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Berechnungen zur Ringwelt von Larry Niven

Donnerstag, 4. Oktober 2012 - 19:10 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik, Raumfahrt | Kommentare(5)

Die Ringwelt ist eine fiktive Welt im Known Space-Universum des Science-Fiction Schriftstellers Larry Niven. Sie hatte ihr Debüt in dem 1970 erschienen Science-Fiction-Roman Ringworld (deutsch: Ringwelt). Das Buch gilt heute als einer der Klassiker der Science-Fiction. [1]

In diesem Beitrag stelle ich ein paar Berechnungen zur Ringwelt an. Die Frage ist, ob eine solche Welt gebaut werden könnte oder ob das physikalisch nicht möglich ist.

Aufbau der Ringwelt

Die Ringwelt ist eine künstliche Welt, die einen Stern ringförmig umgibt. Ihr Radius ist ungefähr gleich dem Abstand der Erde von der Sonne, etwa 150 Millionen km. Ihre Breite beträgt 1,6 Millionen km, etwa dem Durchmesser des Zentralgestirns entsprechend, und an den Rändern befinden sich zwei 1,600 km hohe Aussenwälle, die die Atmosphäre innerhalb des Ringes halten. Ihre Oberfläche beträgt etwa das Dreimillionenfache der Erdoberfläche. [1]

Im Verhältnis zu ihren gigantischen Ausmassen besteht die Ringwelt aus sehr wenig Material. Die Gesamtmasse entspricht etwa 350 Erdmassen (so viel wie die Summe aller Planeten unseres Sonnensystems). Die durchschnittliche Dicke des Ringmaterials beträgt nur etwa 30 m. Auf der Aussenseite des Ringes befindet sich noch eine zusätzliche schaumähnliche Schutzschicht von etwa 300 m Dicke, die Meteoroiden und andere Himmelskörper beim Einschlag abbremsen soll.

Physikalische Bedenken

Im Wikipedia-Artikel zur Ringwelt stehen zum Aufbau folgende Bedenken:

  • Einer der Punkte, in denen die Ringwelt-Romane einer wissenschaftlichen Grundlage entbehren, betrifft das Material, Scrith genannt, aus dem der Ring gefertigt ist. Das Material müsste unglaublich dicht sein und eine unrealistisch hohe Zugfestigkeit (in der Grössenordnung der starken Kernkraft) besitzen, um die durch die Rotation des Ringes entstehenden inneren Zugkräfte aushalten zu können.
  • Um die gigantische Ringwelt in Rotation zu versetzen, musste das riesige Energieäquivalent von etwa 0,2 % der Erdmasse aufgewendet werden.

Ich möchte in diesem Beitrag konkrete Berechnungen dazu vornehmen und diese erklären, damit man nachvollziehen und beurteilen kann, ob diese Bedenken begründet sind.

Daten zur Ringwelt

Zunächst liste ich einige Daten zur Ringwelt auf, die ich nachher für meine Berechnungen benötige [2]:

Masse der Sonne MS = 1,93 ·1030 kg
Radius der Sonne RS = 680 ·106 m
Masse der Ringwelt m = 2,1 ·1027 kg
Radius der Ringwelt r = 153 ·109 m
Breite der Ringwelt b = 1,6 ·109 m
Dicke der Ringwelt d = 30 m
Querschnittsfläche A = b · d = 48 ·109 m2
Beschleunigung (Gravitation) auf der Ringwelt a = 9,73 m/s2
Winkelgeschwindigkeit ω = 7,98 ·10−6 rad/s
Rotationsperiode T = 787 ·103 s (ca. 9,1 Tage)
Tangentialgeschwindigkeit v = 1,22 ·106 m/s
Gravitationskonstante G = 6,67 ·10−11 m3/kg/s2

Berechnung der Drehgeschwindigkeit

Für die Berechnung der Drehgeschwindigkeit ω und der daraus resultierenden Beschleunigung aZ und der Zugkräfte FT die auf einen Querschnitt der Ringwelt wirken, zerlege ich den Ring gedanklich in Segmente, die durch den Winkel dθ aufgespannt werden und untersuche die Kräfte, die auf dieses Segment wirken:

Kräfte und Beschleunigung an einem Ausschnitt der Ringwelt

Lassen wir zunächst mal die Sonne verschwinden. Auf die Bewohner der Ringwelt wirkt dann nur die Zentripetalbeschleunigung aZ, welche dafür verantwortlich ist, dass das Ringsegment sich auf einer kreisförmigen Bahn um das Zentrum bewegt. Diese Beschleungigung spürt der Bewohner als Gewichtskraft. Die Zentripetalbeschleunigung aZ ist nur vom Radius r der Ringwelt und der Drehgeschwindigkeit ω abhängig:

(1)
a_\mathrm{Z} = r \cdot \omega^2

Der Radius r der Ringwelt ist gegeben. Die Drehgeschwindigkeit wird nun so eingestellt, dass aZ gerade der gewünschten Erdbeschleunigung von in unserem Fall a = 9,73 m/s2 entspricht.

