WaBis

walter.bislins.ch

Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile

Donnerstag, 9. September 2010 - 23:11 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik | Kommentare(3)

Sicher hast du auch schon die Aussage gehört: Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile. Aber was heisst das eigentlich? Wie zeigt sich das zum Beispiel in mathematischen Modellen, welche sich die Physik von der Wirklichkeit macht? Wie kann X + Y mehr sein als X + Y ?

Bis vor ca. 100 Jahren hat man gedacht, wenn man die Welt in ihre kleinsten Einheiten (Atome) zerlegt und deren Eigenschaften kennt, kann man die ganze Vielfalt der Welt damit beschreiben. Man hat geglaubt, dass diese Vielfalt einfach die Summe von Eigenschaften von unteilbaren Elementen ist.

Neues Weltbild der Quantenphysik

So sieht ein Universum mit nur 2 Dimensionen aus

In der Quantenphysik hat man aber erkannt, dass es gar keine Teilchen im eigentlichen Sinne gibt, die eine bestimmte Abmessung haben und an einem bestimmten Ort sitzen. Vielmehr ist das, was wir als Partikel bezeichnen eine mehr oder weniger lokale Störung in einem Energiefeld, welches das ganze Universum einnimmt. Jedes Teilchen ist also mit dem ganzen Universum verbunden und jedes Teilchen ist somit mit jedem anderen Teilchen verbunden! Jedes Teilchen beeinflusst damit jedes andere mehr oder weniger stark, je nach Abstand der Störung.

Diese Verbundenheit über das gemeinsame Energiefeld hat weitreichende Konsequenzen: So entsteht aus der Kombination zweier Partikel etwas, das mehr als die Summe der einzelnen Partikel ist. Ein Elektron zum Beispiel erzeugt ein elektrisches Feld, das zwar mit dem Abstand vom Elektron immer schwächer und schwächer wird, aber im Prinzip bis ins Unendliche reicht. Kommt nun ein zweites Elektron in seine Nähe, so beeinflussen sich die eletrischen Felder gegenseitig. Dabei entsteht etwas völlig Neues, was nicht existierte, wenn es nur ein einziges Elektron gäbe: eine abstossende Kraft zwischen den Elektronen!

So entstehen durch die Kombination von Eigenschaften mehrerer Elemente immer wieder neue Eigenschaften, die nicht existieren würden, wenn man nur ein Element isoliert betrachtet. Dies gilt nicht nur für Atom-Teilchen, sondern ist ein Naturprinzip, das sich auf allen Ebenen zeigen kann. So können höhere Strukturen wie Moleküle entstehen. Moleküle können sich zu komplexen Gebilden wie Zellen organisieren usw.

Das Naturprinzip

Wie kann man sich dieses Naturprinzip erklären? Existiert dieses Prinzip vielleicht auch in der Mathematik? Das müsste es eigentlich, denn es ist ja üblich, sich von der Realität ein mathematisches Modell zu machen, um die Eigenschaften quantifizieren und berechnen zu können. Also müsste es auch in einer Formel Mechanismen geben, sodass die Kombination zweier Formelelemente mehr als die Summe der Formel-Element ergibt.

Dies ist tatsächlich so! Auf diese Weise haben die Formeln der Quantenphysik zum Beispiel schon viele Teichen und Eigenschaften vorhergesagt, die man erst später in Experimenten gefunden hat.

Ich möchte hier am einfachsten Beispiel zeigen, wie man sich dieses Prinzip in der Mathematik vorstellen kann. Dazu benötige ich nur etwas Algebra.

Angenommen wir haben eine Eigenschaft X, die von einer Veränderlichen x abhängig ist und auf dieselbe Art sei Y von der Veränderlichen y abhängig. Man sagt das in der Mathematik so: X ist eine Funktion von x und schreibt: X = f(x). In diesem Beispiel sei die Funktion die Quadrat-Funktion (x2 auf dem Taschenrechner):

Würde man nun Einfach nur die Summe SAgg der Teile bilden, erhielte man:

Diese Art der Summe bezeichnet man als Aggregat oder Anhäufung. Die Elemente sind unabhängig voneinander und es entsteht nichts Neues.

Wenn wir hingegen statt der ganzen Formeln die Veränderlichen x und y Summieren und die Formal darauf anwenden, erhalten wir ein ganz anderes Resultat:

Hier habe ich also zuerst x und y addiert und dann die Funktion (f = x2) darauf angewandt. Dabei ist zunächst mal auch wieder die Summe SAgg = x2 + y2 herausgekommen, aber zusätzlich noch der Teil 2xy! Das Ganze SSys ist also mehr als die Summe der Einzelteile SAgg geworden! Und dies schon bei einer so einfachen Formel!

