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Eulerformel: Herleitung trigonometrischer Additionstheoreme

Freitag, 27. November 2015 - 14:39 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Interaktiv
Wenn wir die sin oder cos Funktion einer Summe oder Differenz von zwei Winkeln berechnen wollen, können wir dies mit Hilfe der Additionstheoreme durch eine Kombination von sin und cos der einzelnen Winkel erreichen. Man kann die entsprechenden Formeln grafisch herleiten. Eleganter gelingt uns das mit Hilfe der Eulerformel.

In diesem Beitrag erkläre ich, wie die Eulerformel hergeleitet werden kann und wie man damit die Additionstheoreme erhält.

Voraussetzungen

Für das Verständnis dieses Beitrages werden einfache Kenntnisse in der Algebra vorausgesetzt. Man muss wissen, was Funktionen sind und man muss wissen, wie man mit algebraischen Gleichungen umgeht.

Was Komplexe Zahlen sind und wie man damit rechnet werde ich hier soweit erklären, dass wir die Eulerformel herleiten können. Da zur Herleitung der Eulerformel sog. Taylorreihen verwendet werden, werde ich auch auf diese kurz eingehen.

Additionstheoreme

Hier sind die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus, welche ich in diesem Beitrag herleite. Die Berechnung der Schwebung zweier Schwingungen ist Eine praktische Anwendung der Additionstheoreme.

(1)
\sin( a + b ) = \sin( a ) \cdot \cos( b ) + \cos( a ) \cdot \sin( b )
(2)
\sin( a - b ) = \sin( a ) \cdot \cos( b ) - \cos( a ) \cdot \sin( b )
(3)
\cos( a + b ) = \cos( a ) \cdot \cos( b ) - \sin( a ) \cdot \sin( b )
(4)
\cos( a - b ) = \cos( a ) \cdot \cos( b ) + \sin( a ) \cdot \sin( b )

Wenn wir b = a setzen, erhalten wir zusätzlich die folgenden Zusammenhänge, weil a + b a + a = 2 a:

(5)
\sin( 2 \, a ) = 2 \cdot \sin( a ) \cdot \cos( a )
(6)
\cos( 2 \, a ) = \cos( a )^2 - \sin( a )^2

Eulerformel

Die Eulersche Formel bzw. Eulerformel ist eine Gleichung, die eine Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen wie sin (Sinus) und cos (Cosinus) und der Exponentialfunktion ex mittels komplexer Zahlen herstellt [1].

(7)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos(x) + \mathrm{i}\, \sin(x)

Eulerformel

wobei'
\mathrm{e} ' =' 'Eulersche Zahl = 2,718 281 828 459 045...
\mathrm{i} ' =' 'imaginäre Einheit = −1
x ' =' 'beliebige reelle Zahl
\sin ' =' 'Sinus-Funktion
\cos ' =' 'Cosinus-Funktion

Um diese Formel zu verstehen, muss man wissen, was komplexe Zahlen sind.

Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen durch Einführen einer imaginären Einheit i = √−1. Komplexe Zahlen bestehen daher ähnlich wie ein zweidimensionaler Vektor aus zwei Komponenten: einem reellen Koeffizienten und einem imaginären Koeffizienten. Man schreibt eine Komplexe Zahl wiefolgt [2]:

(8)
z = \color{blue}{a} + \color{red}{b} \cdot \mathrm{i} = \color{blue}{a} + \color{red}{b} \, \mathrm{i} = \color{blue}{a} + \mathrm{i} \, \color{red}{b}
wobei'
z ' =' 'eine komplexe Zahl
a ' =' 'reeller Koeffizient der Zahl z
b ' =' 'imaginäre Koeffizient der Zahl z
\mathrm{i} ' =' 'imaginäre Einheit = −1

Jede komplexe Zahl besteht somit aus zwei reellen Koeffizienten a und b, wobei der zweite mit der imaginären Einheit i durch Multiplikation verknüpft ist.

