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Fluggeschwindigkeiten, IAS, TAS, EAS, CAS, Mach

Dienstag, 4. Oktober 2016 - 18:18 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Aviatik, Physik
Dieser Artikel befasst sich mit den verschiedenen Fluggeschwindigkeiten, deren Berechnung aus im Flug gewonnenen Messdaten und deren Beziehung untereinander.

Verschiedene Fluggeschwindigkeiten

In der Luftfahrt verwendet man die folgenden Fluggeschwindigkeiten:

 Online-Rechner: Umrechnen von Fluggeschwindigkeiten

Ground Speed (GS)

Ein bodengebundenes Fahrzeug muss sich nur mit einer Geschwindigkeit befassen, mit der Ground Speed (GS). Die GS benötigt man zur Navigation und Berechnung des Spritverbrauches. Wenn man die Distanz zu einem Zielpunkt kennt, kann man mit Hilfe der GS ausrechnen, wann man dort ankommt und somit wieviel Sprit man dafür noch benötigt:

(1)
\mathrm{Reisezeit} = { \mathrm{Strecke} \over \mathrm{GS} }
(2)
\mathrm{Benoetigter}\ \mathrm{Sprit} = \mathrm{aktueller}\ \mathrm{Verbrauch} \times \mathrm{Reisezeit}

Da im Flug das Flugzeug keine Bodenberührung hat, kann die GS nicht über die Räder bestimmt werden. Die GS wird mit einer Kombination von Beschleunigunngsmessern im Trägheitsnavigationssystem (Inertial Navigation System INS) und Funk- und Satellitennavigation (GPS) von den Boardcomputern berechnet und angezeigt. Auch alle weiteren Berechnungen wie das Verfolgen eines Flugplanes, berechnen der verschiedenen Geschwindigkeiten und der Reisezeit, Spritverbrauch usw. erledigen diese Computer.

Füher musste man die GS mühsam aus der Indicated Airspeed (IAS) mit Hilfe von Tabellen und Charts berechnen. Um das zu verstehen muss man wissen, wie denn die Geschwindigkeit im Flug gemessen werden kann und wie dieser Messwert in eine GS umgerechnet werden kann.

True Airspeed (TAS)

Für ein Flugzeug ist nicht einfach nur die Ground Speed (GS) von Bedeutung. Ob ein Flugzeug fliegen kann oder nicht hängt nämlich nur von der Geschwindigkeit des Flugzeugs gegenüber der umgebenden Luft, der sog. True Airspeed (TAS), und der Luftdichte ab. Je dünner die Luft, also je höher das Flugzeug fliegt, umso schneller muss es sich durch die Luft bewegen, also umso grösser muss die TAS sein, damit das Flugzeug den benötigten Auftrieb erhält.

Fliegt ein Flugzeug relativ langsam (z.B. 140 kt) unter Standardatmosphäre auf Meereshöhe, so entspricht die angezeigte Geschwindigkeit der TAS. Unter allen anderen Bedingungen ist dies nicht der Fall.

Die TAS kann entweder durch Umrechnen der Calibrated Airspeed (CAS) oder direkt aus den Messwerten gewonnen werden, siehe Berechnung der TAS aus den Messwerten.

Zusammenhang zwischen GS und TAS

Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen Ground Speed (GS) und True Airspeed (TAS). Wenn kein Wind herrscht, sind diese beiden Geschwindigkeiten identisch. Weht jedoch der Wind zum Beispiel von hinten, bewegt sich das Flugzeug schneller als TAS bezüglich dem Boden, mämlich ist dann GS = TAS + Rückenwind. Weht der Wind aus anderen Richtungen kann mit Vektoraddition die GS aus TAS und Windstärke und -Richtung \vec w berechnet werden.

(3)
\vec {\mathrm{GS}} = \vec {\mathrm{TAS}} + \vec w
wobei'
\vec {\mathrm{GS}} ' =' 'Bewegungsrichtung bezüglich Norden und Geschwindigkeit gegenüber Grund
\vec {\mathrm{TAS}} ' =' 'Flugrichtung bezüglich Norden und Geschwindigkeit gegenüber der Luft
\vec w ' =' 'Windrichtung bezüglich Norden und Windgeschwindigkeit gegenüber Grund

Messen der Geschwindigkeit in der Luft

Wenn man sich überlegt, wie eine Geschwindigkeit in der Luft gemessen werden könnte, kommt einem vielleicht in den Sinn, was passiert, wenn man die Hand aus dem Fenster eines fahrenden Autos hält. Je schneller man sich gegenüber der Luft bewegt, umso grösser wird die Druckkraft, welche auf die Hand wirkt. Dieses Prinzip macht man sich bei der Messung der Fluggeschwindigkeit zunutze.

