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Bewegungsgleichung einer gleichförmig beschleunigten Rakete (2)

Dienstag, 16. April 2013 - 01:57 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik, Kosmologie, Download

Das Lösen der relativistischen Bewegungsgleichung einer gleichförmig beschleunigten Rakete habe ich auf drei Seiten aufgeteilt:

Auf dieser Seite werden einige Zusammenhänge zwischen Beschleunigung, Strecke und Zeiten berechnet, jeweils aus Sicht der Erde und der Rakete.

Beschleunigung der Rakete von der Erde aus gesehen

Die Rakete wird vom Inertialsystem der Rakete IS ' aus gesehen mit der konstanten Beschleunigung a beschleunigt. Wie gross ist diese Beschleunigung von der Erde aus gesehen? Da die Rakete nie Lichtgeschwindigkeit erreichen kann, muss die Beschleunigung aE von der Erde aus gesehen gegen Null gehen.

Um die Beschleunigung aE zu berechnen leite ich die Formel (1) für die Geschwindigkeit v(t) nach der Zeit t ab (2):

(1)
v(t) = { a \cdot t \over \sqrt{ \left( a \cdot t \over c \right)^2 + 1} }
(2)
a_\mathrm{E}(t) = { \mathrm{d} v(t) \over \mathrm{d} t } = { \mathrm{d} \over \mathrm{d} t} { a \cdot t \over \sqrt{ \left( a \cdot t \over c \right)^2 + 1} }
(7)
a_\mathrm{E}(t) = { a \over \left[ \left( {a \cdot t \over c } \right)^2 + 1 \right]^{3/2} }
wobei'
a_\mathrm{E} ' =' 'Beschleunigung der Rakete von der Erde aus gesehen
t ' =' 'bisher vergangene Zeit auf der Erde
v ' =' 'Geschwindigkeit der Rakete
a ' =' 'konstante Beschleunigung in der Rakete
c ' =' 'Lichtgeschwindigkeit

Strecke als Funktion der Erdzeit

Mich interessiert jetzt, welche Strecke legt die Rakete in der Zeit t zurück, wenn sie konstant mit a beschleunigt.

Einerseits kenne ich jetzt die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit v(t), andererseits kenne ich den Zusammenhang zwischen Weg s und Geschwindigkeit (du erinnerts dich an Weg als Funktion der Zeit beim Beispiel nach Newton?):

(8)
\color{green}{{ \mathrm{d} s \over \mathrm{d} t }} = v(t) = \color{blue}{ a \cdot t \over \sqrt{ \left( a \cdot t \over c \right)^2 + 1} }

Ich muss wieder beide Seiten integrieren, damit sich das Differential auf der linken Seite löst:

(9)
\int_0^T \color{green}{{ \mathrm{d} s \over \mathrm{d} t }}\ \mathrm{d} t = \int_0^T \color{blue}{ a \cdot t \over \sqrt{ \left( a \cdot t \over c \right)^2 + 1} } \ \mathrm{d} t

Linke Seite integrieren:

(10)
\int_0^T \color{green}{ \mathrm{d} s \over \mathrm{d} t } \mathrm{d} t = s(T) - s(0) = \color{red}{ s(T) - s_0 }

Rechte Seite integrieren:

(11)
\int_0^T \color{blue}{ a \cdot t \over \sqrt{ \left( a \cdot t \over c \right)^2 + 1} } \ \mathrm{d} t = {c^2 \over a} \left[ \sqrt{ \left( {a \cdot t \over c} \right)^2 + 1 } - 1 \right] \Bigg|_0^T = \color{red}{ {c^2 \over a} \left[ \sqrt{ \left( {a \cdot T \over c} \right)^2 + 1 } - 1 \right] }

Die Stammfunktion oben rechts habe ich mit einem Computerprogramm ermittelt. Wenn ich die beiden roten Terme von (10) und (11) wieder zusammensetze, wobei ich die Startbedingung s0 = 0 setze, erhalte ich:

(12)
s(t) = {c^2 \over a} \left[ \sqrt{ \left( {a \cdot t \over c} \right)^2 + 1 } - 1 \right]
wobei'
s ' =' 'Zurückgelegter Weg von der Erde aus gesehen
t ' =' 'bisher vergangene Zeit auf der Erde
a ' =' 'konstante Beschleunigung in der Rakete
c ' =' 'Lichtgeschwindigkeit

Zeit für Strecke im ruhenden System

Wenn ich eine Strecke s vorgebe und wissen will, wie lange von der Erde aus gesehen die Rakete für diese Strecke braucht, so kann ich die Formel (12) nehmen und nach t auflösen.