Beispiel aus der Quantenphysik

An einem Beispiel aus der Quantenphysik möchte ich nun dieses Prinzip zeigen. Die Formel ist in diesem Beispiel nur unwesentlich komplizierter. Man muss sie im Detail nicht verstehen, es ist im Prinzip der gleiche Fall wie oben gezeigt. [1]

Wir nehmen zwei Elektronen, beschreiben deren elektrische Felder und untersuchen was passiert, wenn sich die beiden Elektronen nahekommen. Dazu berechnen wir die Energie , welche in den Feldern steckt.

Der Zusammenhang zwischen eletrischem Feld und Energiedichte (Energie pro Volumen) ist folgender:

Ich rechne den Faktor zur Vereinfachung in das Feld hinein und benenne das Feld in (Phi) um, damit es keine Verwechslung mit der Energie gibt:

Damit ist die Energiedichte einfach

und die gesamte Energie des Feldes ist dann das Integral der Energiedichte über das ganze Volumen (Universum). Für die beiden Elektronen gelten somit die folgende Energien:

und stellen die Energien der einzelnen Elektronen dar, so wie wenn jedes ganz alleine auf der Welt wäre. Dies entspricht übrigens nach der Formel von Einstein auch gleich der Masse eines Elektrons. Die Energie des elektrischen Feldes ist also quasi in der Masse des Elektrons gespeichert.

Wenn wir untersuchen wollen was passiert, wenn wir das System aus beiden Elektronen kombinieren, so müssen wir die Felder und addieren, bevor wir die daraus resultierende Energie berechnen:

Wenn wir den Ausdruck in der Klammer ausmultiplizieren (Binom-Formel) erhalten wir:

Das Integral kann man nun auf jeden Term einzeln anwenden. Wir erhalten damit:

Die ersten beiden Terme (Grün und Blau) sind aber nichts anderes als die Summe der Einzelenergien .

Aber es ist noch ein weiterer Term (Rot) entstanden:

Was hat dies nun zu bedeuten? Es bedeutet, dass wenn man zwei Elektronen zusammen tut, so ist die Gesamtenergie des kombinierten Feldes grösser als die Summe der Energien der einzelnen Felder!

Was heisst das konkret? Erstmal ist der rote Term abhängig vom Abstand der beiden Elektronen. Je grösser der Abstand, umso kleiner wird dieser Anteil. Im Grenzfall, wenn die beiden Elektronen sehr weit voneinander entfernt sind, wird dieser Anteil Null und wir haben nur noch eine Gesamtenergie von .

Wenn wir den Energieverlauf aufzeichnen, während sich die beiden Elektronen nähern, so stellen wir fest, dass die Energie immer grösser wird, je näher sich die Elektronen kommen. Eine Energieänderung bedeutet nichts anderes als eine Kraft! Die Kraft zeigt immer in die Richtung des Endergieabfalls. In diesem Fall stossen sich die beiden Elektronen also ab!

Diese Formel sagt also voraus, dass sich zwei Elektronen abstossen. Man muss Energie aufwenden (der rote Term), um die beiden Elektronen einander näher zu bringen. Die Elektronen wehren sich dagegen mit einer abstossenden Kraft. Das Zusammenfügen zweier Elektronen hat etwas Neues hervorgebracht, eine Kraft, die beim Betrachten nur eines einzelnen Elektrons nicht existiert! Das Ganze ist mehr als die Summe der Teile!

Wann gilt dieses Prinzip?

Das Prinzip, dass das Ganze mehr als die Summe seiner Teile ist, gilt immer dann, wenn bestimmte Eigenschaften bei der mathematischen Beschreibung Nicht-Linear sind. Dies ist in der Natur sehr häufig der Fall!

Quelle

Leonard Susskind: New Revolutions in Particle Physics - The Standard Model, Lecture 1
http://newpackettech.com/Resources/Susskind/PHY30_2B/LectureRv9_Video_Lec1.htm