Eine sog. Staudrucksonde, in der Fachsprache als Pitotrohr bezeichnet, welche in Flugrichtung ausgerichtet ist, misst diesen Druck. Der damit gemessene Gesamtdruck ist die Summe des von der True Airspeed (TAS) abhängigen dynamischen Drucks und des statischen Luftdrucks, der nicht von der Geschwindigkeit abhängig ist. Der statische Druck kann mit einer enstprechenden Sonde, dem Staic port, separat gemessen werden und vom Gesamtdruck der Staudrucksonde abgezogen werden, um den dynamischen Druck zu erhalten.

Der Zusammenhang zwischen TAS und dynamischem Druck ist wiefolgt, wobei man in dieser Formel annimmt, dass die Luft ein ideales nicht komprimierbares Gas ist. Wie ein reales komprimierbares Gas sich auf die Berechnung auswirkt wird weiter unten gezeigt:

Dynamischer Druck aus True Airspeed für inkompressible Gase

(4)
q = { 1 \over 2 } \cdot \rho(h) \cdot v^2
wobei'
q ' =' 'p_\mathrm{t} - p_\mathrm{s} = dynamischer Druck = totaler Druck im Pitotrohr minus statischer Luftdruck
\rho ' =' 'Luftdruck in der Flughöhe h
v ' =' 'Geschwindigkeit gegenüber der Luft = True Airspeed (TAS)

Die aerodynamischen Kräfte wie Luftwiderstand und Auftrieb sind direkt vom dynamischen Druck abhängig:

(5)
F_\mathrm{L} = q( v, h ) \cdot c_\mathrm{L} \cdot A = k_L \cdot q( v, h )
wobei'
F_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebskraft
q ' =' 'dynamischer Druck, der von der TAS und der Flughöhe h abhängig ist
v ' =' 'True Airspeed (TAS)
h ' =' 'Flughöhe
c_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebsbeiwert; wird durch Messungen im Windkanal bestimmt; ist abhängig vom Anstellwinkel und der Konfiguration des Flugzeugs
A ' =' 'Flügelfläche, z.B. 122,6 m2 für einen A320
k_\mathrm{L} ' =' 'cL · A = ein konstanter Wert bei einem bestimmten Anstellwinkel und einer bestimmten Konfiguration

Die Luft ist kein ideales inkompressibles Gas sondern lässt sich bei höheren Geschwindigkeiten komprimieren. Dies erhöht lokal die Luftdichte und der gemessene dynamische Druck qc ist gegenüber dem oben berechneten Druck q grösser.

Die Formel für den dynamischen Druck für reale kompressible Gase lautet: [1]

Dynamischer Druck aus True Airspeed für kompressible Gase

(6)
q_\mathrm{c} = p_\mathrm{s} \cdot \left\{ { \left[ { \kappa - 1 \over 2 } \cdot { \left( { v \over a } \right) }^2 + 1 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } - 1 \right\}
mit
a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T }
wobei'
q_\mathrm{c} ' =' 'dynamischer Druck für kompressible Gase
v ' =' 'Fluggeschwindigkeit True Airspeed (TAS)
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit auf Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Druck auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel
T ' =' 'Temperatur auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel

Indicated Airspeed (IAS)

Man nennt die direkt mit Drucksonden gemessene und angezeigte Geschwindigkeit Indicated Airspeed (IAS). Die IAS ist mit sog. Einbaufehlern (static source error) behaftet. Flugzeuge, die mit einem Air Data Computer ausgestattet sind, zeigen die um Einbaufehler bereinigte Calibrated Airspeed (CAS) an. [2]

Mit dem dynamischen Druck q bzw. qc haben wir einen Messwert, der einen Zusammenhang mit der True Airspeed (TAS) hat und ein Mass für den erzeugten Auftrieb ist. Aus dem dynamischen Druck erhalten wir die Geschwindigkeit, indem wir die Formeln (4) bzw. (6) nach v auflösen:

True Airspeed aus dem dynamischen Druck

(7)
v = \sqrt{ { 2 \cdot q \over \rho } }

für inkompressible Gase

wobei'
v ' =' 'Geschwindigkeit True Airspeed (TAS)
q ' =' 'p_\mathrm{t} - p_\mathrm{s} = gemessener dynamischer Druck = totaler Druck im Pitotrohr minus statischer Druck
\rho ' =' 'Luftdichte auf Flughöhe
(8)
v = a \cdot \sqrt{ { 2 \over \kappa - 1 } \cdot \left[ { \left( { q_\mathrm{c} \over p_\mathrm{s} } + 1 \right) }^{ ( \kappa - 1 ) / \kappa } - 1 \right] }

für kompressible Gase [3]

mit
a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T }
wobei'
v ' =' 'Geschwindigkeit True Airspeed (TAS)
q_\mathrm{c} ' =' 'p_\mathrm{t} - p_\mathrm{s} = gemessener dynamischer Druck = totaler Druck im Pitotrohr minus statischer Druck
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit auf Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Druck auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel
T ' =' 'Temperatur auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel

Wir können also den dynamischen Druck messen. Es macht nun aber keinen Sinn, den dynamischen Druck anzuzeigen. Vielmehr wird das Anzeigeinstrument, der Airspeed Indicator (ASI), so beschriftet, d.h. kalibriert, dass er auf Meereshöhe und unter Standardatmosphäre die zugehörige TAS anzeigt.