Nun hat aber die Sonne mit ihrer Gravitation auch einen Einfluss auf das System. Sie verringert die gespürte Beschleunigung um einen Betrag aS aufgrund ihrer Anziehungskraft:

(2)
a_\mathrm{S} = { G \cdot M_\mathrm{S} \over r^2 }
wobei'
a_\mathrm{S} ' =' 'Beschleunigung auf einen Körper durch die Gravitation der Sonne
G ' =' 'Gravitationskonstante
M_\mathrm{S} ' =' 'Masse der Sonne
r ' =' 'Entfernung von der Sonne

Damit die Bewohner trotzdem die Beschleunigung von a = 9,73 m/s2 zu spüren bekommen, muss die Zentripetalbeschleunigung um aS vergrössert werden:

(3)
a_\mathrm{Z} = a_\mathrm{S} + a = r \cdot \omega^2
wobei'
a_\mathrm{Z} ' =' 'Zentripetalbeschleunigung der Ringwelt
a_\mathrm{S} ' =' 'Beschleunigung durch die Gravitation der Sonne
a ' =' 'Beschleunigung, welche die Bewohner spüren sollen

Die notwendige Winkelgeschwindigkeit ω kann nun wiefolgt berechnet werden:

(4)
\omega = \sqrt{ G \cdot M_\mathrm{S} + a \cdot r^2 \over r^3 }
mit
\omega = { 2 \pi \over T } \qquad \leftrightarrow \qquad T = { 2 \pi \over \omega }
wobei'
\omega ' =' 'Winkelgeschwindigkeit der Ringwelt
T ' =' 'Rotationsperiode
M_\mathrm{S} ' =' 'Masse der Sonne
a ' =' 'Gewünschte Schwerebeschleunigung der Bewohner
r ' =' 'Radius der Ringwelt
G ' =' 'Gravitationskonstante

Die Tangentialgeschwindigkeit v kann aus ω sehr leicht berechnet werden:

(5)
v = \omega \cdot r

Konkrete Daten für Beschleunigung und Drehung

Beschleunigung durch Sonne (2) aS = 5,5 ·10−3 m/s2
Zentripetalbeschleunigung (3) aZ = 9,735 m/s2
Winkelgeschwindigkeit (4) ω = 7,98 ·10−6 rad/s
Rotationsperiode (4) T = 787,7 ·103 s

Berechnung der Material-Zugbelastung

Wir kennen nun die Zentripetalbeschleunigung aZ, welche unser Ringsegment auf der Umlaufbahn um die Sonne hält. Nach Newtons F = m · a kann nun die Zentripetalkraft FZ berechnet werden, die dazu nötig ist:

(6)
F_\mathrm{Z} = \mathrm{d} m \cdot a_\mathrm{Z}

Die Masse dm des Ringsegmentes kann aus der gesamten Masse m der Ringwelt wiefolgt berechnet werden:

(7)
\mathrm{d} m = {m \over 2 \pi}\, \mathrm{d} \theta = \rho \cdot A \cdot r \cdot \mathrm{d} \theta
wobei'
\mathrm{d} m ' =' 'Masse des Ringsegmentes
m ' =' 'Gesamtmasse der Ringwelt
\mathrm{d} \theta ' =' 'Winkelausschnitt des Ringsegmentes
\rho ' =' 'Materialdichte
A ' =' 'Querschnittsfläche
r ' =' 'Ringradius

Woher stammt nun die notwendige Zentripetalkraft FZ, die das Ringsegement auf der Umlaufbahn hält?

Betrachten wir das folgende Bild, in dem alle Kräfte eingezeichnet sind:

Kräfte an einem Ausschnitt der Ringwelt

Ein Teil der Zentripetalkraft FZ wird von der Anziehungskraft FS der Sonne aufgebracht. Der Rest FR muss von den Tangentialkräften FT aufgebracht werden, welche im Material wirken.

