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Berechnung: Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe (MAC)

Mittwoch, 18. Dezember 2013 - 00:44 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Aviatik, Mathematik, Interaktiv
Die Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe, engl. Mean Aerodynamic Chord (MAC), ist ein Referenzbereich auf dem Flügel eines Verkehrsflugzeugs. Alle Beschränkungen und viele Definitionen aus den Bereichen Flugleistung und Beladung beziehen sich auf den MAC.

In diesem Beitrag beschreibe ich, was ein MAC ist und wozu er gebraucht wird. Ich leite hier die allgemeinen Formeln für die Berechnung eines MAC her. Auf der folgenden Seite werden die Formeln für die Berechnung des MAC eines Trapezflügels aus den hier gezeigten allgemeinen Formeln hergeleitet. Auf der Seite Online-Rechner für MAC kann man den MAC von beliebigen, aus rechteckigen, trapezförmigen und dreieckigen Abschnitten zusammengesetzten Flügeln interaktiv berechnen.

Einführung und Definitionen

Informationen zum BildMean Aerodynamic Chord (MAC)

Bei der Beladung eines Verkehrflugzeugs muss die Ladung so verteilt werden, dass der Schwerpunkt (Center of Gravity, CG) innerhalb eines bestimmten Bereiches liegt. Ein paar Minuten vor dem Pushback erhalten die Piloten das Loadsheet, auf dem die Lage des Schwerpunktes in %MAC eingetragen ist. Dieser Wert bestimmt die Trimmung des Flugzeugs, welche am Trimmrad eingestellt wird und/oder im MCDU eingegeben wird. Die Skala des Trimmrades kann direkt in %MAC beschriftet sein. Meist ist die Skala jedoch mit sog. Airplane Nose Up (ANU) Einheiten beschriftet. Eine Umrechnungstabelle findet man z.B. im Aircraft Flight Manual (AFM) oder dem Loadsheet, oder die ANU Einheiten stehen bereits im Loadsheet.

Die korrekte Start-Trimmung ist sehr wichtig, damit das Flugzeug bei der berechneten Geschwindigkeit rotiert werden kann und abhebt. Eine falsche Trimmung kann im Extremfall zum Absturz führen oder das Flugzeug kann nicht abheben.

(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildAusschnitt aus dem Loadsheet eines A330 mit Umrechnungsskala von %MAC in Airplane Nose Up (ANU) Einheiten

Für die Berechnung des MAC muss man folgende Begriffe kennen:

Center of Pressure (CP)
Druckpunkt: Punkt, an dem die Kraftkomponente aus der Summe aller Kräfte eines Flügels angesetzt wird. Das Nickmoment (Pitching Moment, PM) um diesen Punkt ist Null. Die Position des CP ändert sich mit dem Anstellwinkel des Flügels.
Aerodynamic Center (AC)
Neutralpunkt: Wird die Summe aller Kräfte eines Flügels an diesem Punkt angesetzt, ist das Nickmoment um diesen Punkt zwar nicht Null, bleibt jedoch für verschiedene Anstellwinkel nahezu konstant. Daher wird das AC für Berechnungen und Bezugspunkte bevorzugt. Dieser Punkt liegt bei den meisten Flügelprofilen bei 25% des MAC.
Center of Gravity (CG)
Schwerpunkt: Punkt, an dem das Gesamtgewicht des Flugzeugs angenommen wird.
Pitching Moment (PM)
Nickmoment: Wenn die aerodynamischen Kräfte eines Flügels nicht am Druckpunkt (CP) angesetzt werden, sondern an einem beliebigen anderen Punkt, fliesst ein zusätzliches Nickmoment um diesen Punkt in die Rechnung ein. Der Momentbeiwert cM eines Flügels bezieht sich auf das AC.

Center of Pressure, Pitching Moment und Aerodynamic Center

Die auf einen Flügel einwirkenden Kräfte variieren in Richtung und Stärke von Bereich zu Bereich der Flügeloberfläche. Alle diese Kräfte kann man zu einer einzigen Auftriebskraft FL summieren, die an einem frei wählbaren Punkt angreift, plus einem Nickmoment oder Pitching Moment M um diesen Punkt.

Es gibt einen Punkt auf dem Flügel, bezüglich dem alle Kräfte ausbalanciert sind, sodass das Nickmoment um diesen Punkt Null wird. Diesen Punkt nennt man Druckpunkt oder Center of Pressure CP. Der Druckpunkt bietet sich auf den ersten Blick als Referenzpunkt P für die Auftriebskraft an, weil mit diesem Punkt offenbar kein zusätzliches Nickmoment in die Rechnungen einfliessen würde.