Die Kalibrierung erhalten wird, indem wir in den Formeln (7) und (8) \rho, ps und a durch die entsprechenden Werte für Meereshöhe einsetzen. Diese Art der Kalibrierung ist nötig, weil mechanische Anzeigen nicht dividieren können.

Kalibrierung: IAS aus dem dynamischen Druck

(9)
\mathrm{IAS} = \sqrt{ { 2 \cdot q \over \rho_0 } }

für inkompressible Gase

wobei'
\mathrm{IAS} ' =' 'Angezeigte Geschwindigkeit Indicated Airspeed
q ' =' 'p_\mathrm{t} - p_\mathrm{s} = gemessener dynamischer Druck = totaler Druck im Pitotrohr minus statischer Druck auf Flughöhe
\rho_0 ' =' '1,225 kg/m3 = Luftdichte auf Meerehöhe
(10)
\mathrm{IAS} = a_0 \cdot \sqrt{ { 2 \over \kappa - 1 } \cdot \left[ { \left( { q_\mathrm{c} \over p_0 } + 1 \right) }^{ ( \kappa - 1 ) / \kappa } - 1 \right] }

Formel für kompressible Gase

wobei'
\mathrm{IAS} ' =' 'Angezeigte Geschwindigkeit Indicated Airspeed
q_\mathrm{c} ' =' 'p_\mathrm{t} - p_\mathrm{s} = gemessener dynamischer Druck = totaler Druck im Pitotrohr minus statischer Druck auf Flughöhe
a_0 ' =' '340,5 m/s = Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe
p_0 ' =' '101 325 Pa = statischer Druck auf Meereshöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft

Hinweis: Da in obigen Formeln zur Kalibrierung Werte auf Meereshöhe verwendet werden, entsprechen die angezeigten Geschwindigkeiten nur auf Meereshöhe der TAS. In grösseren Höhen, wo die Luftdichte und Drücke abnehmen, wird ein kleinerer Wert als TAS angezeigt.

Die nach der einfacheren Formel für inkompressible Gase (9) berechnete Geschwindigkeit wird auch als Equivalent Airspeed (EAS) bezeichnet. Sie ist massgebend für die Kräfte, die auf das Flugzeug wirken.

Die einfache Formel gilt nur annähernd für Geschwindigkeiten unter Mach 0,3. Für höhere Geschwindigkeiten muss die Formel (10) verwendet werden.

Die nach der Formel (10) für kompressible Gase berechnete IAS wird nach der Korrektur von Einbaufehlern als Calibrated Airspeed (CAS) bezeichnet.

Vorteil von IAS gegenüber TAS

Die gemessenen Drücke nehmen mit der Luftdichte und somit der Flughöhe kontinuerlich ab. Daher wird in der Höhe ein beträchtlich kleinerer Wert als TAS angezeigt. Die IAS eignet sich daher nicht für die Navigation.

Wozu ist dann die IAS nützlich? Nun, sowohl Auftrieb FL als auch IAS sind vom dynamischen Druck q abhängig:

Auftrieb und IAS als Funktion des dynamischen Drucks

(11)
F_\mathrm{L} = k_\mathrm{L} \cdot q
(12)
\mathrm{IAS}^2 = { 2 \over \rho_0 } \cdot q = k_\mathrm{IAS} \cdot q
wobei'
F_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebskraft
q ' =' 'gemessener dynamischer Druck auf Flughöhe
k_\mathrm{L} ' =' 'cL · A = ein konstanter Wert bei einem bestimmten Anstellwinkel und einer bestimmten Konfiguration
k_\mathrm{IAS} ' =' '2 / ρ0 = konstanter Wert

Hinweis: Da (12) die Formel für inkompressible Gase ist, wird hier eigentlich die Equivalent Airspeed (EAS) berechnet. Bei Geschwindigkeiten unter Mach 0,3 gilt jedoch annähernd IAS = EAS.