Das Symbol i wird vor oder nach dem komplexen Koeffizienten geschrieben. Bei Zahlen wird i eher hinten geschrieben, bei Formeln wird i eher vor dem komplexen Term geschrieben, damit man gleich sieht, wo der komplexe Term beginnt. Zudem lässt man bei trigonometrischen Funktionen oft die Klammern weg. Damit dann keine Unklarheit entsteht, wird i vor der Funktion geschrieben:

\mathrm{e}^{\mathrm{i} \, x} = \cos x + \mathrm{i} \, \sin x

Reelle Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Eine reelle Zahl ist eine komplexe Zahl ohne imaginären Koeffizienten. Wenn bei (a + b·i) der reelle Koeffizient a Null ist, schreibt man nur noch b·i, wenn der komplexe Koeffizient b Null ist, bleibt nur die reelle Zahl a stehen.

Reelle und Imaginäre Koeffizienten

Es gibt zwei Funktionen Re(z) und Im(z), mit denen der reelle bzw. der imaginäre Koeffizient einer komplexen Zahl extrahiert werden kann:

(9)
a = \mathrm{Re}( a + b \, \mathrm{i} )
b = \mathrm{Im}( a + b \, \mathrm{i} )

Addition komplexer Zahlen

Bei Berechnungen wird i wie eine normale Variable behandelt. Dadurch gelten für komplexe Zahlen dieselben Rechenregeln wie für reelle Zahlen. Eine Addition zweier komplexer Zahlen geht zum Beispiel wiefolgt:

(10)
(\color{blue}{a} + \color{red}{b} \, \mathrm{i}) + (\color{blue}{c} + \color{red}{d} \, \mathrm{i}) = \color{blue}{a + c} + \color{red}{b} \, \mathrm{i} + \color{red}{d} \, \mathrm{i} = \color{blue}{(a + c)} + \color{red}{(b + d)} \, \mathrm{i}

Man sortiert also nach reellen und imaginären Termen. Alle Terme mit einem i werden zusammengefasst, indem das i ausgeklammert wird. Alle Terme ohne i bilden den reellen Koeffizient des Resultats und alle Terme mit i bilden den imaginären Koeffizient des Resultats.

Zahlen-Beispiel

(10 + 5 \, \mathrm{i}) + (4 - 3 \, \mathrm{i}) = (10 + 4) + (5 \, \mathrm{i} - 3 \, \mathrm{i}) = 14 + 2 \, \mathrm{i}

Multiplikation komplexer Zahlen

Interessanter wird die Sache, wenn wir zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizieren:

(11)
(\color{blue}{a} + \color{red}{b} \, \mathrm{i}) \cdot (\color{blue}{c} + \color{red}{d} \, \mathrm{i}) = \color{blue}{a \, c} + \color{red}{b \, c} \, \mathrm{i} + \color{red}{a \, d} \, \mathrm{i} + \color{green}{b \, d} \, \mathrm{i}^2 = \color{blue}{a \, c} + \color{red}{( b \, c + a \, d )} \, \mathrm{i} + \color{green}{b \, d} \, \mathrm{i}^2

Jetzt kommt i im Quadrat vor. Was bedeutet das? Erinnern wir uns daran, wie i definiert ist: i = √−1. Damit ist das Quadrat: i2 = −1. Wir können in obiger Gleichung also i2 durch −1 ersetzen und erhalten damit einen neuen reellen Term b·d mit negativem Vorzeichen. Wenn wir wieder die reellen und imaginären Terme gruppieren erhalten wir:

(12)
(\color{blue}{a} + \color{red}{b} \, \mathrm{i}) \cdot (\color{blue}{c} + \color{red}{d} \, \mathrm{i}) = \color{blue}{(a \, c - b \, d)} + \color{red}{( b \, c + a \, d )} \, \mathrm{i}

Wir sehen also, dass durch Multiplikation von komplexen Zahlen neue reelle Terme entstehen können.

