Für die Reise zur Andromeda-Galaxie, welche 2.6 Millionen Lichtjahre von uns entfernt ist, bräuchte ein Raumfahrer in seiner Zeit gemessen "nur" 28.7 Jahre! Für die Menschen auf der Erde würden allerding unterdessen mehr als 2.6 Millionen Jahre vergehen!
Um solche relativistische Berechnungen anstellen zu können, müssen die sogenannten Bewegungsgleichungen aufgestellt und gelöst werden. Bewegungsgleichungen sind Gleichungen oder Gleichungssysteme, mit deren Hilfe man berechnen kann, wie sich Objekte im Laufe der Zeit fortbewegen. Dabei werden äussere Einflüsse wie Kräfte berücksichtigt, welche die Bewegung beeinflussen. [1]
Voraussetzungen: Um Bewegungsgleichungen lösen zu können, sind Kenntnisse der Analysis notwendig, insbesondere der Integralrechnung und Differentialrechnung.
Bevor ich mich an die relativistische Bewegungsgleichung wage, möchte ich anhand der einfachen newtonschen Bewegungsgleichung zeigen, wie man Differetialgleichungen löst und daraus die Formeln für Geschwindigkeit und Weg eines Objektes berechnet.
(1) |
|
Newtonsche Bewegungsgleichung |
Diese Bewegungsgleichung stellt einen Zusammenhang zwischen Kraft
Die Pfeile über den Symbolen bedeuten, dass die Symbole Vektoren im 3-dimensionalen Raum darstellen. Vektoren haben eine Richtung im Raum und eine Länge, werden aber in der Regel durch drei entsprechende Raumkoordinaten dargestellt [3]:
Die Werte der Koordinaten hängen natürlich vom gewählten Koordinatensystem ab [4]. Durch Transformation [5] (zum Beispiel Rotation) können die Koordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes umgerechnet werden. Man wählt die Koordinatensysteme jeweils so, dass die Länge eines Vektors erhalten bleibt. Das heisst, bei jedem Koordinatensystem stehen die drei Basis-Vektoren senkrecht aufeinander und haben die Länge 1.
Ich bin nicht an der Bewegungsgleichung selbst interessiert, sondern will die daraus resultierende Bewegung des Objektes berechnen. Das heisst, ich will berechnen, wo sich das Objekt zu einem beliebigen Zeitpunkt
Die Lösung der Bewegungsgleichung wird als Bahngleichung bezeichnet. Sie beschreibt die Bahn eines Objektes (auch Trajektorie [6] genannt). In der Regel kann eine Bahngleichung nicht einfach als Formel dargestellt werden. Nur in ganz einfachen Fällen wie in den Beispielen auf dieser Seite ist dies möglich. In komplizierteren Fällen muss die Trajektorie mittels numerischer Verfahren per Computer berechnet werden.
Um die newtonsche Bewegungsgleichung algebraisch lösen zu können, nehme ich folgende Vereinfachungen vor:
Ich will nun wissen, wie sich die Geschwindigkeit
Ich lasse den Index
(2) |
Die Masse
(3) |
Dies ist eine Differentialgleichung, die den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsänderung
(4) |
Das Integral der linken Seite ergibt:
(5) |
Das Integral der rechten Seite ergibt:
(6) |
Setze ich die roten Teile der Gleichungen (5) und (6) wieder zusammen und löse nach
(7) |
|
In diesem Fall war das Integrieren der rechten Seite sehr einfach.
Ich möchte nun noch den Weg
(8) |
Dies ist wieder eine Differentialgleichung die ich wie oben durch beidseitiges Integrieren lösen kann:
(9) |
Linke Seite integrieren:
(10) |
Rechte Seite integrieren:
(11) |
Die roten Teile der Gleichungen (10) und (11) wieder zusammen setzen und nach
(12) |
|
Wenn ich Anfangsgeschwindigkeit
(13) |
|
| |||||||||
wobei' |
|