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Drehzahl und Schub

Dienstag, 17. Juli 2012 - 17:10 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik, Aviatik
ZoomInformationen zum BildQuerschnitt durch ein zweiachsiges Turbofan-Triebwerk

Ein Turbofan-Triebwerk besteht aus zwei Triebwerken in einem: dem Primär- bzw. Kern-Triebwerk mit der Drehzahl N2 und dem Sekundär-Triebwerk mit dem Fan und der Drehzahl N1. Das Sekundär-Triebwerk wird vom Primär-Triebwerk angetrieben. Die Parameter des Kern-Triebwerks haben den Index 1, die des Sekundärtriebwerks den Index 2. Ausnahme: Die Drehzahl des Sekundärtriebwerks wird mit N1, die des Primärtriebwerks mit N2 im Cockpit angezeigt.

Informationen zum BildSchub in Abhängigkeit von N1

Die Schubkraft F eines Triebwerks ist nicht proportional zur Drehzahl N1 des Fan. Die Leistungskurve verläuft wie bei allen Turbomaschinen in etwa logarithmisch [1] [2]. N1 ist die Drehzahl der Niederdruckwelle in Prozent der Auslegungsdrehzahl. Der Fan sitzt auf der Niederdruckwelle und hat somit dieselbe Drehzahl wie diese.

Für unser Modell betrachten wir das Primärtriebwerk als eigenständiges Triebwerk. Das Primärtriebwerk soll wie das ganze Triebwerk einen exponentiellen Zusammenhang zwischen Drehzahl und Schub haben.

Den Zusammenhang zwischen relativer Drehzahl N1 und relativer Schubkraft Frel(N1) = F(N1)/Fmax zeigt die Kurve im Bild. Es ist eine Exponentialfunktion (Umkehrfunktion einer logarithmischen Funktion), die durch die beiden Parameter k und r bestimmt ist:

(1)
wobei'
' =' 'Schubkraft des ganzen Triebwerks in Abhängigkeit von N1
' =' 'Relative Drehzahl der Niederdruckwelle mit dem Fan (0..1)
' =' 'Maximaler Triebwerksschub bei N1 = 1,0 = 100 %

Analog gilt für das Kerntriebwerk:

(2)
wobei'
' =' 'Schubkraft des Kerntriebwerks in Abhängigkeit von N2
' =' 'Relative Drehzahl der Hochdruckwelle (0..1)
' =' 'Maximaler Schub des Kerntriebwerks

Die Parameter k1 und r1 für das Kerntriebwerk kann ich erst später berechnen, wenn ich die Aufteilung der Strömungsgeschwindigkeiten berechnet habe. Drehzahl von Fan und Kerntriebwerk berechne ich auf der nächsten Seite.

Die Parameter k und r für das gesamte Triebwerk kann ich jedoch bereits berechnen:

Wahl der Kurvenparameter k und r

Eine Exponentialfunktion die durch den Nullpunkt geht ist bestimmt, wenn man 2 weitere Punkte der Kurve kennt (siehe Berechnung der Kurvenparameter k und r):

Die Kurve soll auf jeden Fall durch den Punkt A = (N1,A , Frel,A) = (N1,max , Fmax/Fmax) = (1 , 1) gehen. Dieser Punkt entspricht also der Leistung bei 100 % N1. Als zweiten Punkt kann ich die Leerlaufleistung (Idle) verwenden. Dazu benötige ich die relative Leerlauf-Drehzahl N1,idle und den zugehörigen Leerlauf-Schub Fidle.

Die Leerlauf-Drehzahl kann im Cockpit abgelesen werden und beträgt ca. 21,5 %.

Den Leerlauf-Schub schätze ich wiefolgt: Es ist bekannt, dass der Leerlaufschub bei einem A320 ausreichen kann, den Rollwiderstand zu überwinden. Der Rollwiderstand ist vom Gewicht des Flugzeugs abhängig, aber als Schätzwert nehme ich mal 8−12 kN [3]. Ich wähle einen Leerlaufschub, der kleiner ist, z.B. 7 kN: Das wären dann 3,5 kN pro Triebwerk oder ein relativer Schub von:

(3)

Damit habe ich einen zweiten Punkt der Kurve B = (N1,B , Frel,B) = (N1,idle , Fidle/Fmax) = (0,215 , 0,0297) und kann k und r berechnen.

Berechnung der Kurvenparameter k und r

Der Zusammenhang zwischen dem relativen Schub Frel,i und der relativen Drehzahl N1,i ist gegeben durch die beiden Funktionen:

(4)

Die Parameter k und r bestimmen, durch welche Punkte die Funktion verläuft. Die Kurve geht auf jeden Fall durch den Nullpunkt. Die Kurve soll auch durch die beiden folgenden Punkte gehen:

A = ( N1,A , Frel,A ) = ( 1,000 , 1,0000 )
B = ( N1,B , Frel,B ) = ( 0,215 , 0,0297 )

Wenn ich diese Werte in die Formel (4) rechts einsetze, erhalte ich zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten k und r:

(5)

Löse ich diese Formeln nach r auf erhalte ich:

(6)

Ich kann diese beiden Formeln einander gleichsetzen und erhalte:

(7)

In der Formel (7) kommt nur noch die Unbekannte k vor. Leider lässt sich (7) nicht einfach nach k auflösen. Ich muss k numerisch berechnen. Dazu forme ich diese Gleichung etwas um:

(8)

Einsetzen der Werte N1,A N1,B Frel,A Frel,B in (8) und Lösen nach k ergibt:

Hinweis: Die Lösung für k wird numerisch mit dem Newton-Verfahren berechnet. Wenn der Löser einen Fehler entdeckt, wird dieser in Status angezeigt.

Gegenprobe

Zur Steigung Δ F(N1) der Kurve habe ich folgende Angabe gefunden: «Eine einprozentige Drehzahländerung der N1-Welle im oberen Drehzahlbereich bewirkt eine ca. 4-prozentige Schubänderung.» [4]

Wenn ich die Ableitung der Funktion (4)-links bestimme und die Steigung im Bereich um N1 = 100 % berechne, so erhalte ich eine Übereinstimmung mit dieser Aussage:

(9)
wobei'
' =' 'Steigung der Kurve an der Stelle N1
' =' '3,85 (Steigung der Kurve bei 100 % N1)

Eine 1-prozentige Änderung von N1 = 100 % ergibt somit eine ca. 4-prozentige Änderung des Schubes! Wenn ich den Idle-Schub etwas kleiner wähle (z.B. 2,5 kN) erhalte ich etwas grössere Werte (4,3).

Quellen

Strahltriebwerk: Funktionsweise; Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Strahltriebwerk
Variation of Thrust with RPM; Airplane Ground Schools
http://airplanegroundschools.com/Transition-to-Jet-Powered-Airplanes/
Flugzeugtriebwerke: Grundlagen, Aero-Thermodynamik, Kreisprozesse; von Willy J. G. Bräunling; Seite 269
http://books.google.ch/books?id=2yrCF9-XE7YC&pg=PA269&lpg=PA269&dq=triebwerk+n1&source=bl&ots=4Gc9Iavrki&sig=qGM8daUbiLh20TzOZphjc4AXw-M&hl=de&sa=X&ei=WN1xT9vPMsHNhAeb4OynAQ&ved=0CCQQ6AEwADgK#v=onepage&q=triebwerk%20n1&f=false
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