Wird jedoch der Anstellwinkel (Angle of Attack, AoA) α des Flügels verändert, ändert sich die Kräfteverteilung am Flügel. Damit verschiebt sich auch der Druckpunkt nach hinten oder nach vorne. Würde man den obigen fixen Referenzpunkt P als Angriffspunkt für die Auftriebskraft wählen, würde sich durch das Verschieben des Druckpunktes ein Nickmoment einstellen, das vom Anstellwinkel α und der Stärke des Auftriebs FL abhängig ist: M(α) = FL(α) · r(α), wobei r der Abstand von P zum aktuellen Druckzentrum ist. Sowohl der Auftrieb FL als auch der Abstand r des Druckpunktes vom Referenzpunkt P sind vom Anstellwinkel abhängig und damit auch das Nickmoment M. Der Punkt P ist damit als Referenzpunkt nicht besser geeignet, als jeder andere Punkt.

Eine besondere Eigenschaft eines gewölbten Flügels ist jedoch, dass es einen Punkt AC gibt, an dem das Produkt aus FL und r, und damit das Nickmoment M, zwar nicht Null ist, aber praktisch unabhängig vom Anstellwinkel. Diesen Fixpunkt nennt man Neutralpunkt oder Aerodynamic Center AC. Für Stabilitätsberechnungen ist das Konzept mit dem konstanten Nickmoment M und dem festen Referenzunkt AC einfacher zu handhaben, als dem Druckpunkt CP mit der Anstellwinkel abhängigen Position.

Damit kann das Kräfte- und Momentensystem eines Flügels komplett durch den Auftrieb und Luftwiderstand beschrieben werden, welche im Neutralpunkt AC angreifen, plus dem Nickmoment um den Neutralpunkt. [1]

Für ein Profil bei inkompressibler, reibungsfreier Strömung ergibt sich aus der Skeletttheorie ein Neutralpunkt AC bei 25% der Profiltiefe (Chord), welcher unabhängig von der Profilform und -wölbung ist. Bei der Umströmung realer Profile verschiebt sich dieser nur geringfügig. Das Drehmoment M oder dessen Momentbeiwert cM beziehen sich auf den fixen Neutralpunkt AC. Der MAC wird so platziert, dass der Neutralpunkt bei 25% des MAC liegt.

Prinzip des MAC

Alle grösseren Verkehrsflugzeuge haben gepfeilte, aus mehreren Abschnitten zusammengesetzte Flügelformen. Die Tiefe des Flügelprofils (Chord) variiert also abschnittweise mit dem Abstand vom Rumpf bis zur Flügelspitze. In der Regel variiert auch das Flügelprofil und der Anstellwinkel mit dem Abstand vom Rumpf. Diese Variationen werden in die Beiwerte für Auftrieb cL, Luftwiderstand cD und Moment cM eingerechnet und müssen daher in der Herleitung der folgenden Formeln nicht berücksichtigt werden.

Weil die aerodynamischen Kräfte und Momente mit dem Abstand vom Rumpf variieren, werden aerodynamische Berechnungen mit solchen Flügelformen umständlich und kompliziert. Dies wird durch das Konzept des Mean Aerodynamic Chord MAC vereinfacht.

Das Prinzip hinter dem MAC ist folgendes:

Jeder Körper hat einen Schwerpunkt (Center of Gravity, CG). Berechnungen von Flugbahnen eines Körpers lassen sich vereinfachen, indem man sich die Masse des ganzen Körpers in diesem Schwerpunkt konzentriert vorstellt. Ein komplizierter Körper kann so durch ein einfaches Punkt-Modell ersetzt werden.

Analog lässt sich die komplizierte Form einer Flügelhälfte durch ein 2-dimensionales Modell des Flügels ersetzen: den MAC. Die Druckverteilung über einer Flügelhälfte kann in eine einzige Auftriebskraft und ein Nickmoment um den Neutralpunkt AC des MAC zusammengefasst werden. Die Länge cmac des MAC entspricht einer gewichteten mittleren Flügeltiefe des realen Flügels. Die X-Position xmac des MAC wird durch die Position xac des Neutralpunktes AC festgelegt, sodass dieser bei 25% des MAC liegt:

(1)
x_\mathrm{mac} = x_\mathrm{ac} - 0{,}25 \cdot c_\mathrm{mac}

Da der Neutralpunkt AC einer Flügelhälfte auf dem MAC liegt, sind die Y-Positionen des MAC und des Neutralpunktes identisch. Der Neutralpunkt beider Flügelhälften zusammen genommen liegt in der Mitte zwischen den beiden Neutralpunkten der einzelnen Flügelhälften.

