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Einfluss der Gravitation von Mond und Sonne

Dienstag, 16. Mai 2017 - 01:31 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Astronomie, Interaktiv
Hier berechne ich, wie stark die Anziehung von Mond und Sonne auf die Erde ist und umgekehrt. Es werden noch weitere Werte berechnet, wie der Abstand des Baryzentrums, die Umlaufdauer, Zentrifugal- und andere Beschleunigungen. Die entsprechenden Formeln werden hergeleitet und in Rechenformularen kann man Berechnungen auch für andere Sonnen, Planeten und Monde anstellen.

Alle hier gezeigten Formeln und Berechnungen gehen von einer exakt kreisförmigen Umlaufbahn des Himmelskörpers aus. In Wirklichkeit sind die Umlaufbahnen meist leicht ellipsenförmig. Die berechneten Werte für unser Sonnensystem sind jedoch relativ gute Näherungen.

Einfluss der Gravitation eines Himmelskörpers

Informationen zum BildZentrifugalkräfte; Quelle Wikipedia

Um die Berechnungen nicht auf das Erde-Mond-System zu beschränken, werden die Formeln für zwei beliebige Himmelskörper hergeleitet, einen Zentralkörper Z und seinen Himmelskörper H. In den Rechenformularen kann man eine bestimmte Kombination von Himmelskörpern wählen oder eigene Werte eingeben. Um die Beschreibung zu vereinfachen wähle ich als Zentralkörper die Erde und als Himmelskörper den Mond.

Abgesehen von der Eigenrotation rotieren Erde und Mond um den gemeinsamen Schwerpunkt des Erde-Mond Systems, genannt das Baryzentrum. Durch die Rotation der Erde um das Baryzentrum entstehen Fliehkräfte, bzw. deren Beschleunigungen. Als Bezugssystem für diese Beschleunigungen nehmen wir eine Erde ohne Eigenrotation, da die Zentrifugalbeschleunigung der Eigenrotation separat berechnet wird und in der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche bereits enthalten ist.

Informationen zum BildGezeitenkräfte an der Erdoberfläche, Quelle Wikipedia

Die Zentrifugalbeschleunigung aF aufgrund der Rotation des Erde-Mond Systems um das Baryzentrum ist immer parallel zur Erde-Mond-Achse und zeigt immer vom Mond weg. Die Anziehungs-Beschleunigung aH des Mondes zeigt von jedem Punkt der Erde zum Zentrum des Mondes. Die Gezeitenbeschleunigung aT ist die Vektorsumme dieser beiden Beschleunigungen.

Die Gezeitenbeschleunigung ist am grössten auf der Mond-zugewandten Seite und zeigt in Richtung des Mondes. Auf der gegenüberliegenden Seite der Erde ist die Beschleunigung kleiner, weil der Abstand zum Mond dort grösser ist, und sie zeigt in die Gegenrichtung, weil die Zentrifugalbeschleunigung an diesem Punkt grösser als die Anziehungskraft des Mondes ist. Im Massenzentrum der Erde heben sich diese beiden Beschleunigungen gerade auf.

Die Zentrifugalbeschleunigung an jedem Punkt der Erdoberfläche ist gleich der Zentripetalbeschleunigung aZ aufgrund der Anziehungs des Mondes am Erdmittelpunkt, welche gleich gross aber entgegengesetzt der Anziehungsbeschleunigung der Erde auf den Mond ist, vergleiche mit (6) und (7). Diese Beschleunigung kann auf zwei Arten berechnet werden:

