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Künstliche Schwerkraft in Ringstation

Sonntag, 29. Januar 2012 - 01:06 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik, Raumfahrt
Planet mit Ringstation

In einer gigantischen, einen Planeten ringförmig umspannenden Raumstation kann Schwerkraft herrschen. Wenn die Raumstation nicht rotiert spürt man die verminderte Schwerkraft des Planeten. Wenn die Ringstation sich schnell um den Planeten dreht, spürt man eine Fliehkraft. Irgendwo dazwischen ist man Schwerelos.

In diesem Artikel mache ich ein paar Berechnungen mit so einer Ringstation, wie sie im Bild gezeigt ist. Die Grundlagen dafür habe ich im folgenden Beitrag hergeleitet:

Resultate auf einen Blick

Zuerst zeige ich die Resultate der nachfolgenden Berechnungen in einer Tabelle. Ich habe Berechnungen für drei Ringstationen mit verschiedenen Radien gemacht. Für jede Station wurden folgende Fälle berechnet:

  1. Keine Rotation: ω = 0 s−1.
  2. Rotation so, dass Schwerelosigkeit herrscht: a = 0 m/s2.
  3. Rotation so, dass Erdschwere herrscht: a = −9,806 m/s2 = −1 g.

Hinweis: Erdschwere kann nur erreicht werden, indem die Station so schnell rotiert, dass die Zentrifugalbeschleunigung die restliche Gravitationsbeschleunigung aufhebt und zusätzlich 1 g Beschleunigung aufbaut. Diese Beschleunigung wirkt nach aussen, also von der Erde weg und hat daher ein negatives Vorzeichen.

Radius [km] ω [s−1] T [s]
[h:mm:ss]
v [m/s]
[km/h]
a [m/s2]
[% g]
6 671
(300 km Höhe)
0 0 8,957
91,3
1,158 7 ·10−3 5 422,6
1:30:22,6
7 729,7
27 826,9
0,000
0,0
3,677 1 ·10−3 3 746,5
1:02:26,5
11 187,7
40 275,7
−9,806
−100,0
12 000 0 0,0 2,768
28,2
0,480 3 ·10−3 13 082,5
3:38:02,5
5 763,3
20 747,9
0,000
0,0
1,023 6 ·10−3 6 138,1
1:42:18,1
12 283,6
44 221,0
−9,806
−100,0
42 164
(geostationärer Orbit)
0 0,0 0,224
2,3
72,921 2 ·10−6 86 164,1
23:56:04,1
3 074,6
11 068,6
0,000
0,0
0,487 7 ·10−3 12 882,3
3:34:42,3
20 564,8
74 033,2
−9,806
−100,0
  • ω = Winkelgeschwindigkeit der Station
  • T = Rotationsdauer der Station
  • v = Tangentialgeschwindigkeit der Station
  • a = Beschleungiung (+ in Richtung Erdmittelpunkt)
  • g = Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche

Aber jetzt die Formeln und Berechnungen:

Beschleunigung in der Ringstation

In der Ringstation wirken zwei entgegengesetzte Beschleunigungen:

  • die Gravitationsbeschleunigung ag wirkt zum Erdmittelpunkt hin
  • die Zentrifugalbeschleunigung az wirkt vom Erdmittelpunkt weg
(1)
wobei'
' =' 'Totale Beschleunigung im Abstand r vom Zentrum des Planeten
' =' 'Gravitationsbeschleunigung im Abstand r
' =' 'Zentrifugalbeschleunigung im Abstand r

Beide Beschleunigungen sind abhängig vom Radius r der Ringstation. Je grösser der Radius, desto schwächer wird die Gravitationsbeschleunigung. Die Zentrifugalbeschleunigung hingegen nimmt mit dem Radius zu, denn je weiter draussen die Station ist, umso schneller bewegt sie sich bei gleicher Winkelgeschwindigkeit auf ihrem Orbit. Wenn die beiden Beschleunigungen ag(r) und az(r) gerade gleich gross sind, heben sie sich auf und die Insassen werden schwerelos.

Die Gesamtbeschleunigung a kann nach folgender Formel berechnet werden (Herleitung siehe Künstliche Schwerkraft in Fantasie-Raumstationen):

(2)
wobei'
' =' 'Gesamtbeschleunigung in Abhängigkeit von r
' =' 'Masse des Planeten
' =' 'Gravitationskonstante
' =' 'Winkelgeschwindigkeit
' =' 'Radius der Ringstation

Schwerelosigkeit in der Ringstation

In der Ringstation herrscht genau dann Schwerelosigkeit, wenn die Gravitasionsbeschleunigung ag gleich gross wie die Zentrifugalbeschleunigung az ist. Dies ist dann der Fall, wenn der Ring mit der gleichen Geschwindigkeit rotiert, wie eine Raumstation auf der entsprechenden Höhe auf einem Kreisorbit fliegen würde. Rotiert die Ringstation langsamer, so herrscht eine kleine Schwerkraft in Richtung Planet, rotiert die Ringstation schneller, überwiegt die Zentrifugalkraft gegen aussen.