(8)
F_\mathrm{Z} = F_\mathrm{S} + F_\mathrm{R} \qquad \leftrightarrow \qquad F_\mathrm{R} = F_\mathrm{Z} - F_\mathrm{S}

Die Tangentialkräfte lassen sich in horizontale und vertikale Komponenten zerlegen. Die horizontalen Komponenten sind sich entgegengesetzt und gleich gross, heben sich also auf und haben keinen Einfluss auf die Bewegung. Die vertikalen Komponenten summieren sich zu FR und können aus FT wiefolgt geometrisch berechnet werden:

(9)
F_\mathrm{R}/2 = F_\mathrm{T} \cdot \sin( \mathrm{d} \theta / 2 )

Für die folgenden Berechnungen nehmen wir an, dass dθ beliebig klein gewählt werden kann. Für kleine Winkel dθ gilt:

(10)
\sin( \mathrm{d} \theta ) \approx \mathrm{d} \theta

Dadurch vereinfacht sich (9) zu:

(11)
F_\mathrm{R}/2 = F_\mathrm{T} \cdot \mathrm{d} \theta / 2 \qquad \Rightarrow \qquad F_\mathrm{R} = F_\mathrm{T} \cdot \mathrm{d} \theta

Damit können wir die Zugkräfte FT im Material berechnen, wenn wir die Kraft FR kennen:

(12)
F_\mathrm{T} = { F_\mathrm{R} \over \mathrm{d} \theta } = { F_\mathrm{Z} - F_\mathrm{S} \over \mathrm{d} \theta }

Hier nochmals zusammengestellt, wie die Zentripetalkraft FZ und die Anziehungskraft der Sonne FS auf das Ringsegment berechnet wird:

(13)
F_\mathrm{Z} = \mathrm{d} m \cdot r \cdot \omega^2 = \mathrm{d} m \cdot a_\mathrm{Z}
(14)
F_\mathrm{S} = \mathrm{d} m \cdot { G \cdot M_\mathrm{S} \over r^2 } = \mathrm{d} m \cdot a_\mathrm{S}

In Fomel (12) eingesetzt erhalten wir:

(15)
F_\mathrm{T} = { F_\mathrm{Z} - F_\mathrm{S} \over \mathrm{d} \theta } = { \mathrm{d} m \cdot a_\mathrm{Z} - \mathrm{d} m \cdot a_\mathrm{S} \over \mathrm{d} \theta } = { \color{blue}{\mathrm{d} m} \cdot\color{red}{( a_\mathrm{Z} - a_\mathrm{S} )} \over \mathrm{d} \theta }

Aus Formel (3) wissen wir dass aZaS = a ist, welches die für die Bewohner spürbare Beschleunigung ist. Ausserdem können wir für dm die Formel (7) verwenden. Dies in (15) eingesetzt ergibt:

(16)
F_\mathrm{T} = { \color{blue}{m \cdot \mathrm{d} \theta} \cdot \color{red}{a} \over \color{blue}{2 \pi} \cdot \mathrm{d} \theta } = { m \cdot a \over 2 \pi }

Die Masse m der Ringwelt können wir noch durch die Dichte ρ mal das Volumen V = A · 2π · r ersetzen, womit wir schliesslich die folgende Formel für die Zugkräfte erhalten:

(17)
F_\mathrm{T} = { m \cdot a \over 2\pi } = \rho \cdot A \cdot r \cdot a
wobei'
F_\mathrm{T} ' =' 'Zugkräfte im Ringmaterial verteilt auf den Querschnitt A
m ' =' 'Masse der Ringwelt
a ' =' 'Beschleunigung (Gravitation) auf der Ringwelt
\rho ' =' 'Dichte des Materials Scrith
A ' =' 'Querschnitt der Ringwelt
r ' =' 'Radius der Ringwelt

Bei Materialien wird die maximale Zugfestigkeit angegeben. Um beurteilen zu können, ob ein Material eine bestimmte Spannung (Kraft pro Fläche) aushält, gebe ich noch die Formel zur Berechnung der Spannung σ an:

(18)
\sigma = { F_\mathrm{T} \over A } = { m \cdot a \over 2\pi \cdot A } = \rho \cdot r \cdot a

Diskussion

Interessant ist, dass die Zugkräfte FT nur von der Masse der Ringwelt und der gewünschten Beschleunigung (Gravitation) abhängen. Die Grösse und die Form des Querschnitts haben keinen Einfluss, solange die Masse des Rings dieselbe bleibt!

Durch Vergrössern des Querschnitts A könnte man die Belastungsspannung im Material senken. In gleichem Masse nimmt aber dabei das Volumen und damit die Gesamtmasse m des Ringes zu und damit auch die Zugkräfte. Die Belastung lässt sich also nicht durch bauliche Massnahmen ändern!

