunkt AC einer Flügelhälfte liegen beim Modell-Flügel an denselben Stellen wie beim realen Flügel. Auftrieb und Nickmoment sind beim Modell-Flügel und beim realen Flügel gleich gross. Für den Modell-Flügel können dieselben Beiwerte c_L (Auftriebsbeiwert), c_D (Widerstandsbeiwert) und c_M (Momentbeiwert) verwendet werden und führen zu denselben Resultaten wie beim realen Flügel.

Der Modell-Flügel reduziert die Geometrie einer beliebigen Flügelform auf die zwei Masse: Position x_mac und Länge c_mac des MAC. Daher wird unter anderem die Position des Schwerpunktes (Center of Gravity, CG) d_cg relativ zum MAC in Prozent der Länge c_mac des MAC angegeben:

Berechnung der Flügelfläche

Für die Berechnung des MAC wird die Gesamtfläche S einer Flügelhälfte benötigt. Bei einfachen Formen wie Rechteck, Dreieck und Trapez ist deren Berechnung trivial. Bei komplizierteren Flügelformen unterteilt man die Fläche in viele kleine Segmente S_i = c_i · Δy und addiert die Segmentflächen. Auch wenn ein Flügel aus mehreren Abschnitten besteht, deren Flächen man berechnet hat, erhält man die Gesamtfläche, indem man einfach die Flächen aller Abschnitte addiert:

Die obige Summenformel liefert bei komplizierten Formen nur eine Annäherung für die reale Fläche. Je schmaler man die Flügelsegmente macht, desto genauer wird die berechnete Fläche. Von der Annäherung zur exakten Fläche gelangt man, indem man die Summe in ein Integral überführt. Dies macht man, indem man die Breite Δy eines Flügelsegmentes gegen Null gehen lässt. Δy wird so zu dy und c_i zu c(y). Mathematisch schreibt man dies wiefolgt:

Liegt die Flügeltiefe c als Funktion des Abstandes y von der Flügelwuzel vor, kann man also die Fläche beliebiger Flügelformen über das folgende Integral exakt berechnen:

Länge des MAC

Der MAC des realen Flügels und des rechteckigen Modell-Flügels sollen dieselben aerodynamischen Eigenschaften haben. Aus dieser Bedingung lässt sich der MAC des realen Flügels konstruieren.

Der rechteckige Modell-Flügel soll dasselbe Nickmoment (Pitching Moment) wie der reale Flügel haben. Das Nickmoment M_i des i-ten rechteckigen Flügelsegmentes um seinen Neutralpunkt AC_i errechnet man nach folgender Formel: [2]

Das Nickmoment M der gesamten Flügelhälfte um den Neutralpunkt AC ist die Summe der Nickmomente M_i aller Flügelsegmente:

Da die Faktoren c_M und q für alle Flügelsegmente gleich sind, können wir sie ausklammern und vor das Summenzeichen setzen.

Das Nickmoment des Modell-Flügels M_Modell berechnet sich gleich wie das Nickmoment eines Flügelsegmentes nach Formel (6), jedoch mit der mittleren Flügeltiefe c_mac und der Fläche S der Flügelhälfte:

Wegen der Bedingung, dass das Nickmoment der Flügelhälfte und des Modell-Flügels gleich sein sollen, können wir M_Modell=M setzen:

Die rot markierten Faktoren kommen auf beiden Seiten der Gleichung vor und können daher gestrichen werden. Danach können wir nach der gesuchten mittleren Flügeltiefe c_mac des Modell-Flügels auflösen:

MAC Länge bei mehreren Flügelabschnitten

Besteht eine Flügelhälfte aus verschiedenen Abschnitten, kann für jeden Abschnitt ein separater Modell-Flügel berechnet werden. Jeder dieser Modell-Flügelabschnitte S_i hat seinen eigenen MAC c_mac,i. Mit Hilfe der Formel (10) lässt sich der gesamte MAC aus den einzelnen Abschnitten wiefolgt berechnen:

MAC Länge beliebig geformter Flügel

Für die Berechnung des MAC eines beliebig geformten Flügels oder Flügelabschnittes, von dem wir die Flügeltiefe c als Funktion des Abstandes y von der Wurzel des Flügelabschnittes kennen, können wir die Summe wie bei der Berechnung der Flügelfläche in ein Integral überführen. Dazu ersetzen wir in (10) zunächst die Fläche eines Flügelsegmentes S_i durch c_i · Δy:

Durch Grenzwertbildung erhalten wir daraus das folgende Integral, mit dem wir die MAC-Länge c_mac einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines Flügelabschnittes berechnen können:

Y-Position von MAC und AC

Die Y-Position von Druckpunkt, Neutralpunkt und MAC sind identisch. Die Y-Position y_ac liegt dort, wo die Auftriebskräfte aller Flügelsegmente S_i bezüglich einer zur der X-Achse parallelen Achse im Gleichgewicht sind. Das heisst, die Summe aller Drehmomente M_i der Auftriebskräfte F_L,i um diese Achse ist Null.

Das Drehmoment M_i des Flügelsegmentes S_i um den Neutralpunkt AC bei der gesuchten Y-Koordinate y_ac ist:

Beachte, dass für alle Flügelsegmente, für welche die Y-Position y_i grösser als y_ac ist, ein positives Drehmoment M_i um den Punkt AC entsteht, für alle anderen Segmente entsteht ein negatives Moment.

Für Gleichgewicht muss die Summe aller Momente M_i um den Neutralpunkt Null sein:

Wir können die Terme in der zweiten Summe ausmultiplizieren und als zwei Summen hinschreiben:

Nach Umstellen der Formel erhalten wir:

Die Position y_ac ist für alle Flügelsegmente gleich und kann daher vor das Summenzeichen gesetzt werden. Dann bleibt links noch die Summe der Auftriebsbeiträge F_L,i aller Flügelsegmente. Dies ist aber gerade der Auftrieb F_L der ganzen Flügelhälfte bzw. eines Flügelabschnittes. Also:

Setzen wir in (18) die Formel für die Auftriebskraft F_L = c_L · q · S und F_L,i = c_L · q · S_i ein, erhalten wir:

Die roten Terme sind für alle Flügelsegmente gleich und können daher vor das Summenzeichen gesetzt werden. Da die roten Terme auf beiden Seiten vorkommen, können sie gekürzt werden. Danach können wir nach y_ac auflösen und erhalten:

Von dieser Formel ausgehend lässt sich die Y-Position des Neutralpunktes AC einer ganzen Flügelhälfte aus den Y-Positionen der einzelnen Abschnitte berechnen (21) und es lässt sich eine Formel für die Berechnung der Y-Position einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines beliebig geformten Flügelabschnittes herleiten (23):

Y-Position bei mehreren Flügelabschnitten

Wenn wir die Y-Positionen y_ac,i der Neutralpunkte mehrerer separater Flügelabschnitte S_i berechnet haben, lässt sich die Y-Position y_ac der gesamten Flügelhälfte nach der Formel (20) berechnen:

Y-Position beliebig geformter Flügel

Die Y-Position y_ac des Neutralpunktes AC einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines beliebig geformten Flügelabschnittes kann berechnet werden, indem die Formel (20) in ein Integral überführt wird. Dazu müssen wir die Flügeltiefe c(y) als Funktion der Y-Position kennen.

Vor dem Herleiten des Integrals ersetzen wir in Formel (20) die Fläche durch S_i = c_i · Δy. Damit erhalten wir:

Durch Grenzwertbildung (siehe Berechnung der Flügelfläche) wird die Summe zum Integral und wir erhalten die allgemein gültige Formel für beliebige Flügelformen:

Setzt sich ein Halbflügel aus verschiedenen Abschnitten zusammen, kann mit (23) die Y-Position y_ac,i des Neutralpunktes für jeden Abschnitt i separat berechnet werden. Die Y-Position des Neutralpunktes y_ac der ganzen Flügelhälfte kann dann nach der Formel (21) aufsummiert werden.

Es muss dabei beachtet werden, dass die mit (23) berechneten Y-Positionen y_ac,i der einzelnen Flächenabschnitte bezüglich der Wurzel des jeweiligen Abschnittes vorliegen. Vor dem Einsetzen in die Formel (21) müssen diese Positionen bezüglich der Wurzel der ganzen Flügelhälfte umgerechnet werden!