Zahlen-Beispiel

\begin{align} ( 10 + 5 \, \mathrm{i} ) \cdot ( 4 - 3 \, \mathrm{i} ) & = ( 10 \cdot 4 ) + ( 5 \, \mathrm{i} \cdot 4 ) - ( 10 \cdot 3 \, \mathrm{i} ) - ( 5 \, \mathrm{i} \cdot 3 \, \mathrm{i} ) \\ & = 40 + 20 \, \mathrm{i} - 30 \, \mathrm{i} - 15 \, \color{blue}{ \mathrm{i}^2 } \\ & = \big( 40 - 15 \cdot \color{blue}{( -1 )} \big) + ( 20 - 30 ) \, \mathrm{i} \end{align}
( 10 + 5 \, \mathrm{i} ) \cdot ( 4 - 3 \, \mathrm{i} ) = 55 - 10 \, \mathrm{i}

Ersetzungstabelle für Potenzen von i

Wenn i in höheren Potenzen vorkommt, kann wiefolgt ersetzt werden:

(\mathrm{i}) (\mathrm{i})^2 (\mathrm{i})^3 (\mathrm{i})^4 (\mathrm{i})^5 (\mathrm{i})^6 (\mathrm{i})^7 (\mathrm{i})^8 usw.
\color{red}{\mathrm{i}} \color{blue}{-1} \color{red}{-\mathrm{i}} \color{blue}{1} \color{red}{\mathrm{i}} \color{blue}{-1} \color{red}{-\mathrm{i}} \color{blue}{1} usw.

Damit haben wir bereits die Grundlagen, um die Eulerformel herzuleiten. Was wir jetzt noch benötigen, sind Formeln, wie man die Exponentialfunktion, den Sinus und den Cosinus berechnen kann. Diese Formeln kann man mit Hilfe einer Tailorreihe erhalten:

Taylorreihen

Hast Du dich schon mal gefragt, wie Computer oder Taschenrechner ex, sin(x) und cos(x) bloss mit Grundfunktionen wie +, −, × und ÷ berechnen? Eine Möglichkeit ist, diese Funktionen durch Taylorreihen anzunähern, in welchen nur diese Grundrechenarten vorkommen (Potenzen wie x3 = x·x·x kann man mit Multiplikationen berechnen). In Wirklichkeit werden zwar effizientere Verfahren verwendet, aber im Prinzip funktionieren Taylorreihen auch.

In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um eine glatte Funktion in der Umgebung einer Stelle durch eine Potenzreihe darzustellen [3]. Das Prinzip ist folgendes: Wir suchen eine Potenzreihe

P_N(x) = a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + a_3 \cdot x^3 + \ldots = \sum_{n=0}^N a_n \cdot x^n

mit der Eigenschaft, dass diese an einer bestimmten Stelle x0 denselben Funktionswert, dieselbe Steigung, dieselbe Krümmung und dieselben weiteren Ableitungen hat, wie die Funktion, die angenähert werden soll.

Ich möchte an dieser Stelle nicht weiter darauf eingehen, wie eine solche Taylorreihe entwickelt wird. Nur soviel: die Faktoren an der Reihe erhält man durch wiederholtes Ableiten der anzunähernden Funktion. Je mehr Faktoren man berechnet, umso genauer nähert die Taylorreihe eine Funktion an.

Ich schreibe hier einfach mal die Taylorreihen für unsere drei Funktionen hin:

Taylorreihe für die Exponentialfunktion

(13)
{ \mathrm{e} }^{ x } \approx 1 + x + { x^{ 2 } \over 2 ! } + { x^{ 3 } \over 3 ! } + { x^{ 4 } \over 4 ! } + { x^{ 5 } \over 5 ! } + \ldots \color{#aaa}{ = \sum_{n=0}^N { x^n \over n! } }

Taylorreihe für die Sinus-Funktion

(14)
\sin ( x ) \approx x - { x^{ 3 } \over 3 ! } + { x^{ 5 } \over 5 ! } - { x^{ 7 } \over 7 ! } + { x^{ 9 } \over 9 ! } - \ldots \color{#aaa}{ = \sum_{n=0}^N (-1)^n { x^{(2 \, n + 1)} \over (2 \, n + 1)! } }

Taylorreihe für die Cosinus-Funktion

(15)
\cos ( x ) \approx 1 - { x^{ 2 } \over 2 ! } + { x^{ 4 } \over 4 ! } - { x^{ 6 } \over 6 ! } + { x^{ 8 } \over 8 ! } - \ldots \color{#aaa}{ = \sum_{n=0}^N (-1)^n { x^{2 \, n} \over (2 \, n)! } }

Das Ausrufezeichen hinter einer Zahl steht für die Funktion Fakultät. Diese Funktion ist bei wissenschaftlichen Taschenrechner als x! vorhanden: x! = 1·2·3·4·...·x. Zum Beispiel ist die Fakultät von 4! = 1·2·3·4 = 24. Grau ist die kompakte Darstellung der Reihe mit Hilfe des Summe-Zeichens Σ.