MAC als Modell-Flügel

Informationen zum BildPosition dcg des Schwerpunktes CG in % cmac

Man kann den realen Flügel durch einen einfachen rechteckigen Modell-Flügel mit ähnlichem Profil und gleicher Fläche ersetzen, dessen Vorderkante bei xmac liegt und dessen Flügeltiefe gleich cmac ist. Die X-Positionen von Druckpunkt CP und Neutralpunkt AC einer Flügelhälfte liegen beim Modell-Flügel an denselben Stellen wie beim realen Flügel. Auftrieb und Nickmoment sind beim Modell-Flügel und beim realen Flügel gleich gross. Für den Modell-Flügel können dieselben Beiwerte cL (Auftriebsbeiwert), cD (Widerstandsbeiwert) und cM (Momentbeiwert) verwendet werden und führen zu denselben Resultaten wie beim realen Flügel.

Der Modell-Flügel reduziert die Geometrie einer beliebigen Flügelform auf die zwei Masse: Position xmac und Länge cmac des MAC. Daher wird unter anderem die Position des Schwerpunktes (Center of Gravity, CG) dcg relativ zum MAC in Prozent der Länge cmac des MAC angegeben:

(2)
d_\mathrm{cg} = { X_\mathrm{cg} - (X_\mathrm{ref} + x_\mathrm{mac}) \over c_\mathrm{mac}} \cdot 100\%
wobei'
d_\mathrm{cg} ' =' 'Position des CG in Prozent bezüglich MAC
X_\mathrm{cg} ' =' 'Position des CG von der Flugzeugnase aus gemessen
X_\mathrm{ref} ' =' 'Position des Flügel-Referenzpunktes von der Flugzeugnase aus gemessen
x_\mathrm{mac} ' =' 'Position des MAC's vom Flügel-Referenzpunkt aus gemessen
c_\mathrm{mac} ' =' 'Länge des MAC's

Berechnung der Flügelfläche

(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildBerechnung der Flügelfläche

Für die Berechnung des MAC wird die Gesamtfläche S einer Flügelhälfte benötigt. Bei einfachen Formen wie Rechteck, Dreieck und Trapez ist deren Berechnung trivial. Bei komplizierteren Flügelformen unterteilt man die Fläche in viele kleine Segmente Si = ci · Δy und addiert die Segmentflächen. Auch wenn ein Flügel aus mehreren Abschnitten besteht, deren Flächen man berechnet hat, erhält man die Gesamtfläche, indem man einfach die Flächen aller Abschnitte addiert:

(3)
S = \sum_i S_i = \sum_i c_i \cdot \Delta y
wobei'
S ' =' 'Gesamtfläche einer Flügelhälfte
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelsegmentes oder Flügelabschnittes
c_i ' =' 'Flügeltiefe des i-ten Flügelsegmentes
\Delta y ' =' 'Breite der Flügelsegmente

Die obige Summenformel liefert bei komplizierten Formen nur eine Annäherung für die reale Fläche. Je schmaler man die Flügelsegmente macht, desto genauer wird die berechnete Fläche. Von der Annäherung zur exakten Fläche gelangt man, indem man die Summe in ein Integral überführt. Dies macht man, indem man die Breite Δy eines Flügelsegmentes gegen Null gehen lässt. Δy wird so zu dy und ci zu c(y). Mathematisch schreibt man dies wiefolgt:

(4)
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \sum_i c_i \cdot \Delta y = \int_0^b c(y) \ \mathrm{d} y

Liegt die Flügeltiefe c als Funktion des Abstandes y von der Flügelwuzel vor, kann man also die Fläche beliebiger Flügelformen über das folgende Integral exakt berechnen:

(5)
S = \int_0^b c(y) \ \mathrm{d} y
wobei'
S ' =' 'Gesamtfläche einer Flügelhälfte oder eines Flügelabschnittes
b ' =' 'Spannweite der Flügelhälfte oder Breite eines Flügelabschnittes
c(y) ' =' 'Flügeltiefe als Funktion des Abstandes y von der Wurzel des Flügelabschnittes

Länge des MAC

Der MAC des realen Flügels und des rechteckigen Modell-Flügels sollen dieselben aerodynamischen Eigenschaften haben. Aus dieser Bedingung lässt sich der MAC des realen Flügels konstruieren.