Das bedeutet, dass der Auftrieb von der IAS/EAS abgeleitet werden kann. Es besteht der folgende Zusammenhang:

Zusammenhang Auftrieb IAS/EAS

(13)
F_\mathrm{L} = { k_\mathrm{L} \over k_\mathrm{IAS} } \cdot \mathrm{IAS}^2 = { c_\mathrm{L} \cdot A \cdot \rho_0 \over 2 } \cdot \mathrm{IAS}^2 = k_{\mathrm{L},\mathrm{IAS}} \cdot \mathrm{IAS}^2
wobei'
F_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebskraft
k_\mathrm{L} ' =' 'cL · A = Konstant für einen bestimmten Anstellwinkel und eine bestimmte Konfiguration
k_\mathrm{IAS} ' =' '2 / ρ0 = Konstante
c_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebsbeiwert
A ' =' 'Flügelfläche
\rho_0 ' =' '1,225 kg/m3 = Luftdichte auf Meereshöhe

Bei einer bestimmten Anzeige auf dem Airspeed Indicator (ASI) herrscht also ein bestimmter Auftrieb, unabhängig davon, wie hoch man fliegt, denn kL,IAS ist nicht von der Flughöhe abhängig.

Die per Drucksonden gemessene IAS ist in Bezug auf die Flugtauglichkeit die nützlichere Geschwindigkeit als die TAS. Da alle aufs Flugzeug wirkenden Luftkräfte (Auftrieb und Widerstand) einen direkten Bezug zur IAS haben, haben die charakteristischen Geschwindigkeiten (Überziehgeschwindigkeit, Manövergeschwindigkeit) konstante IAS-Werte, unabhängig von Flughöhe und Luftdruck. Die zulässige Höchstgeschwindigkeit dagegen sinkt mit der Höhe, da sie meist vom Flattern bedingt ist, welches mit abnehmender Dämpfung durch die Luft stärker wird. [2]

Die IAS (bzw. CAS) ist daher die wichtigste Geschwindigkeitsanzeige.

Calibrated Airspeed (CAS)

Die Indicated Airspeed (IAS) ist die Geschwindigkeit, die direkt durch Messungen mit Sonden gewonnen wird. Für die Messung von totalem Druck und statischem Druck ist es nötig, dass die Messsonden so plaziert werden, dass sie in den ungestörten Bereich der Luftströmung ragen. Das Flugzeug stört durch die Verdrängung der Luft den Luftstrom.

Beim Pitotrohr kann man diese Bedingung recht gut erreichen. Das Messen des statischen Luftdrucks ist jedoch problematischer. Je nach Einbauposition der Sonde entsteht in Abhängigkeit der Fluglage und Konfiguration (Flaps usw.) des Flugzeugs ein relativ grosser Fehler bei der Messung des statischen Drucks ps, bedingt durch die Druckverteilung am Flugzeugrumpf. Der entsprechende Messfehler wird als Einbaufehler (static source error) bezeichnet. [2] Hinzu kommen allenfalls noch Fehler von mechanischen Komponenten der Sensoren und Anzeigen.

Wenn der Einfluss des Einbaufehlers bekannt ist, können die Messwerte rechnerisch korrigiert werden. Die Geschwindigkeit ohne diese Messfehler nennt man Calibrated Airspeed (CAS). Die CAS ist die Geschwindigkeit, die mit perfekten Instrumenten im ungestörten Luftstrom gemessen und angezeigt würde.

Elektronische Anzeigeinstrumente haben keine Anzeigefehler. Der Einbaufehler kann durch Messungen am fliegenden Flugzeug oder im Windkanal unter verschiedenen Bedingungen ermittelt werden. Mit diesen Messdaten können entsprechende Kalibrierungs-Tabellen erstellt werden, die im Air Data Computer gespeichert werden. Durch Kalibrieren der gemessenen Werte, d.h. Korrigieren der IAS mit Hilfe dieser Tabellen, berechnet der Air Data Computer die CAS. In heutigen Flugzeugen wird daher direkt die Calibrated Airspeed (CAS) auf dem Airspeed Indicator (ASI) angezeigt, nicht die gemessene unkorrigierte IAS.

Sofern die Messskala nicht für das spezielle Flugzeugmuster kalibriert wurde, wird der angezeigte Wert anhand einer Tabelle oder einer im technischen Handbuch eines Flugzeugmusters angegebenen Rechenformel korrigiert. Bei Kleinflugzeugen und ihren geringen Geschwindigkeiten bleibt der Fehler üblicherweise so unbedeutend, dass er vernachlässigt werden kann. [2]

Wie für die IAS gilt auch für die CAS, dass sie auf Meereshöhe bei Standardatmosphäre gleich der TAS ist.