Grafiken zu den Taylorreihen

Die folgenden Grafiken zeigen rot die Funktionen y = ex, y = sin(x) und y = cos(x). Die blauen Kurven sind die jeweiligen Annäherungen der Taylorreihen, wobei mit dem Schieberegler eingestellt werden kann, wieviele Glieder der Taylorreihe verwendet werden:

Je mehr Glieder der Taylorreihen verwendet werden, umso besser werden die roten Funktionen von der blauen Taylor-Linie angenähert.

Eulerformel herleiten

Jetzt sind wir in der Lage, die Eulerformel (7) herzuleiten. Dazu müssen wir lediglich bei der Exponentialfunktion ex das x durch die komplexe Zahl x ersetzen. Das müssen wir dann natürlich auch bei der entsprechenden Taylorreihe für die Exponentialfunktion machen. Schauen wir mal, was dabei herauskommt:

(16)
\mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, x } \approx 1 + ( \mathrm{i} \, x ) + { ( \mathrm{i} \, x )^2 \over 2! } + { ( \mathrm{i} \, x )^3 \over 3! } + { ( \mathrm{i} \, x )^4 \over 4! } + { ( \mathrm{i} \, x )^5 \over 5! } + { ( \mathrm{i} \, x )^6 \over 6! } + { ( \mathrm{i} \, x )^7 \over 7! } + { ( \mathrm{i} \, x )^8 \over 8! } + { ( \mathrm{i} \, x )^9 \over 9! } + \ldots
\mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, x } \approx 1 + \color{red}{ \mathrm{i} } \, x + \color{blue}{ \mathrm{i}^2 } \, { x^2 \over 2! } + \color{red}{ \mathrm{i}^3 } \, { x^3 \over 3! } + \color{blue}{ \mathrm{i}^4 } \, { x^4 \over 4! } + \color{red}{ \mathrm{i}^5 } \, { x^5 \over 5! } + \color{blue}{ \mathrm{i}^6 } \, { x^6 \over 6! } + \color{red}{ \mathrm{i}^7 } \, { x^7 \over 7! } + \color{blue}{ \mathrm{i}^8 } \, { x^8 \over 8! } + \color{red}{ \mathrm{i}^9 } \, { x^9 \over 9! } + \ldots

Wenn wir die Potenzen von i entsprechend der Ersetzungstabelle für Potenzen von i ersetzen, erhalten wir:

(17)
\mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, x } \approx \color{blue}{ 1 } + \mathrm{i} \, \color{red}{ x } - \color{blue}{ { x^2 \over 2! } } - \mathrm{i} \, \color{red}{ { x^3 \over 3! } } + \color{blue}{ { x^4 \over 4! } } + \mathrm{i} \, \color{red}{ { x^5 \over 5! } } - \color{blue}{ { x^6 \over 6! } } - \mathrm{i} \, \color{red}{ { x^7 \over 7! } } + \color{blue}{ { x^8 \over 8! } } + \mathrm{i} \, \color{red}{ { x^9 \over 9! } } - \ldots

Wir erhalten abwechslungsweise reelle und imaginäre Terme mit jeweils wechselnden Vorzeichen. Nun gruppieren wir die reellen und imaginären Terme:

(18)
\mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, x } \approx \left( \color{blue}{ 1 - { x^2 \over 2! } + { x^4 \over 4! } - { x^6 \over 6! } + { x^8 \over 8! } - \ldots } \right) + \mathrm{i} \, \left( \color{red}{ x - { x^3 \over 3! } + { x^5 \over 5! } - { x^7 \over 7! } + { x^9 \over 9! } - \ldots } \right)

Betrachten wir die blaue Reihe, so fällt auf, dass diese gerade der Taylorreihe für die Cosinus-Funktion entspricht! Die rote Reihe ihrerseits entspricht gerade der Taylorreihe für die Sinus-Funktion. Wenn wir also diese Reihen durch cos(x) und sin(x) ersetzen, erhalten wir die Eulerformel!