Wie schnell muss also die Ringstation drehen, damit dort Schwerelosigkeit herrscht?

Die Rotationsgeschwindigkeit wird üblicherweise als Winkelgeschwindigkeit ω angegeben. Die Winkelgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit ω0 erhalten wir, indem wir in Formel (2) die Beschleunigung a = 0 setzen und nach ω0 auflösen:

(3)
(4)
(5)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' 'Masse des Planeten
' =' 'Gravitationskonstante
' =' 'Radius der Ringstation

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist für uns kein Mass unter dem wir uns etwas vorstellen können. Wir können die Winkelgeschwindigkeit aber in zwei andere Masse umrechnen, unter denen wir uns mehr vorstellen können.

Das eine Mass ist die Dauer einer Umdrehung T der Ringstation:

(6)
wobei'
' =' 'Rotationsdauer
' =' '3,141 59
' =' 'Winkelgeschwindigkeit

Das andere Mass ist die Tangentialgeschwindigkeit v, also die Geschwindigkeit, mit der sich die Konsturktion der Station an einem in Ruhe befindlichen Beobachter vorbeibewegt:

(7)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit
' =' 'Winkelgeschwindigkeit
' =' 'Radius der Ringstation

Berechnungsbeispiele für Schwerelosigkeit

Ich möchte für drei Ringstationen mit verschiedenen Radien r die Werte ω, T und v berechnen, wobei in den Ringstationen Schwerelosigkeit herrschen soll.

Ich verwende folgende Konstanten für alle Beispiele:

RE = 6,371 ·106 m Mittlerer Radius der Erde [1]
ME = 5,9722 ·1024 kg Masse der Erde [2]
G = 6,674 ·10−11 m3/kg/s2 Gravitationskonstante
TE = 86 164,1 s Umdrehungsdauer der Erde (in Sternzeit)

Beispiel 1: Schwerelosigkeit in Station 300 km über Erdoberfläche

Mit Formel (5) erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit:

(8)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' 'RE + 300 km = 6,671 ·106 m
' =' 'Erdradius = 6,371 ·106 m

Umgerechnet in die Dauer einer Umdrehung T0 nach Formel (6):

(9)
wobei'
' =' 'Umdrehungsdauer für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '3,141 59
' =' '1,1587 ·10−3 s−1
' =' '6,671 ·106 m

Und die Tangetialgeschwindigkeit v0 ist nach Formel (7):

(10)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '1,1587 ·10−3 s−1
' =' '6,671 ·106 m

Eine Raumstation, in der Schwerelosigkeit herrscht und die 300 km über der Erde fliegt, umkreist die Erde also in 1,5 h und hat eine Geschwindikeit von 27 826,9 km/h.

Beispiel 2: Schwerelosigkeit in Station mit Radius 12000 km

Mit Formel (5) erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit:

(11)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '12 ·106 m

Umgerechnet in die Dauer einer Umdrehung T0 nach Formel (6):

(12)
wobei'
' =' 'Umdrehungsdauer für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '3,141 59
' =' '0,4803 ·10−3 s−1
' =' '12 ·106 m

Und die Tangetialgeschwindigkeit v0 ist nach Formel (7):

(13)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '0,4803 ·10−3 s−1
' =' '12 ·106 m

Beispiel 3: Schwerelosigkeit in Station im geostationären Orbit

Den Radius r0 für den geostationären Orbit einer Raumstation habe ich unter Höhe des geostationären Orbits (Ziel-SeiteKünstliche Schwerkraft in Fantasie-Raumstationen) berechnet. Mit Formel (5) erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit:

(14)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r0
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '42,1636 ·106 m

Umgerechnet in die Dauer einer Umdrehung T0 nach Formel (6):

(15)
wobei'
' =' 'Umdrehungsdauer für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '3,141 59
' =' '72,9212 ·10−6 s−1
' =' '42,1636 ·106 m

Das ist die Umdrehungsdauer der Erde in Sternzeit!

Die Tangetialgeschwindigkeit v0 ist nach Formel (7):

(16)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit für Schwerelosigkeit bei Radius r
' =' '72,9212 ·10−6 s−1
' =' '42,1636 ·106 m

Schwerkraft in nicht rotierender Ringstation

Ich will nun berechnen, wie stark die Schwerkraft der Erde in den 3 Ringstationen noch spürbar ist, wenn die Ringstation nicht rotiert. Ich kann dazu Formel (2) verwenden und ω = 0 einsetzen:

(17)
wobei'
' =' 'Beschleunigung im Abstand r vom Planetenzentrum
' =' 'Masse des Planeten
' =' 'Gravitationskonstante
' =' 'Radius der Ringstation

Berechnungsbeispiele für nicht rotierende Ringstation

Beispiel 1: Nicht rotierende Station in 300 km Höhe

Nach Formel (17) erhalten wir:

(18)
wobei'
' =' 'Erdbeschleunigung im Abstand r vom Erdmittelpunkt
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '6,671 ·106 m

In 300 km Höhe wirkt noch 91,3 % der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche!