(18)
t(s) = { c \over a } \cdot \sqrt{ \left( { a \cdot s \over c^2 } + 1 \right)^2 - 1 }
wobei'
t(s) ' =' 'Flugzeit für die Strecke s von der Erde aus gemessen
s ' =' 'bisher zurückgelegter Weg der Rakete von der Erde aus gemessen
a ' =' 'konstante Beschleunigung in der Rakete
c ' =' 'Lichtgeschwindigkeit

Zeitdehnung der Rakete

Unter Vierergeschwindigkeit habe ich einen Zusammenhang zwischen dτ und dt hingeschrieben:

(19)
\mathrm{d} \tau(t) = \sqrt{ 1 - { v(t)^2 \over c^2 } } \cdot \mathrm{d} t \qquad \leftrightarrow \qquad { \mathrm{d} \tau(t) \over \mathrm{d} t } = \sqrt{ 1 - { v(t)^2 \over c^2 } }

Wenn ich jetzt v(t) aus (1) in (19) rechts einsetze erhalte ich nach etwas umformen:

(21)
{ \mathrm{d} \tau(t) \over \mathrm{d} t } = {1 \over \sqrt{ \left( {a \cdot t \over c} \right)^2 + 1 } }
wobei'
\mathrm{d} \tau / \mathrm{d} t ' =' 'Verlangsamung der Raketenzeit nach Ablauf der Erdzeit t
a ' =' 'konstante Beschleunigung in der Rakete
c ' =' 'Lichtgeschwindigkeit

Mit der Formel (21) kann man ausrechnen, wievielmal langsamer die Uhr in der Rakete läuft als die Uhr auf der Erde. Dieser Wert ist von der Reisedauer t und der Beschleunigung der Rakete a abhängig. Je länger die Rakete beschleunigt wird, umso mehr nähert sich ihre Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit und umso langsamer vergeht in der Rakete die Zeit.

Wenn dτ / dt zum Beispiel den Wert 0,5 ergibt, so läuft die Zeit in der Rakete nur noch halb so schnell wie auf der Erde.

Umrechnung Erdzeit in Raketenzeit

Die Formel (21) kann ich gleich verwenden für eine Formel, mit der von Erdzeit t in Raketenzeit τ umgerechnet werden kann. Ich muss nur (21) auf beiden Seiten integrieren:

(22)
\int_0^T \color{green}{ \mathrm{d} \tau(t) \over \mathrm{d} t} \ \mathrm{d} t = \int_0^T \color{blue}{1 \over \sqrt{ \left( {a \cdot t \over c} \right)^2 + 1 } } \ \mathrm{d} t
(32)
\tau(t) = { c \over a } \cdot \ln \left( \sqrt{ \left( { a \cdot t \over c } \right)^2 + 1 } + \left( { a \cdot t \over c } \right) \right) = { c \over a } \cdot \mathrm{arsinh} \left( { a \cdot t \over c } \right)

Achtung: Dies ist keine allgemein gültige Umrechnungsformel für die Zeiten. Sie gilt nur für das Beispiel der konstant beschleunigten Rakete!

Umrechnung Raketenzeit in Erdzeit

Zur Umrechnung von Raketenzeit τ zu Erdzeit t können wir einfach die Formel (32) nach t auflösen.

(37)
t(\tau) = { c \over a } \cdot \left( { \mathrm{e}^{ { a \cdot \tau / c } } - \mathrm{e}^{- { a \cdot \tau / c } } \over 2 } \right) = { c \over a } \cdot \sinh\left( { a \cdot \tau \over c } \right)

Achtung: Dies ist keine allgemein gültige Umrechnungsformel für die Zeiten. Sie gilt nur für das Beispiel der konstant beschleunigten Rakete!

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Erzeugt Montag, 15. April 2013
von wabis
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Geändert Samstag, 9. Januar 2016
von wabis