Berechnen der CAS aus den Messwerten

Aus dem gemessenen totalen Druck pt und dem statischen Druck ps kann die Calibrated Airspeed (CAS) unter Verwendung der Formeln für kompressible Gase wiefolgt berechnet werden:

(14)
\mathrm{CAS} = a_0 \cdot \sqrt{{2 \over \kappa-1} \left[ \left({p_\mathrm{t} - p_\mathrm{s} \over p_0} + 1 \right) ^ {(\kappa-1)/\kappa} - 1 \right]}
wobei'
\mathrm{CAS} ' =' 'Geschwindigkeit Calibrated Airspeed
a_0 ' =' '340,5 m/s = Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe
p_\mathrm{t} ' =' 'gemessener totaler Druck im Pitotrohr
p_\mathrm{s} ' =' 'gemessener statischer Druck
p_0 ' =' '101 325 Pa = statischer Druck auf Meereshöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft

Berechnung der TAS aus den Messwerten

Aus den drei gemessenen Werten totaler Druck pt, statischer Luftdruck ps und totaler Temperatur Tt = Total Air Temperature (TAT) kann die True Airspeed (TAS) wiefolgt berechnet werden:

(15)
\mathrm{TAS} = a \cdot Ma = a_0 \cdot Ma \cdot \sqrt{ T \over T_0 }
mit

a_0 = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T_0 } = 340{,}5\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

wobei'
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit in Flughöhe
a_0 ' =' 'Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe
Ma ' =' 'Mach Geschwindigkeit des Flugzeugs
T ' =' 'Static Air Temperature (SAT) in K
T_0 ' =' '288,15 K = Temperatur auf Meereshöhe (15 °C)

Die Mach Geschwindigkeit ist die TAS als vielfaches der Schallgeschwindigkeit a ausgedrückt. Die Mach Geschwindigkeit kann unter Verwendung der Formeln für kompressible Gase aus den Drücken wiefolgt berechnet werden: [3]

(16)
Ma = \sqrt{ {2 \over \kappa - 1} \left[\left({p_\mathrm{t} \over p_\mathrm{s}} \right) ^{(\kappa-1) / \kappa} - 1 \right] }
wobei'
Ma ' =' '\mathrm{TAS} / a = Fluggeschwindigkeit als Vielfaches der Schallgeschwindigkeit in Flughöhe
p_\mathrm{t} ' =' 'gemessener totaler Druck im Pitotrohr
p_\mathrm{s} ' =' 'gemessener statischer Luftdruck in Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft

Setzt man die Formel (16) in (15) ein erhält man:

(17)
\mathrm{TAS} = a \cdot Ma = \sqrt{ { 2 \cdot \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T \over (\kappa-1) } \cdot \left[ \left( { p_\mathrm{t} \over p_\mathrm{s} } \right) ^ {(\kappa-1)/\kappa} - 1 \right] }
wobei'
\mathrm{TAS} ' =' 'Geschwindigkeit True Airspeed
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit in Flughöhe
Ma ' =' 'Mach Geschwindigkeit
p_\mathrm{t} ' =' 'gemessener totaler Druck im Pitotrohr
p_\mathrm{s} ' =' 'gemessener statischer Luftdruck in Flughöhe
T ' =' 'Static Air Temperature (SAT) in Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft
R_\mathrm{S} ' =' '287,053 J/kg/K = spezifische Gaskonstante für trockene Luft [Note-1]

Die Static Air Temperature T (Umgebungs-Temperatur) kann nicht direkt gemessen werden. Die gemessene Total Air Temperatur Tt ist wegen der Kompression der Luft höher als die Umgebungstemperatur. Aus den gemessenen Drücken und Tt kann aber die Umgebungstemperatur berechnet werden: [3]

(18)
T = T_\mathrm{t} \cdot \left( { p_\mathrm{s} \over p_\mathrm{t} } \right) ^ { (\kappa-1)/\kappa }
wobei'
T ' =' 'Static Air Temperature SAT in Flughöhe
T_\mathrm{t} ' =' 'gemessene Total Air Temperature TAT in Flughöhe
p_\mathrm{s} ' =' 'gemessener statischer Druck in Flughöhe
p_\mathrm{t} ' =' 'im Pitotrohr gemessener totaler Druck in Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft

Alle diese Berechnungen nimmt der Air Data Computer vor.

Zusammenhang zwischen CAS und TAS

Die Calibrated Airspeed (CAS) kann aus der True Airspeed (TAS), oder die TAS kann aus der CAS berechnet werden, wenn man das Modell eines komprimierbaren Gases verwendet. Diese Berechnungen sind kompliziert. Daher hat man früher anhand des Compressibility Correction Chart die CAS in die Equivalent Airspeed (EAS) umgerechnet und dann den Zugehörigen TAS-Wert aus einer Tabelle abgelesen.

Im Schritt CAS → EAS wird der Effekt der Kompressibilität der Luft herausgerechnet und im Schritt EAS → TAS wird die geringere Luftdichte in Flughöhe berücksichtigt.