Kommentare

1van Laer Walter 07.11.2017 | 21:07

Zur Information: Ich bin zurzeit daran, ein Essay über das Zitat: „Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile“ mit Schwergewicht auf das MEHR zu erarbeiten.
Leider sind meine vor 60 Jahren erworbenen Kenntnisse über Integral- und Differenzialrechnung verraucht. Hingegen kann ich mir noch Gedanken zur Gleichung: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 machen.
Bei diesem Beispiel kann ich kein MEHR ausmachen. Dies liegt einerseits bereits im Wort „Gleichung“ begründet, das besagt, dass die linke Seite gleich gross ist wie die rechte. Hinzu kommt andererseits, dass x, y, x2 und y2 alles Zahlenwerte sind, welche sich lediglich in ihrer Grösse – aber nicht in ihrem „Charakter“ - voneinander unterscheiden.
Demgegenüber besitzen auch aus meiner Sicht sämtliche naturwissenschaftlichen Grössen ein MEHR, wie Sie dies an den Beispielen der Quantenphysik und des Elektrons darstellen.
Entgegen meiner Auffassung beschränken Sie dieses MEHR allerdings auf jene Grössen, welche bei ihrer mathematischen Beschreibung Nicht-Linear sind. Ich hingegen behaupte, dass auch bei linearer Beschreibung ein MEHR vorhanden ist.
In der Sekundarschule wird die Geschwindigkeit mit v = s/t definiert. Obwohl es sich auch hier um eine Gleichung handelt, haben die drei naturwissenschaftlichen Grössen: Geschwindigkeit, Weg und Zeit je einen ganz anderen „Charakter“.
Und hier noch meine Schlussbehauptung: Die Wissenschaft kann nur die Frage WIE etwas funktioniert beantworten. Demgegenüber kann sie die Fragen WESHALB es in der Natur all diese Phänomene, Zustände, Abläufe gibt, weshalb es nicht noch weitere gibt, weshalb diese so sind wie sie sind (z.B. Lichtgeschwindigkeit) und nicht ein wenig oder sogar ganz anders, nicht beantworten.
Mit freundlichen Grüssen
Walter van Laer

2Volker Schäfer 25.03.2019 | 22:17

Hallo.
Finde das Thema sehr interessant. Jedoch ist mir der Begriff des "Ganzen" zu ungenau. Was ist das "Ganze"?
Was beinhaltet es und was nicht?
Deshalb denke ich nicht das es sich mathematisch abbilden lässt.
Müsste man nicht über alles Kenntnis besitzen wenn man das Ganze beschreiben möchte?
Lässt sich das "Ganze" überhaupt mit der Ratio erfassen oder ist es zu vielschichtig?
Würde mich über Antwort freuen :)

grüße

3wabiswalter@bislins.ch (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 26.03.2019 | 17:27

Volker, es spielt hier keine Rolle was mit "Ganzem" genau gemeint ist. Es geht darum, dass Objekte bestimmte Eigenschaften haben und wenn man mehrere Objekte kombiniert, ergeben sich zusätzliche Eigenschaften, die ein einzelnen Objekt nicht hat.

Zusätzliche Beispiele:

Ein einzelnes Elektron oder Proton hat eine Ladung mit zugehögigem elektischen Feld. Für ein einzelnes Teilchen hat dieses Feld keine Bedeutung und keine Wirkung. Es gibt keinen Unterschied, ob es dieses Feld hat oder nicht. Aber zusammen mit einem anderen Teilchen hat dieses Feld eine Bedeutung und zeigt sich als anziehende oder abstossende Kraft. Aus dem Feld ist also eine Kraft entstanden. Das Ganze (alle elektrischen Felder + alle Kräfte) ist mehr als die Summe (alle Felder zusammen) aller Teile.

Ein einzelnes Pendel kann nur regelmässig hin und her schwingen oder sich in einem Kreis drehen. Dies ist eine einfache vorhersagbare Bewegung. Befestigt man am freien Ende ein weiteres Pendel, ergeben sich chaotische, nicht vorhersagbare Bewegungen. Das Ganze (chaotische Bewegung) ist mehr als die Summe (zwei einzelne einfache Pendel-Bewegungen) aller Teile.

Einem einzelnen Objekt kann man keine Geschwindigkeit, Bewegungsrichtung oder Position zuordnen. Hat man aber mehrere Objekte, kann man Geschwindkeit, Bewegungsrichtung und Position bezüglich der anderen Objekte definieren und messen.

Man sieht, dass aus dem Zusammenspiel mehrerer Objekte neue Eigenschaften hervorgehen können, die ein einzelnes Objekt nicht hat. Damit ist das Ganze, alle Eigenschaften zusammen, mehr als die Summe der Eigenschaften jedes isolierten Objektes.

Dein Kommentar zu diesem Artikel
Name
Email optional; wird nicht angezeigt
Kommentar
  • Name wird bei deinem Kommentar angezeigt.
  • Email ist nur für den Administrator, sie wird nicht angezeigt.
  • Du kannst deine Kommentare eine Zeit lang editieren oder löschen.
  • Du kannst Formatierungen im Kommentar verwenden, z.B: Code, Formeln, usw.
  • Externen Links und Bilder werden nicht angezeigt, bis sie der Admin freischaltet.
Weitere Infos zur Seite
Erzeugt Freitag, 10. September 2010
von wabis
Zum Seitenanfang
Geändert Samstag, 18. Juli 2015
von wabis