Die Gravitation der Sonne hat keinen Einfluss auf die Zugkräfte. Lediglich die zu erreichende Gravitationsbeschleunigung a für die Bewohner der Ringwelt geht in die Formeln ein. Je stärker die Sonne sich auswirkt (sie verringert die gewünschte Gravitation a), umso schneller muss der Ring rotieren, um die Sonne zu kompensieren. Dies würde die Zugkräfte zwar erhöhen, aber die Sonne wirkt auch auf die Ringsegmente und reduziert damit die Zugkräfte um genau den Betrag, der durch die schnellere Rotation entsteht!

Die Belastungsspannung des Ringmaterials σ hängt von der Matieraldichte ρ, dem Ringradius r und der Beschleunigung a ab. Wenn die Ringwelt nur gerade so schnell rotiert, dass die resultierende Beschleunigung (Gravitation) der Bewohner a gerade Null wird, so treten keine Zugkräfte im Material auf, weil die Segmente des Ringes gerade so schnell rotieren, wie ein Planet auf dieser Umlaufbahn im freien Fall fliegen würde.

Man sieht auch, dass der Radius der Ringwelt nicht beliebig gross werden kann, da irgendwann die Belastungsgrenze σmax überschritten wird. Je leichter das Material ist (je kleiner die Dichte ρ), umso grösser kann der Radius werden.

Konkrete Werte für die Ringwelt

Tangentiale Zugkräfte in der Ringwelt FT = 3,25 ·1027 N
Zugspannung im Material σ = 67,8 ·1015 N/m2 = 67,8 ·109 N/mm2
Zugfestigkeit von Stahl RSt = 510 ·106 N/m2 = 510 N/mm2
Zugfestigkeit von Kohlenstoffnanoröhrchen RKNR = 63 ·109 N/m2 = 63 000 N/mm2

Wie man sieht überschreitet die Zugspannung σ in der Ringwelt sogar die Zugfestigkeit von Kohlenstoffnanoröhrchen um den Faktor eine Million!

Berechnung des maximal möglichen Radius der Ringwelt

Aus der Formel (18) kann eine Formel zur Berechnung des maximal möglichen Radius einer Ringwelt abgeleitet werden, wenn die Eigenschaften des Ringmaterials wie Dichte ρ und Zugfestigkeit σ bekannt sind:

(19)
r \le { \sigma \over \rho \cdot a }

Je stärker das Material (grosses σ) und je leichter (kleines ρ), umso grösser kann der Radius der Ringwelt sein. Auch die gewünschte Schwerkraft wirkt sich auf den Radius aus. Für Schwerelosigkeit (a = 0) kann der Radius beliebig gross werden.

Maximale Radien für bekannte Materialien

Material σ ρ rmax
Stahl 510 ·106 N/m2 7,86 ·103 kg/m3 6,67 ·103 m = 6,67 km
Kohlenstoff Nanor. 63 ·109 N/m2 1,35 ·103 kg/m3 4,80 ·106 m = 4800 km

Dies reicht bei Weitem nicht mal aus, die Sonne mit einem Radius von 680 000 km zu umrunden!

Berechnung der Rotationsenergie

Um die Ringwelt in Rotation zu versetzen muss Energie aufgewendet werden, z.B. in Raketentriebwerken. Es spielt keine Rolle, in welcher Zeitdauer die Rotation aufgebaut wird. Man kann über lange Zeit mit wenig Energie oder über kurze Zeit mit viel Energie beschleunigen. Am Ende ist die benötigte Energie dieselbe.

Die Rotationsenergie ist eine kinetische Energie (Bewegungsenergie) und kann wiefolgt berechnet werden:

(20)
E_\mathrm{kin} = { 1 \over 2 } \cdot m \cdot v^2 = { 1 \over 2 } \cdot m \cdot ( r \cdot \omega )^2
wobei'
E_\mathrm{kin} ' =' 'Kinetische Energie, die in der Rotation steckt
m ' =' 'Masse der Ringwelt
v ' =' 'Tangentialgeschwindigkeit der Ringwelt
r ' =' 'Radius der Ringwelt
\omega ' =' 'Winkelgeschwindigkeit der Ringwelt

Rotationsenergie der Ringwelt

Rotationsenergie der Ringwelt Ekin = 1,57 ·1039 J

Dies ist eine ungeheure Energie! Um zu berechnen, wie viel Masse mrot vollständig in Energie umgewandelt werden müsste, um diese kinetische Energie zu erzeugen, kann die Formel E = m · c2 verwendet werden:

(21)
m_\mathrm{rot} = { E_\mathrm{kin} \over c^2 }
Benötigte Masse für Ekin mrot = 17,6 ·1021 kg
Masse der Erde mE = 5,97 ·1024 kg
Anteil der Erdmasse für Ekin mrot / mE = 0,294 %

Quellen

Ringwelt; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Ringwelt
Larry Nivens Ringwelt: Rollenspiel-Abenteuer unter den großen Bogen; John Hewitt und Sherman Kahn; Chaosium Inc.