Der rechteckige Modell-Flügel soll dasselbe Nickmoment (Pitching Moment) wie der reale Flügel haben. Das Nickmoment Mi des i-ten rechteckigen Flügelsegmentes um seinen Neutralpunkt ACi errechnet man nach folgender Formel: [2]

(6)
M_i = c_\mathrm{M} \cdot q \cdot c_i \cdot S_i
wobei'
M_i ' =' 'Nickmoment des i-ten rechteckigen Flügelsegmentes
c_\mathrm{M} ' =' 'Momentbeiwert
q ' =' 'Staudruck
c_i ' =' 'Flügeltiefe des i-ten Flügelsegmentes
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelsegmentes

Das Nickmoment M der gesamten Flügelhälfte um den Neutralpunkt AC ist die Summe der Nickmomente Mi aller Flügelsegmente:

(7)
M = \sum_i M_i = \color{red}{c_\mathrm{M} \cdot q} \cdot \color{blue}{\sum_i c_i \cdot S_i}

Da die Faktoren cM und q für alle Flügelsegmente gleich sind, können wir sie ausklammern und vor das Summenzeichen setzen.

Das Nickmoment des Modell-Flügels MModell berechnet sich gleich wie das Nickmoment eines Flügelsegmentes nach Formel (6), jedoch mit der mittleren Flügeltiefe cmac und der Fläche S der Flügelhälfte:

(8)
M_\mathrm{Modell} = \color{red}{c_\mathrm{M} \cdot q} \cdot \color{green}{c_\mathrm{mac} \cdot S}

Wegen der Bedingung, dass das Nickmoment der Flügelhälfte und des Modell-Flügels gleich sein sollen, können wir MModell=M setzen:

(9)
\color{red}{c_\mathrm{M} \cdot q} \cdot \color{green}{c_\mathrm{mac} \cdot S} = \color{red}{ c_\mathrm{M} \cdot q } \cdot \color{blue}{\sum_i c_i \cdot S_i}

Die rot markierten Faktoren kommen auf beiden Seiten der Gleichung vor und können daher gestrichen werden. Danach können wir nach der gesuchten mittleren Flügeltiefe cmac des Modell-Flügels auflösen:

(10)
c_\mathrm{mac} = {1 \over S } \sum_i c_i \cdot S_i

MAC Länge bei mehreren Flügelabschnitten

Besteht eine Flügelhälfte aus verschiedenen Abschnitten, kann für jeden Abschnitt ein separater Modell-Flügel berechnet werden. Jeder dieser Modell-Flügelabschnitte Si hat seinen eigenen MAC cmac,i. Mit Hilfe der Formel (10) lässt sich der gesamte MAC aus den einzelnen Abschnitten wiefolgt berechnen:

(11)
c_\mathrm{mac} = {1 \over S } \sum_i c_{\mathrm{mac},i} \cdot S_i
mit
S = \sum_i S_i
wobei'
c_\mathrm{mac} ' =' 'Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe (MAC) der ganzen Flügelhälfte
c_{\mathrm{mac},i} ' =' 'Mittlere Flügeltiefe des i-ten Flügelabschnittes
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelabschnittes
S ' =' 'Fläche der ganzen Flügelhälfte

MAC Länge beliebig geformter Flügel

Für die Berechnung des MAC eines beliebig geformten Flügels oder Flügelabschnittes, von dem wir die Flügeltiefe c als Funktion des Abstandes y von der Wurzel des Flügelabschnittes kennen, können wir die Summe wie bei der Berechnung der Flügelfläche in ein Integral überführen. Dazu ersetzen wir in (10) zunächst die Fläche eines Flügelsegmentes Si durch ci · Δy:

(12)
c_\mathrm{mac} = {1 \over S} \sum_i c_i \cdot ( \color{blue}{c_i \cdot \Delta y} ) = {1 \over S} \sum_i {c_i}^2 \cdot \Delta y

Durch Grenzwertbildung erhalten wir daraus das folgende Integral, mit dem wir die MAC-Länge cmac einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines Flügelabschnittes berechnen können:

(13)
c_\mathrm{mac} = {1 \over S} \int_0^b c(y)^2 \ \mathrm{d} y
mit
S = \int_0^b c(y) \ \mathrm{d} y
wobei'
c_\mathrm{mac} ' =' 'Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe (MAC) der gesamten Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes
S ' =' 'Fläche der gesamten Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes nach Formel (5)
b ' =' 'Spannweite der Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes
c(y) ' =' 'Flügeltiefe als Funktion des Abstandes y von der Wurzel der Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes

Y-Position von MAC und AC

(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildBerechnung der Y-Position des AC

Die Y-Position von Druckpunkt, Neutralpunkt und MAC sind identisch. Die Y-Position yac liegt dort, wo die Auftriebskräfte aller Flügelsegmente Si bezüglich einer zur der X-Achse parallelen Achse im Gleichgewicht sind. Das heisst, die Summe aller Drehmomente Mi der Auftriebskräfte FL,i um diese Achse ist Null.