(1)
\vec a_{\mathrm{Z},1} = {\omega_\mathrm{H}}^2 \cdot b \cdot \hat r_\mathrm{H}
wobei'
\vec a_{\mathrm{Z},1} ' =' 'Zentripetal-Beschleunigung, welche die Umlaufbahn des Zentralkörpers (Erde) um das Baryzentrum bewirkt, siehe Zentripetalbeschleunigung aus der Bewegungsgleichung
\omega_\mathrm{H} ' =' '2\,\pi/T_\mathrm{H} = orbitale Winkelgeschwindigkeit des Systems, siehe (8)
T_\mathrm{H} ' =' 'Umlaufdauer des Systems um das Barizentrum
b ' =' 'Abstand des Baryzentrums vom Zentralkörper (Erde), siehe Baryzentrum
\hat r_\mathrm{H} ' =' 'Einheitsvektor vom Mittelpunkt des Zentralkörpers (Erde) in Richtung des Himmelskörpers (Mond)
(2)
\vec a_{\mathrm{Z},2} = { G \cdot M_\mathrm{H} \over {d_\mathrm{H}}^2 } \cdot \hat r_\mathrm{H}
wobei'
\vec a_{\mathrm{Z},2} ' =' 'Zentripetal-Beschleunigung, welche die Umlaufbahn des Zentralkörpers (Erde) um das Baryzentrum bewirkt, siehe Newtonsches Gravitationsgesetz
G ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante
M_\mathrm{H} ' =' 'Masse des Himmelskörpers (Mond)
d_\mathrm{H} ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)
\hat r_\mathrm{H} ' =' 'Einheitsvektor vom Mittelpunkt des Zentralkörpers (Erde) in Richtung des Himmelskörpers (Mond)

Die entsprechende Zentrifugalbeschleunigung aF zeigt in die Gegenrichtung aZ:

(3)
\vec a_\mathrm{F} = - \vec a_\mathrm{Z}

Die AnziehungsBeschleunigung aH des Mondes auf einen beliebigen Punkt P auf der Erdoberfläche kann nach Newton berechnet werden, wenn man den Abstand dPH des Punktes zum Zentrum des Mondes kennt:

(4)
\vec a_\mathrm{H} = { G \cdot M_\mathrm{H} \over {d_\mathrm{PH}}^2 } \cdot \hat r_\mathrm{PH}
mit
d_\mathrm{PH} = \sqrt{ (d_\mathrm{H} - R_\mathrm{Z} \cdot \cos\varphi)^2 + (R_\mathrm{Z} \cdot \sin\varphi)^2 }
wobei'
\vec a_\mathrm{H} ' =' 'Anziehungsbeschleunigung des Himmelskörpers (Mond) auf einen Punkt P auf dem Zentralkörper (Erde)
G ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante
M_\mathrm{H} ' =' 'Masse des Himmelskörpers (Mond)
d_\mathrm{PH} ' =' 'Abstand des Punktes P auf auf dem Zentralkörper (Erde) vom Zentrum des Himmelskörpers (Mond)
\hat r_\mathrm{PH} ' =' 'Einheitsvektor vom Punkt P auf dem Zentralkörper (Erde) in Richtung Zentrum des Himmelskörpers (Mond)
d_\mathrm{H} ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)
R_\mathrm{Z} ' =' 'mittlerer Radius des Zentralkörpers (Erde)
\varphi ' =' 'Winkel, der die Position des Punktes P auf der Oberfläche des Zentralkörpers (Erde) bestimmt: 0° → nächster Punkt zum Himmelskörper (Mond), 180° entferntester Punkt

Die Gezeitenbeschleunigung des Mondes aT (T steht für engl. Tides = Gezeiten) auf einen Punkt P auf der Erde ist die Vektorsumme:

(5)
\vec a_\mathrm{T} = \vec a_\mathrm{H} + \vec a_\mathrm{F} = \vec a_\mathrm{H} - \vec a_\mathrm{Z}
wobei'
\vec a_\mathrm{T} ' =' 'Gezeitenbeschleunigung am Punkt P aufgrund des Himmelskörpers (Mond)
\vec a_\mathrm{H} ' =' 'Anziehungsbeschleunigung vom Himmelskörper (Mond) am Punkt P
\vec a_\mathrm{Z} ' =' 'Zentripetal-Beschleunigung
\vec a_\mathrm{F} ' =' 'Zentrifugal-Beschleunigung

Rechenformular

Klicke auf einen der Buttons rechts in der Titelzeile um eine Kombination von Zentralkörper und Himmelskörper zu wählen. Du kannst auch Berechnungen für andere beliebige Himmelskörper anstellen, indem du selbst entsprechende Werte in die Eingabefelder eingibst.