X-Position von MAC und AC

Die X-Position x_mac des MAC ist definiert durch die X-Position x_ac des Neutralpunktes AC. Der Neutralpunkt liegt 25% der MAC-Länge c_mac hinter der X-Position des MAC. Kennt man also die X-Position des Neutralpunktes, kann man die X-Position des MAC mit der folgenden Formel berechnen:

Die X-Position des Neutralpunktes AC kann anlog wie die Y-Position berechnet werden. Im Gegensatz zur Y-Position liegt die X-Position des AC allerdings nicht dort, wo die Summe der Drehmomente M_i aller Flügelsegmente Null ergibt, sondern dort, wo das Nickmoment einen bestimmten, vom Anstellwinkel unabhängigen Wert M_ac hat.

Das Drehmoment M_i des i-ten Flügelsegmentes um eine Parallele zur Y-Achse durch den Neutralpunkt AC_i ist:

Die Formel (26) zeigt, dass zusätzlich zum Drehmoment, welches aus (x_ac,i − x_ac) · F_L,i resultiert, noch der Nickmoment-Anteil M_ac,i des Flügelsegmentes hinzukommt.

Die Summe aller Momente M_i ergibt nicht Null, sondern den Wert des Nickmomentes M_ac des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes:

Ausmultiplizieren der Terme in der runden Klammer und nachfolgendes Separieren der Summen ergibt:

Beachte, dass x_ac vor das Summenzeichen gesetzt werden kann, weil es für alle Flügelsegmente gleich ist.

Als nächstes berechne ich die Summe der Nickmoment-Anteile M_ac,i. Dazu verwende ich ich folgende Definition:

Die Summe all dieser Nickmoment-Anteile ist dann:

Durch Vergleich der blauen Summe mit der Formel (10) für die Länge c_mac des MAC stellt man fest, dass diese Summe gerade S · c_mac entspricht. Ersetzen wir die blaue Summe also durch diesen Term:

Dies ist aber genau die Definition des Nickmomentes M_ac des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes. Wir können jetzt in (28) die folgenden Terme ersetzen:

Damit vereinfacht sich Formel (28) zu:

Wir können nun auf beiden Seiten M_ac subtrahieren. Durch Umstellen der verbliebenen Terme erhalten wir:

Setzen wir in (34) die Formel für die Auftriebskraft F_L = c_L · q · S bzw. F_L,i = c_L · q · S_i ein, erhalten wir:

Die roten Terme sind für alle Flügelsegmente gleich und können daher ausgeklammert und vor das Summenzeichen gesetzt werden. Da die roten Terme auf beiden Seiten vorkommen, können sie gekürzt werden. Danach können wir nach x_ac auflösen und erhalten die X-Position des Neutralpunktes:

Die X-Position x_mac des MAC lässt sich mit der Formel (24) berechnen. Durch Einsetzen von (24) in obige Formel können wir aber die X-Position des MAC auch direkt berechnen:

X-Position bei mehreren Flügelabschnitten

Angenommen, der Halbflügel besteht aus mehreren Abschnitten, für welche die X-Positionen von MAC und AC separat berechnet worden sind. Alle X-Positionen müssen sich auf den Referenzpunkt des Flügels beziehen. Dann können wir nach den Formeln (36) und (37) die X-Positionen des ganzen Halbflügels mit folgenden Formeln berechnen:

X-Position beliebig geformter Flügel

Die X-Positionen des Neutralpunktes x_ac und des MAC x_mac einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines beliebig geformten Flügelabschnittes kann berechnet werden, indem die Formeln (36) und (37) in ein Integral überführt werden. Dazu müssen wir die Flügeltiefe c und die X-Positionen x_ac und x_mac als Funktion der Y-Position kennen.

Vor dem Herleiten des Integrals ersetzen wir in den Formeln (36) und (37) die Flächen S_i durch c_i · Δy. Da die X-Position des Neutralpunktes des i-ten Flügelsegmentes immer bei 25% des entsprechenden MAC liegt, benenne ich x_ac,i in x_25,i um. Die X-Position des MAC entspricht immer der Flügelvorderkante. Ich benenne deshalb x_mac,i einfach in x_i um. Damit erhalten wir:

Durch Grenzwertbildung (siehe Berechnung der Flügelfläche) wird die Summe zum Integral und wir erhalten die allgemein gültigen Formeln für beliebige Flügelformen:

Quellen

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