Das Drehmoment Mi des Flügelsegmentes Si um den Neutralpunkt AC bei der gesuchten Y-Koordinate yac ist:

(14)
\color{blue}{M_i} = \color{green}{r} \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} = (\color{green}{y_i} - \color{red}{y_\mathrm{ac}}) \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}}
wobei'
M_i ' =' 'Drehmomentbeitrag des i-ten Flügelsegmentes
y_i ' =' 'Y-Abstand des i-ten Flügelsegmentes von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes
y_\mathrm{ac} ' =' 'Y-Abstand des Neutralpunktes AC von der Wurzel des Halbflügels oder Flügelabschnittes
F_{\mathrm{L},i} ' =' 'Auftrieb des i-ten Flügelsegmentes
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelsegmentes

Beachte, dass für alle Flügelsegmente, für welche die Y-Position yi grösser als yac ist, ein positives Drehmoment Mi um den Punkt AC entsteht, für alle anderen Segmente entsteht ein negatives Moment.

Für Gleichgewicht muss die Summe aller Momente Mi um den Neutralpunkt Null sein:

(15)
\sum_i \color{blue}{ M_i } = \sum_i (\color{green}{y_i} - \color{red}{y_\mathrm{ac}}) \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} = 0

Wir können die Terme in der zweiten Summe ausmultiplizieren und als zwei Summen hinschreiben:

(16)
\sum_i (\color{green}{y_i} - \color{red}{y_\mathrm{ac}}) \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} = \sum_i \color{green}{y_i} \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} - \sum_i \color{red}{y_\mathrm{ac}} \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} = 0

Nach Umstellen der Formel erhalten wir:

(17)
\color{red}{y_\mathrm{ac}} \cdot \sum_i \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} = \sum_i \color{green}{y_i} \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}}

Die Position yac ist für alle Flügelsegmente gleich und kann daher vor das Summenzeichen gesetzt werden. Dann bleibt links noch die Summe der Auftriebsbeiträge FL,i aller Flügelsegmente. Dies ist aber gerade der Auftrieb FL der ganzen Flügelhälfte bzw. eines Flügelabschnittes. Also:

(18)
\color{red}{y_\mathrm{ac}} \cdot F_\mathrm{L} = \sum_i \color{green}{y_i} \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}}

Setzen wir in (18) die Formel für die Auftriebskraft FL = cL · q · S und FL,i = cL · q · Si ein, erhalten wir:

(19)
y_\mathrm{ac} \cdot \color{red}{c_\mathrm{L} \cdot q} \cdot S = \color{red}{c_\mathrm{L} \cdot q} \cdot \sum y_i \cdot S_i

Die roten Terme sind für alle Flügelsegmente gleich und können daher vor das Summenzeichen gesetzt werden. Da die roten Terme auf beiden Seiten vorkommen, können sie gekürzt werden. Danach können wir nach yac auflösen und erhalten:

(20)
y_\mathrm{ac} = {1 \over S} \cdot \sum_i y_i \cdot S_i

Von dieser Formel ausgehend lässt sich die Y-Position des Neutralpunktes AC einer ganzen Flügelhälfte aus den Y-Positionen der einzelnen Abschnitte berechnen (21) und es lässt sich eine Formel für die Berechnung der Y-Position einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines beliebig geformten Flügelabschnittes herleiten (23):

Y-Position bei mehreren Flügelabschnitten

Wenn wir die Y-Positionen yac,i der Neutralpunkte mehrerer separater Flügelabschnitte Si berechnet haben, lässt sich die Y-Position yac der gesamten Flügelhälfte nach der Formel (20) berechnen:

(21)
y_\mathrm{ac} = {1 \over S } \cdot \sum_i y_{\mathrm{ac},i} \cdot S_i
mit
S = \sum_i S_i
wobei'
y_\mathrm{ac} ' =' 'Y-Position des MAC, Neutralpunktes AC und Druckpunktes CP
y_{\mathrm{ac},i} ' =' 'Y-Position von MAC, AC bzw. CP des i-ten Flügelabschnittes, gemessen von der Wurzel der ganzen Flügelhälfte!
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelabschnittes
S ' =' 'Fläche der gesamten Flügelhälfte

Y-Position beliebig geformter Flügel

Die Y-Position yac des Neutralpunktes AC einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines beliebig geformten Flügelabschnittes kann berechnet werden, indem die Formel (20) in ein Integral überführt wird. Dazu müssen wir die Flügeltiefe c(y) als Funktion der Y-Position kennen.