Mit dem Winkel φ kann ein Punkt P auf der Erdoberfläche gewählt werden, für den die Beschleunigungen berechnet werden sollen. φ = 0° gibt den Mond-Nächsten Punkt an, φ = 180° den Mond-Fernsten Punkt. Der Berechnete Winkel αT ist die Richtung bezüglich Erdoberfläche, in welche die Gezeiten-Beschleunigung aT wirkt. Negative αT zeigen in die Erde hinein.

Umlaufperiode des Himmelskörpers

Der Mond wird von der Erde mit der Zentripetal-Beschleunigung aH angezogen. Diese Beschleunigung kann auf zwei Arten berechnet werden:

(6)
a_{\mathrm{H},1} = { \omega_\mathrm{H} }^2 \cdot ( d_\mathrm{H} - b )
wobei'
a_{\mathrm{H},1} ' =' 'Zentripetal-Beschleunigung, welche die Kreisbahn des Himmelskörpers (Mond) um das Baryzentrum bewirkt, siehe Zentripetalbeschleunigung aus der Bewegungsgleichung
\omega_\mathrm{H} ' =' '2\,\pi/T_\mathrm{H} = orbitale Winkelgeschwindigkeit des Himmelskörpers (Mond), siehe (8)
T_\mathrm{H} ' =' 'Umlaufdauer des Himmelskörpers (Mond)
d_\mathrm{H} ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)
b ' =' 'Abstand des Baryzentrums vom Zentrum des Zentralkörpers (Erde), siehe Baryzentrum

Diese Zentripetal-Beschleunigung wird durch die Anziehungskraft der Erde aufgebracht und kann nach Newton berechnet werden:

(7)
a_{\mathrm{H},2} = { G \cdot M_\mathrm{Z} \over { d_\mathrm{H} }^2 }
wobei'
a_{\mathrm{H},2} ' =' 'Zentripetal-Beschleunigung, welche die Kreisbahn des Himmelskörpers (Mond) um das Baryzentrum bewirkt, siehe Newtonsches Gravitationsgesetz
G ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante
M_\mathrm{Z} ' =' 'Masse des Zentralkörpers (Erde)
d_\mathrm{H} ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)

Durch Gleichsetzen der Formeln (6) und (7) können wir die Orbital-Winkelgeschwindigkeit und daraus die Umlaufdauer des Mondes berechnen:

(8)
\omega_\mathrm{H} = \sqrt{ { G \cdot M_\mathrm{Z} \over { d_\mathrm{H} }^2 \cdot ( d_\mathrm{H} - b ) } }
(9)
T_\mathrm{H} = { 2 \cdot \pi \over \omega_\mathrm{H} }
wobei'
\omega_\mathrm{H} ' =' 'orbitale Winkelgeschwindigkeit des Systems
T_\mathrm{H} ' =' 'Umlaufdauer des Himmelskörpers (Mond)
G ' =' '6,674 08 ·10−11 m3/(kg·s2) = Gravitationskonstante
M_\mathrm{Z} ' =' 'Masse des Zentralkörpers (Erde)
d_\mathrm{H} ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)
b ' =' 'Abstand des Baryzentrums vom Zentrum des Zentralkörpers (Erde), siehe Baryzentrum

Die mittlere Orbitalgeschwindigkeit vH, hergeleitet aus der Bewegungsgleichung, ist:

(10)
v_\mathrm{H} = \omega_\mathrm{H} \cdot ( d_\mathrm{H} - b )

Abweichungen der hier berechneten Werte von den offiziellen astronomischen Werten z.B. aus der Wikipedia kommen von der Vereinfachung, dass hier mit idealen Kreis-Orbits gerechnet wird, statt mit den realen elliptischen Umlaufbahnen.