(19)
\mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, x } = \color{blue}{ \cos ( x ) } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \sin ( x ) }

Additionstheoreme herleiten

Jetzt wo wir verstehen, wie die Eulerformel entstanden ist, können wir damit experimentieren. Unser Ziel soll sein, Formeln zu finden, mit denen wir den Sinus und Cosinus einer Winkelsumme berechnen können, also Formeln der Art sin(a+b) = ? und cos(a+b) = ?, wobei an Stelle des Fragezeichens lediglich Funktionen der einzelnen Winkel wie sin(a), sin(b), cos(a) und cos(b) erlaubt sein sollen.

Da die Eulerformel einen Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion herstellt, schauen wir mal, wie sich das Problem auf der Seite der Exponentialfunktion darstellt:

(20)
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \, ( a + b )} = \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, a \, + \, \mathrm{i} \, b } = \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, a } \cdot \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, b }

Hier konnten wir ausnutzen, dass xa · xb = xa+b ist. Damit konnten wir die Summe im Exponenten aufteilen auf zwei Exponentialfunktionen.

Berechnen wir nun die rechte Seite der Eulerformel für die Summe (a+b):

(21)
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \, ( a + b )} = \color{blue}{ \cos( a + b ) } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \sin( a + b ) }

Und nun dasselbe für das Produkt der einzelnen Exponentialfunktionen:

(22)
\big[ \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, a } \big] \cdot \big[ \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \, b } \big] = \big[ \color{blue}{ \cos( a ) } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \sin(a) } \big] \cdot \big[ \color{blue}{ \cos( b ) } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \sin( b ) } \big]

Auf der rechten Seite haben wir nun ein Produkt zweier komplexer Terme, das wir wie unter Multiplikation komplexer Zahlen beschrieben ausrechnen können:

(23)
{ \mathrm{e} }^{ \mathrm{i} \, a } \cdot { \mathrm{e} }^{ \mathrm{i} \, b } = \color{blue}{ \big[ \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) \big] } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \big[ \sin(a) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b) \big] }

Wenn laut (20) die linke Seite von (21) ei·(a+b) gleich der linken Seite von (23) ea · eb ist, müssen auch die rechten Seiten dieser Gleichungen gleich sein:

(24)
\color{blue}{ \cos( a + b ) } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \sin( a + b ) } = \color{blue}{ \big[ \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) \big] } + \mathrm{i} \, \color{red}{ \big[ \sin(a) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b) \big] }

Wir haben nun links und rechts des Gleichheitszeichens je einen komplexen Ausdruck, analog einer komplexen Zahl. Ein komplexer Ausdruck ist dann gleich einem anderen komplexen Ausdruck, wenn sowohl deren reelle Teile als auch deren imaginäre Teile gleich sind. Wir können also die blauen und die roten Terme einander gleichsetzen:

(25)
\color{blue}{ \cos( a + b ) } = \color{blue}{ \big[ \cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) \big] }
und
\color{red}{ \sin( a + b ) } = \color{red}{ \big[ \sin(a) \cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b) \big] }

Damit haben wir zwei Additionstheoreme mit Hilfe der Euler-Formel gefunden!

Um die Theoreme für eine Winkeldifferenz (ab) zu erhalten, ersetzen wir oben einfach b durch b:

(26)
\cos( a - b ) = \cos(a) \cdot \cos(-b) - \sin(a) \cdot \sin(-b)
und
\sin( a - b ) = \sin(a) \cdot \cos(-b) + \cos(a) \cdot \sin(-b)

Aus der Grafik der Sinus und Cosinus Funktionen kann man ablesen, dass sin(−x) = −sin(x) und cos(−x) = cos(x) sind. Wenden wir dieses Wissen auf obige Gleichungen an, erhalten wir:

(27)
\cos( a - b ) = \cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b)
und
\sin( a - b ) = \sin(a) \cdot \cos(b) - \cos(a) \cdot \sin(b)

Weitere Informationen

Eulersche Formel; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche%5FFormel
Komplexe Zahl; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe%5FZahl
Taylorreihe; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
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