Beispiel 2: Nicht rotierende Station mit Radius 12000 km

Nach Formel (17) erhalten wir:

(19)
wobei'
' =' 'Erdbeschleunigung im Abstand r vom Erdmittelpunkt
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '12 ·106 m

Im Abstand von 12 000 km vom Erdmittelpunkt wirkt noch 28,2 % der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche!

Beispiel 3: Nicht rotierende Station im geostationären Orbit

Nach Formel (17) erhalten wir:

(20)
wobei'
' =' 'Erdbeschleunigung im Abstand r vom Erdmittelpunkt
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '42,1636 ·106 m

Im geosrationären Orbit mit r = 42 163,6 km vom Erdmittelpunkt entfernt wirkt noch 2,3 % der Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche!

Rotierende Ringstation mit Erdbeschleunigung

Wenn eine Ringstation schnell genug rotiert, wird nicht nur die restliche Erdbeschleunigung durch die Zentrifugalbeschleunigung kompensiert, sondern die Zentrifugalbeschleunigung kann so gross werden, dass Stationsbewohner wieder Erdschwere fühlen, bloss in Richtung von der Erde weg.

Wie schnell eine solche Ringstation dazu rotieren müsste, kann über die Formel (2) berechnet werden. Dazu setzen wir für a = −g ein und lösen nach ω auf:

(21)
(22)
(23)
(24)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Erdschwere g bei Radius r
' =' 'Masse des Planeten
' =' 'Gravitationskonstante
' =' 'Radius der Ringstation

Für die Rotationsdauer Tg können wir Formel (6) und für die Tangentialgeschwindigkeit vg Formel (7) verwenden.

Berechnungsbeispiele für Ringstation mit Erdbeschleunigung

Ich möchte für die drei Ringstationen mit verschiedenen Radien r die Werte ωg, Tg und vg berechnen. In den Ringstationen soll Erdschwere herrschen (a = −g).

Beispiel 1: Erdschwere in Station 300 km über Erdoberfläche

Nach Formel (24) erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit:

(25)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Erdschwere bei Radius r
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '9,806 m/s2
' =' '6,671 ·106 m

Umgerechnet in die Dauer einer Umdrehung Tg nach Formel (6):

(26)
wobei'
' =' 'Umdrehungsdauer für Erdschwere bei Radius r
' =' '3,141 59
' =' '1,677 ·10−3 s−1
' =' '6,671 ·106 m

Und die Tangetialgeschwindigkeit vg ist nach Formel (7):

(27)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit für Erdschwere bei Radius r
' =' '1,677 ·10−3 s−1
' =' '6,671 ·106 m

Beispiel 2: Erdschwere in Station mit Radius 12000 km

Nach Formel (24) erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit:

(28)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Erdschwere bei Radius r
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '9,806 m/s2
' =' '12 ·106 m

Umgerechnet in die Dauer einer Umdrehung Tg nach Formel (6):

(29)
wobei'
' =' 'Umdrehungsdauer für Erdschwere bei Radius r
' =' '3,141 59
' =' '1,023 64 ·10−3 s−1
' =' '12 ·106 m

Und die Tangetialgeschwindigkeit vg ist nach Formel (7):

(30)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit für Erdschwere bei Radius r
' =' '1,023 64 ·10−3 s−1
' =' '12 ·106 m

Beispiel 3: Erdschwere in Station im geostationären Orbit

Nach Formel (24) erhalten wir für die Winkelgeschwindigkeit:

(31)
wobei'
' =' 'Winkelgeschwindigkeit für Erdschwere bei Radius r
' =' '5,9722 ·1024 kg
' =' '6,674 ·10−11 m3/kg/s2
' =' '9,806 m/s2
' =' '42,1636 ·106 m

Umgerechnet in die Dauer einer Umdrehung Tg nach Formel (6):

(32)
wobei'
' =' 'Umdrehungsdauer für Erdschwere bei Radius r
' =' '3,141 59
' =' '0,487 74 ·10−3 s−1
' =' '42,1636 ·106 m

Und die Tangetialgeschwindigkeit vg ist nach Formel (7):

(33)
wobei'
' =' 'Tangentialgeschwindigkeit für Erdschwere bei Radius r
' =' '0,487 74 ·10−3 s−1
' =' '42,1636 ·106 m

Quellen

Earth radius; Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius
Earth mass; Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Earth_mass
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