Umrechnung von TAS in CAS

(19)
\mathrm{CAS} = a_0 \cdot \sqrt{ { 2 \over \kappa - 1 } \cdot \left[ { \left( { \color{blue}{ q_\mathrm{c} } \over p_0 } + 1 \right) }^{ ( \kappa - 1 ) / \kappa } - 1 \right] }
mit
\color{blue}{ q_c } = p_\mathrm{s} \cdot \left\{ { \left[ { \kappa - 1 \over 2 } \cdot { \left( { \mathrm{TAS} \over a } \right) }^2 + 1 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } - 1 \right\}
und
a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T }
wobei'
\mathrm{CAS} ' =' 'Fluggeschwindigkeit Calibrated Airspeed
\mathrm{TAS} ' =' 'Fluggeschwindigkeit True Airspeed
a_0 ' =' '350,5 m/s = Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit auf Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft
q_\mathrm{c} ' =' 'dynamischer Druck
p_0 ' =' '101 325 Pa = statischer Druck auf Meereshöhe
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Druck auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel
T ' =' 'Temperatur auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel

Umrechnung von CAS in TAS

(20)
\mathrm{TAS} = a \cdot \sqrt{ { 2 \over \kappa - 1 } \cdot \left[ { \left( { \color{blue}{ q_\mathrm{c} } \over p_\mathrm{s} } + 1 \right) }^{ ( \kappa - 1 ) / \kappa } - 1 \right] }
mit
\color{blue}{ q_\mathrm{c} } = p_0 \cdot \left\{ { \left[ { \kappa - 1 \over 2 } \cdot { \left( { \mathrm{CAS} \over a_0 } \right) }^2 + 1 \right] }^{ \kappa / ( \kappa - 1 ) } - 1 \right\}
und
a = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T }
wobei'
\mathrm{CAS} ' =' 'Fluggeschwindigkeit als Calibrated Airspeed
\mathrm{TAS} ' =' 'Fluggeschwindigkeit als True Airspeed
a_0 ' =' '350,5 m/s = Schallgeschwindigkeit auf Meereshöhe
a ' =' 'Schallgeschwindigkeit auf Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft
q_\mathrm{c} ' =' 'dynamischer Druck
p_0 ' =' '101 325 Pa = statischer Druck auf Meereshöhe
p_\mathrm{s} ' =' 'statischer Druck auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel
T ' =' 'Temperatur auf Flughöhe → Barometrische Höhenformel

Mach Speed

Die Mach Speed entspricht der True Airspeed (TAS). Sie bezieht sich jedoch auf die Schallgeschwindigkeit, die in Flughöhe gilt:

(21)
Ma = { \mathrm{TAS} \over a(h) }
mit
a(h) = \sqrt{ \kappa \cdot R_\mathrm{S} \cdot T(h) }
wobei'
Ma ' =' 'Mach Speed, z.B. Mach 0,8 für das 0,8-fache der Schallgeschwindigkeit
\mathrm{TAS} ' =' 'Fluggeschwindigkeit True Airspeed
a(h) ' =' 'Schallgeschwindigkeit in Flughöhe h
T(h) ' =' 'Temperatur in Flughöhe hBarometrische Höhenformel
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft
R_\mathrm{S} ' =' '287,053 J/kg/K = spezifische Gaskonstante für trockene Luft [Note-1]

Bei hohen Geschwindigkeiten wird statt der TAS häufig die Mach-Zahl angegeben. Die Mach Speed spielt bei Verkehrsflugzeugen erst in grosser Höhe ab ca. 27 000 ft eine Rolle. Der Grund ist, dass auf der Flügeloberseite wegen dem Flügelprofil die Luftströmung einiges höher ist als die TAS. Wenn nun die Strömung an der Flügeloberseite die Schallgeschwindigkeit erreicht, bilden sich Schockwellen und die Strömung löst sich vom Flügel ab. Dies bedeutet Auftriebsverlust und muss daher vermieden werden.

Der Pilot muss deshalb ab der Cross-Over-Höhe von ca. 27 000 ft dafür sorgen, dass ein bestimmter Prozentsatz der Schallgeschwindigkeit nicht überschritten wird, also z.B. mit maximal Mach 0,85 geflogen wird. Unterhalb der Cross-Over-Höhe gilt die in CAS/IAS angegebene VNE als Höchstgeschwindigkeit. Beim Autopiloten kann die Geschwindigkeit entweder als CAS oder als Mach vorgegeben werden. Unterhalb der Cross-Over-Altitude wird die Geschwindigkeit als CAS eingestellt, darüber als Mach Wert.