Baryzentrum

Das gemeinsame Massenzentrum von Erde und Mond, genannt das Baryzentrum, liegt im Abstand b vom Erdmittelpunkt zwischen Erde und Mond. Für den gemeinsamen Schwerpunkt zweiter Körper gilt, dass die Beträge der Drehmomente der Massen um diesen Punkt gleich gross sind:

(11)
M_\mathrm{Z} \cdot b = M_\mathrm{H} \cdot ( d_\mathrm{H} - b )

Aufgelöst nach b ergibt dies:

(12)
b = { M_\mathrm{H} \cdot d_\mathrm{H} \over M_\mathrm{Z} + M_\mathrm{H} }
wobei'
b ' =' 'Abstand des Baryzentrums vom Zenrum des Zentralkörpers (Erde)
d_\mathrm{H} ' =' 'mittlerer Abstand der Zentren des Zenralkörpers (Erde) und des Himmelskörpers (Mond)
M_\mathrm{Z} ' =' 'Masse des Zentralkörpers (Erde)
M_\mathrm{H} ' =' 'Masse des Himmelsköspers (Mond)

Zentripetalbeschleunigung aus der Bewegungsgleichung

Wenn man die Bewegungsbahn eines Körpers in abhängigkeit der Zeit kennt, kann man seine Geschwindigkeit und Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt berechnen, indem man nach der Zeit ableitet. Im Falle einer Kreisbahn erhält man dadurch die Umlaufgeschwindigkeit und die Zentripetal-Beschleunigung.

Eine Kreisbahn um den Nullpunkt mit Radius R und Winkelgeschwindigkeit ω kann man wiefolgt mathematisch beschreiben:

(13)
\vec x(t) = R \cdot \left\lgroup \matrix{ \cos\left( \omega \cdot t \right) \\ \sin\left( \omega \cdot t \right) } \right\rgroup
wobei'
\vec x(t) ' =' 'Position eines Punktes auf der Kreisbahn zum Zeitpunkt t
R ' =' 'Kreisradius
\omega ' =' '2\cdot\pi\cdot f = 2\cdot\pi / T = Winkelgeschwindigkeit
f ' =' 'Umlauffrequenz
T ' =' 'Umlaufdauer
t ' =' 'Zeit-Parameter

Durch die erste Ableitung der Bewegungsbahn nach der Zeit erhält man die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt:

(14)
\vec v(t) = { \mathrm{d} \vec x(t) \over \mathrm{d} t } = \omega \cdot R \cdot \left\lgroup \matrix{ -\sin\left( \omega \cdot t \right) \\ \cos\left( \omega \cdot t \right) } \right\rgroup
wobei'
\vec v(t) ' =' 'Geschwindigkeit eines Punktes auf der Kreisbahn zum Zeitpunkt t

Die Geschwindigkeit ist immer tangential zur Umlaufbahn. Ihr Betrag ist:

(15)
v(t) = | \vec v(t) | = \omega \cdot R \cdot \sqrt{ { \left( -\sin\left( \omega \cdot t \right) \right) }^2 + { \left( \cos\left( \omega \cdot t \right) \right) }^2 }

Der Ausdruck unter der Wurzel ergibt immer 1, da sin(x)2 + cos(x)2 = 1 ist. Wir erhalten also für die Tangentialgeschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn:

(16)
v = \omega \cdot R

Leitet man die Geschwindigkeit nach der Zeit ab, erhält man die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt:

(17)
\vec a(t) = { \mathrm{d} \vec v(t) \over \mathrm{d} t } = { \omega }^2 \cdot R \cdot \left\lgroup \matrix{ -\cos\left( \omega \cdot t \right) \\ -\sin\left( \omega \cdot t \right) } \right\rgroup
wobei'
\vec a(t) ' =' 'Beschleunigung eines Punktes auf der Kreisbahn zum Zeitpunkt t

Die Beschleunigung zeigt immer zum Zentrum der Umlaufbahn. Der Betrag der Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt entspricht der Länge des Vektors \vec a. Diese erhält man wiefolgt:

(18)
a(t) = | \vec a(t) | = { \omega }^2 \cdot R \cdot \sqrt{ { \left( -\cos\left( \omega \cdot t \right) \right) }^2 + { \left( -\sin\left( \omega \cdot t \right) \right) }^2 }

Der Ausdruck unter der Wurzel ergibt immer 1, da sin(x)2 + cos(x)2 = 1 ist. Wir erhalten also für die Zentripetalbeschleunigung eines Körpers auf einer Kreisbahn:

(19)
a = \omega^2 \cdot R

Die Beschleunigung a zeigt immer zum Kreiszentrum und ist für Kreisbahnen konstant. Sie nimmt mit dem Abstand vom Zentrum linear zu und quadratisch mit der Umlauffrequenz.

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