Vor dem Herleiten des Integrals ersetzen wir in Formel (20) die Fläche durch Si = ci · Δy. Damit erhalten wir:

(22)
y_\mathrm{ac} = {1 \over S} \cdot \sum_i y_i \cdot \color{blue}{c_i \cdot \Delta y}

Durch Grenzwertbildung (siehe Berechnung der Flügelfläche) wird die Summe zum Integral und wir erhalten die allgemein gültige Formel für beliebige Flügelformen:

(23)
y_\mathrm{ac} = {1 \over S} \int_0^b y \cdot c(y) \ {\mathrm d}y
mit
S = \int_0^b c(y) \ \mathrm d y
wobei'
y_\mathrm{ac} ' =' 'Y-Position des Neutralpunktes, Druckpunktes und MAC
S ' =' 'Fläche der Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes
b ' =' 'Spannweite der Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes
y ' =' 'Y-Position gemessen von der Wurzel der Flügelhälfte oder des Flügelabschnittes
c(y) ' =' 'Flügeltiefe an der Position y

Setzt sich ein Halbflügel aus verschiedenen Abschnitten zusammen, kann mit (23) die Y-Position yac,i des Neutralpunktes für jeden Abschnitt i separat berechnet werden. Die Y-Position des Neutralpunktes yac der ganzen Flügelhälfte kann dann nach der Formel (21) aufsummiert werden.

Es muss dabei beachtet werden, dass die mit (23) berechneten Y-Positionen yac,i der einzelnen Flächenabschnitte bezüglich der Wurzel des jeweiligen Abschnittes vorliegen. Vor dem Einsetzen in die Formel (21) müssen diese Positionen bezüglich der Wurzel der ganzen Flügelhälfte umgerechnet werden!

X-Position von MAC und AC

Die X-Position xmac des MAC ist definiert durch die X-Position xac des Neutralpunktes AC. Der Neutralpunkt liegt 25% der MAC-Länge cmac hinter der X-Position des MAC. Kennt man also die X-Position des Neutralpunktes, kann man die X-Position des MAC mit der folgenden Formel berechnen:

(24)
x_\mathrm{mac} = x_\mathrm{ac} - 0{,}25 \cdot c_\mathrm{mac}
(25)
x_\mathrm{ac} = x_\mathrm{mac} + 0{,}25 \cdot c_\mathrm{mac}
wobei'
x_\mathrm{mac} ' =' 'X-Position des vorderen Punktes des MAC bezüglich des Flügel-Referenzpunktes
x_\mathrm{ac} ' =' 'X-Position des Neutralpunktes bezüglich des Flügel-Referenzpunktes
c_\mathrm{mac} ' =' 'Länge des MAC

Die X-Position des Neutralpunktes AC kann anlog wie die Y-Position berechnet werden. Im Gegensatz zur Y-Position liegt die X-Position des AC allerdings nicht dort, wo die Summe der Drehmomente Mi aller Flügelsegmente Null ergibt, sondern dort, wo das Nickmoment einen bestimmten, vom Anstellwinkel unabhängigen Wert Mac hat.

Das Drehmoment Mi des i-ten Flügelsegmentes um eine Parallele zur Y-Achse durch den Neutralpunkt ACi ist:

(26)
\color{blue}{M_i} = (\color{green}{x_{\mathrm{ac},i}} - \color{red}{x_\mathrm{ac}}) \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} + M_{\mathrm{ac},i}
wobei'
M_i ' =' 'Drehmomentbeitrag des i-ten Flügelsegmentes um den Neutralpunkt AC
x_{\mathrm{ac},i} ' =' 'X-Abstand des Neutralpunktes ACi des i-ten Flügelsegmentes vom Referenzpunkt des Flügels
x_\mathrm{ac} ' =' 'X-Abstand des Neutralpunktes AC des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes vom Referenzpunkt des Flügels
F_{\mathrm{L},i} ' =' 'Auftrieb des i-ten Flügelsegmentes
M_{\mathrm{ac},i} ' =' 'Nickmoment-Anteil des i-ten Flügelsegmentes

Die Formel (26) zeigt, dass zusätzlich zum Drehmoment, welches aus (xac,ixac) · FL,i resultiert, noch der Nickmoment-Anteil Mac,i des Flügelsegmentes hinzukommt.