Berechnen der Mach Speed aus den Messwerten

Die Mach Geschwindigkeit ist die True Airspeed (TAS) als vielfaches der Schallgeschwindigkeit a ausgedrückt. Die Mach Geschwindigkeit kann unter Verwendung der Formeln für kompressible Gase aus den Drücken wiefolgt berechnet werden: [3]

(22)
Ma = \sqrt{ {2 \over \kappa - 1} \left[\left({p_\mathrm{t} \over p_\mathrm{s}} \right) ^{(\kappa-1) / \kappa} - 1 \right] }
wobei'
Ma ' =' '\mathrm{TAS} / a = Fluggeschwindigkeit als Vielfaches der Schallgeschwindigkeit in Flughöhe
p_\mathrm{t} ' =' 'gemessener totaler Druck im Pitotrohr
p_\mathrm{s} ' =' 'gemessener statischer Luftdruck in Flughöhe
\kappa ' =' '1,4 = Adiabatenexponent (kappa) für Luft

Equivalent Airspeed (EAS)

Die Equivalent Airspeed (EAS) ist jene Geschwindigkeit, die für die Kräfte am Flugzeug verantwortlich ist. Man erhält sie aus der True Airspeed (TAS), indem man die dünnere Luft in Flughöhe berücksichtigt. Auf Meereshöhe ist EAS = TAS.

Wie unter Indicated Airspeed aufgeführt, nehmen die gemessenen Drücke mit der Luftdichte und somit der Flughöhe kontinuerlich ab. Somit wird bei einer bestimmten TAS in der Höhe ein niedrigerer Wert angezeigt. Der Zusammenhang zwischen TAS und EAS ist:

(23)
\mathrm{EAS} = \sqrt{ { \rho(h) \over \rho_0 } } \cdot \mathrm{TAS}
wobei'
\mathrm{EAS} ' =' 'Equivalent Airspeed
\mathrm{TAS} ' =' 'True Airspeed
\rho(h) ' =' 'Luftdichte in Flughöhe h
\rho_0 ' =' '1,225 kg/m3 = Luftdichte auf Meerehöhe

Der erzeugte Auftrieb ist vom dynamischen Druck abhängig, welcher wiederum von der TAS und der Luftdichte in Flughöhe \rho(h) abhängig ist:

(24)
F_\mathrm{L} = c_\mathrm{L} \cdot A \cdot q = c_\mathrm{L} \cdot A \cdot { 1 \over 2 } \cdot \rho(h) \cdot \mathrm{TAS}^2

Anstelle von TAS können wir auch EAS in obige Formel einsetzen und erhalten:

(25)
F_\mathrm{L} = c_\mathrm{L} \cdot A \cdot { 1 \over 2 } \cdot \rho_0 \cdot \mathrm{EAS}^2 = k_\mathrm{EAS} \cdot \mathrm{EAS}^2
wobei'
F_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebskraft
\mathrm{EAS} ' =' 'Equivalent Airspeed
c_\mathrm{L} ' =' 'Auftriebsbeiwert; wird durch Messungen im Windkanal bestimmt; ist abhängig vom Anstellwinkel und der Konfiguration des Flugzeugs
A ' =' 'Flügelfläche, z.B. 122,6 m2 für einen A320
\rho_0 ' =' '1,225 kg/m3 = Luftdichte auf Meereshöhe
k_\mathrm{EAS} ' =' '0,5 · cL · A · ρ0 = ein konstanter Wert für einen bestimmten Anstellwinkel und einer bestimmten Konfiguration

Wir sehen, dass der Auftrieb nicht mehr von der Flughöhe abhängig ist, wenn wir EAS statt TAS verwenden. EAS ist die Geschwindigkeit, die das Flugzeug "spürt". Alle Kräfteberechnungen am Flugzeug beziehen sich daher auf die EAS.

Durch Auflösen der Formel nach TAS kann diese aus der EAS berechnet werden:

(26)
\mathrm{TAS} = \sqrt{ { \rho_0 \over \rho(h) } } \cdot \mathrm{EAS}
wobei'
\mathrm{TAS} ' =' 'True Airspeed = Geschwindigkeit bezüglich der Luft
\rho(h) ' =' 'Höhenabhängige Luftdichte
\rho_0 ' =' 'Luftdichte auf Meereshöhe
\mathrm{EAS} ' =' 'Equivalent Airspeed

Die Luftdichte \rho(h) kann nicht direkt gemessen werden. Sie kann aber aus dem statischen Druck ps und der Temperatur T berechnet werden:

(27)
\rho(h) = {p_\mathrm{s}(h) \over R_\mathrm{S} \cdot T(h)}
wobei'
\rho(h) ' =' 'Luftdichte in Flughöhe
p_\mathrm{s}(h) ' =' 'statischer Druck in Flughöhe
T(h) ' =' 'Temperatur in Flughöhe [Kelvin]
R_\mathrm{S} ' =' 'RS = 287 J/kg/K = spezifische Gaskonstante für Luft [Note-1]

Druck ps(h) und Temperatur T(h) können mit Hilfe der Barometrischen Höhenformeln für die Flughöhe h berechnet werden.