Kommentare

1Thomas Ahrendt 05.10.2012 | 18:48

schade, sieht wohl doch so aus als ob "Ringwelt" usw. Fantasieprodukte bleiben werden??

2Leonardo 23.10.2012 | 23:25

Alles sehr hübsch berechnet, ich nehme mal an, das das richtig ist.
Es hat mich aber beim Lesen sehr gestört, dass immer von der Zentripedalkraft die Rede ist. Diese Kraft wird nicht mittels Pedalen erzeugt, und heisst deshalb auch Zentripetalkraft.
Gruss, Leo

3wabiswalter@bislins.ch (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 24.10.2012 | 00:26

@Leonardo

Up's, danke für den Hinweis!

4Rainer Kesselschläger 15.04.2014 | 04:13

Super Berechnungen, herzlichen Dank für diesen interessanten Artikel.

Bezüglich Schutz vor Meteoriten möchte ich anmerken:

a) Die Schaumschicht der Außenseite dient natürlich nur zum Schutz vor _kleinen_ Meteoriten. Größere "Brocken" werden, wie es in den Romanen beschrieben ist, mithilfe automatischer Geschütze weit vor dem Aufschlag zerstäubt bzw. abgelenkt (wie auch immer die Technologie hierfür aussehen würde).

b) Die Innenseite hat zwar keine Schaumschicht, aber eine Athmosphäre wie der Planet Erde auch. Auch hier schützt dies natürlich nur vor den kleineren Teilchen.

5AAN-Puppe 11.04.2017 | 14:29

Danke für die durchdachten Berechnungen.
Im Romanzyklus selber wird das Skrith beschrieben als mindestens so stark, wie die starke Kernkräfte selber.
Also könnte das Skrith eine Art Super-Atom bestehend aus Quarks aller Farben sein. Anders ausgedrückt ein Quark-Gluon-Gemisch. Zur Überwindung der abstoßenden Kernkräfte innerhalb dieses Gemisches, können demnach Neutrinos beitragen, die das Skrith absorbiert (40% aller solaren Neutrinos laut Romanvorlage), ebenfalls ähnlich wie die General-Produkts-Schiffsrümpfe aus dem gleichen Romanzyklus. Dort wird ein miniatur-Fusionsmotor dazu verwendet. Das Skrith wäre demnach kein Riesenmolekül, sondern ein Riesen-Kernteilchen-Konstrukt.

Das ist zwar alles hochspekulativ, jedoch physikalisch durchaus im Rahmen der heutige bekannten Physik dargestellt.
Zumindest wären die starken Kernkräfte durchaus in der Lage die Kräfte der Ringweltkonstruktion zu übernehmen.

Ich spekuliere also einmal, daß es eher machbar ist eine Ringwelt zu konstruieren, als einen Warp-Antrieb - dessen Funktion ebenfalls die heutig anerkannte Physik nicht verletzt, außer unrealistisch hohe Energien erfordert (ganze Galaxienhaufen an Energie für den kleinsten Warpsprung).

Was mir immer wieder auffällt, sind die Überlegungen zur Rotation der Ringwelt und welche Energie dafür aufgewendet werden muß.
Geht man aber davon aus, das eine leichte Konstruktion (Skrith-Fäden) als erstes angefertigt wird und erst in Rotation versetzt, so wird jedes danach einstürzende Objekt, geschickt arrangiert aus dem Interplanetaren Raum ankommend, eine große Eigengeschwindigkeit haben die ausgenutzt werden kann.
Das ist ein Spiel mit Bewegungs-Vektoren, daß durchaus dazu führen kann, daß der Energieaufwand zum erreichen der End-Rotation (durch Ausnutzung der Gravitation des Zentralsterns) um viele Größenordnungen reduziert werden kann. Eine kleine Simulation (nicht komplett durchdacht) ergibt sogar einen Energieüberschuß beim Einfallen der Materie von weit draußen.

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