Die Summe aller Momente Mi ergibt nicht Null, sondern den Wert des Nickmomentes Mac des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes:

(27)
\sum_i \color{blue}{M_i} = \sum_i \left[ (\color{green}{x_{\mathrm{ac},i}} - \color{red}{x_\mathrm{ac}}) \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} + M_{\mathrm{ac},i} \right] = M_\mathrm{ac}
wobei'
M_{\mathrm{ac},i} ' =' 'Nickmoment-Anteil des i-ten Flügelsegmentes
M_\mathrm{ac} ' =' 'Nickmoment des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes

Ausmultiplizieren der Terme in der runden Klammer und nachfolgendes Separieren der Summen ergibt:

(28)
\sum_i \color{green}{x_{\mathrm{ac},i}} \cdot \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} - \color{red}{x_\mathrm{ac}} \cdot \sum_i \color{blue}{F_{\mathrm{L},i}} + \sum_i M_{\mathrm{ac},i} = M_\mathrm{ac}

Beachte, dass xac vor das Summenzeichen gesetzt werden kann, weil es für alle Flügelsegmente gleich ist.

Als nächstes berechne ich die Summe der Nickmoment-Anteile Mac,i. Dazu verwende ich ich folgende Definition:

(29)
M_{\mathrm{ac},i} = c_M \cdot q \cdot c_i \cdot S_i
wobei'
M_{\mathrm{ac},i} ' =' 'Nickmoment-Anteil des i-ten Flügelsegmentes
c_M ' =' 'Momentbeiwert
q ' =' 'Staudruck
c_i ' =' 'Flügeltiefe des i-ten Flügelsegmentes
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelsegmentes

Die Summe all dieser Nickmoment-Anteile ist dann:

(30)
\sum_i M_{\mathrm{ac},i} = \sum_i c_M \cdot q \cdot c_i \cdot S_i = c_M \cdot q \cdot \color{blue}{\sum_i c_i \cdot S_i}

Durch Vergleich der blauen Summe mit der Formel (10) für die Länge cmac des MAC stellt man fest, dass diese Summe gerade S · cmac entspricht. Ersetzen wir die blaue Summe also durch diesen Term:

(31)
\sum_i M_{\mathrm{ac},i} = c_M \cdot q \color{blue}{\cdot S \cdot c_\mathrm{mac}}
wobei'
S ' =' 'Fläche des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes
c_\mathrm{mac} ' =' 'Mittlere Aerodynamische Flügeltiefe des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes

Dies ist aber genau die Definition des Nickmomentes Mac des ganzen Halbflügels oder Flügelabschnittes. Wir können jetzt in (28) die folgenden Terme ersetzen:

(32)
\sum_i F_{\mathrm{L},i} = \color{blue}{F_L} \qquad\qquad \sum_i M_{\mathrm{ac},i} = \color{red}{M_\mathrm{ac}}

Damit vereinfacht sich Formel (28) zu:

(33)
\sum_i x_{\mathrm{ac},i} \cdot F_{\mathrm{L},i} - x_\mathrm{ac} \cdot \color{blue}{F_L} + \color{red}{M_\mathrm{ac}} = \color{red}{M_\mathrm{ac}}

Wir können nun auf beiden Seiten Mac subtrahieren. Durch Umstellen der verbliebenen Terme erhalten wir:

(34)
x_\mathrm{ac} \cdot F_L = \sum_i x_{\mathrm{ac},i} \cdot F_{\mathrm{L},i}

Setzen wir in (34) die Formel für die Auftriebskraft FL = cL · q · S bzw. FL,i = cL · q · Si ein, erhalten wir:

(35)
x_\mathrm{ac} \cdot \color{red}{c_\mathrm{L} \cdot q} \cdot S = \color{red}{c_\mathrm{L} \cdot q} \cdot \sum_i x_{\mathrm{ac},i} \cdot S_i

Die roten Terme sind für alle Flügelsegmente gleich und können daher ausgeklammert und vor das Summenzeichen gesetzt werden. Da die roten Terme auf beiden Seiten vorkommen, können sie gekürzt werden. Danach können wir nach xac auflösen und erhalten die X-Position des Neutralpunktes:

(36)
x_\mathrm{ac} = {1 \over S} \cdot \sum_i x_{\mathrm{ac},i} \cdot S_i

Die X-Position xmac des MAC lässt sich mit der Formel (24) berechnen. Durch Einsetzen von (24) in obige Formel können wir aber die X-Position des MAC auch direkt berechnen:

(37)
x_\mathrm{mac} = {1 \over S} \cdot \sum_i x_{\mathrm{mac},i} \cdot S_i

X-Position bei mehreren Flügelabschnitten

Angenommen, der Halbflügel besteht aus mehreren Abschnitten, für welche die X-Positionen von MAC und AC separat berechnet worden sind. Alle X-Positionen müssen sich auf den Referenzpunkt des Flügels beziehen. Dann können wir nach den Formeln (36) und (37) die X-Positionen des ganzen Halbflügels mit folgenden Formeln berechnen:

(38)
x_\mathrm{ac} = {1 \over S} \cdot \sum_i x_{\mathrm{ac},i} \cdot S_i
(39)
x_\mathrm{mac} = {1 \over S} \cdot \sum_i x_{\mathrm{mac},i} \cdot S_i
mit
S = \sum_i S_i
wobei'
x_\mathrm{ac} ' =' 'X-Position des Neutralpunktes AC des ganzen Halbflügels
x_{\mathrm{ac},i} ' =' 'X-Position des Neutralpunktes ACi des i-ten Flügelabschnittes
x_\mathrm{mac} ' =' 'X-Position des MAC des ganzen Halbflügels
x_{\mathrm{mac},i} ' =' 'X-Position des MAC des i-ten Flügelabschnittes
S_i ' =' 'Fläche des i-ten Flügelabschnittes
S ' =' 'Fläche des gesamten Halbflügels

X-Position beliebig geformter Flügel

Die X-Positionen des Neutralpunktes xac und des MAC xmac einer beliebig geformten Flügelhälfte oder eines beliebig geformten Flügelabschnittes kann berechnet werden, indem die Formeln (36) und (37) in ein Integral überführt werden. Dazu müssen wir die Flügeltiefe c und die X-Positionen xac und xmac als Funktion der Y-Position kennen.

Vor dem Herleiten des Integrals ersetzen wir in den Formeln (36) und (37) die Flächen Si durch ci · Δy. Da die X-Position des Neutralpunktes des i-ten Flügelsegmentes immer bei 25% des entsprechenden MAC liegt, benenne ich xac,i in x25,i um. Die X-Position des MAC entspricht immer der Flügelvorderkante. Ich benenne deshalb xmac,i einfach in xi um. Damit erhalten wir:

(40)
x_\mathrm{ac} = {1 \over S} \cdot \sum_i x_{25,i} \cdot c_i \cdot \Delta y
(41)
x_\mathrm{mac} = {1 \over S} \cdot \sum_i x_i \cdot c_i \cdot \Delta y

Durch Grenzwertbildung (siehe Berechnung der Flügelfläche) wird die Summe zum Integral und wir erhalten die allgemein gültigen Formeln für beliebige Flügelformen:

(42)
x_\mathrm{ac} = {1 \over S} \int_0^b x_{25}(y) \cdot c(y) \ \mathrm{d} y
(43)
x_\mathrm{mac} = {1 \over S} \int_0^b x(y) \cdot c(y) \ \mathrm{d} y
mit
S = \int_0^b c(y) \ \mathrm{d} y
wobei'
x_\mathrm{ac} ' =' 'X-Position des Neutralpunktes AC des Halbflügels oder Flügelabschnittes
x_{25}(y) ' =' 'X-Position der 25% Linie zwischen Flügelvorder- und Hinterkante als Funktion der Y-Position
x_\mathrm{mac} ' =' 'X-Position des MAC des Halbflügels oder Flügelabschnittes
x(y) ' =' 'X-Position der Flügelvorderkante als Funktion der Y-Position
c(y) ' =' 'Flügeltiefe als Funktion der Y-Position
S ' =' 'Fläche des Halbflügels oder Flügelabschnittes

Quellen

Chapter 5 Wing Design; Mohammad Sadraey; Daniel Webster College; P. 181
http://faculty.dwc.edu/sadraey/Chapter%205.%20Wing%20Design.pdf
Aerofoils and wings; Fly Safe; Groundschool – Theory of Flight
http://flysafe.raa.asn.au/groundschool/umodule4.html
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Erzeugt Sonntag, 29. Juni 2014
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