Zusammenhang zwischen EAS und IAS/CAS

Solange ein Flugzeug nicht sehr schnell fliegt, kann die Luft als ideales nicht komprimierbares Gas betrachtet werden. Bei einer True Airspeed (TAS) unterhalb Mach 0,3 und Höhen unter 15 000 ft entspricht die angezeigte Geschwindigkeit recht genau der Equivalent Airspeed (EAS). Bei höheren Geschwindigkeiten gewinnt die Kompression der Luft immer mehr Einfluss. Es wird ein höherer Wert als EAS gemessen, Indicated Airspeed (IAS) genannt. Die gemessene IAS ist mit sog. Einbaufehlern behaftet. Werden diese Fehler herausgerechnet, erhält man die Calibrated Airspeed (CAS).

Bei Kleinflugzeugen mit mechanischen Anzeigen wird die IAS angezeigt. Bei Flugzeugen mit Air Data Computer wird die CAS angezeigt. Da Kleinflugzeuge nur vergleichsweise langsam fliegen, gilt für diese ISA ≈ CAS.

Die Equivalent Airspeed (EAS) ist heute für Piloten nicht mehr von Bedeutung, musste aber früher als Zwischenschritt bei der Bestimmung der True Airspeed (TAS) aus der Calibrates Airspeed (CAS) berechnet werden:

CAS → [Compressibility Correction Chart] → EAS → [Tabelle oder Formel (26)] → TAS.

Zusammenfassung

Auf der Anzeige liest man den IAS/CAS-Wert ab. In diesem Wert sind die Einflüsse der dünneren Luft aufgrund der Flughöhe und der Kompressibilität der Luft enthalten.

Mit Hilfe des Compressibility Correction Chart kann der Einfluss der Kompressibilität der Luft herausgerechnet werden und man erhält die EAS, welche nur noch von der Flughöhe abhängig ist. Die Umrechnung der EAS in die TAS erfolgt nach einer relativ einfachen Formel (26) und wurde früher anhand von Tabellen gemacht.

Umrechnung CAS → EAS → TAS

Wenn vom Wind die Richtung und die Geschwindigkeit bekannt sind, kann aus der TAS die Geschwindigkeit und Flugrichtung bezüglich Grund (Ground Speed GS) zur Navigation berechnet werden. Für die Flugzeit und den Spritverbrauch ist die GS massgeblich.

Es gelten die folgenden Beziehungen:

CAS ≥ EAS: Weil Luft kompressibel ist, zeigt CAS etwas mehr an, als nach der Formel für incompressible Gase berechnet. Die Abweichung ist umso grösser, je grösser die Geschwindigkeit und je dünner die Luft ist.

CAS, EAS ≤ TAS: Weil die Luft in der Höhe dünner wird, ist die angezeigte Geschwindigkeit kleiner als die Geschwindigkeit mit der sich das Flugzeug durch die Luft bewegt.

Auf Meereshöhe gilt per Definition: CAS = EAS = TAS:

In modernen Verkehrsflugzeugen übernimmt der Air Data Computer alle Berechnungen und zeigt die aus den Messwerten berechnete Calibrated Airspeed, Mach Speed, True Airspeed, Ground Speed und die Wind-Stärke und -Richtung auf den Displays an.

Notes

Der in der Luftfahrt verwendete Wert für RS = 287,053 J/K/kg weicht vom Normwert RS = 287,058 J/K/kg leicht ab

Quellen

The measurement of airspeed of airplanes - (PDF) www.spaceagecontrol.com
Original Referenz: Pressure of Air on Coming to Rest from Various Speeds; A.F. Zahm; T.R. No. 247, N.A.C.A., 1926
http://www.spaceagecontrol.com/naca-tn-616.pdf
Fluggeschwindigkeit; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Fluggeschwindigkeit
Flugzeugtriebwerke: Grundlagen, Aero-Thermodynamik; Willy J. G. Bräunling
Die grundlegenden Formeln habe ich in diesem Buch gefunden.
http://books.google.ch/books?id=2yrCF9-XE7YC&pg=PA112&lpg=PA112&dq=verh%C3%A4ltnis+drehzahl+schub&source=bl&ots=4Gc9I4vpck&sig=o9bQW9g8L_QBxI4vsPmNaWVVX-I&hl=de&sa=X&ei=4vFwT6ifDcayhAfXwdG9Bw&ved=0CD0Q6AEwAw#v=onepage&q=verh%C3%A4ltnis%20drehzahl%20schub&f=false
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