WaBis

walter.bislins.ch

Krümmungskreis an Funktionen

Freitag, 31. Juli 2015 - 00:27 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Geometrie
Aus den allgemeinen Formeln für Krümmungskreise an 2D-Kurven können die Formeln für Krümmungskreise an Funktionen einfach hergeleitet werden.

Allgemeine Formeln für Krümmungskreise an eine 2D-Kurve

Die folgenden Formeln sind auf der Seite Krümmungskreis an 2D-Kurve hergeleitet worden:

(1)
(2)
(3)
wobei'
' =' 'In parametrischer Form vorliegende 2D-Kurve
' =' 'Radius des Krümmungskreises, der den Punkt ( x(t) , y(t) ) berührt
' =' 'X-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises, der den Punkt ( x(t) , y(t) ) berührt
' =' 'Y-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises, der den Punkt ( x(t) , y(t) ) berührt

Herleitung der Formeln für Krümmungskreise an Funktionen

Eine Funktion liege in der Form y = f(x) vor. Indem wir die Funktion in eine einfache parametrische Form bringen, können wir diese in obige Fomeln einsetzen. Dazu machen wir folgenden Substitutionen:

(4)
(5)

Durch Einsetzen in obige Formeln erhalten wir:

(6)
(7)
(8)

Rücksubstitution von t x, y(t) f(x) ergibt die folgenden Formeln, wobei der Krümmungskreis die Funktion an der Stelle ( x0 , f(x0) ) berührt:

Formeln für Krümmungskreise an Funktionen

(9)
(10)
(11)
wobei'
' =' 'X-Koordinate des Berührungspunktes
' =' 'Y-Koordinate des Berührungspunktes
' =' 'Radius des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x0
' =' 'X-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x0
' =' 'Y-Koordinate des Zentrums des Krümmungskreises für den Berührungspunkt bei x0

Die Formel für den Berührungskreis in der Form y = c(x) lautet:

(12)
mit

In dieser Form besteht der Krümmungskreis aus einer unteren und oberen Hälfte, daher das vor der Wurzel. Formel (12) steht also für zwei separate Formeln in einer Formel kombiniert.

Beispiel: Krümmungskreis an Parabel

Als Beispiel möchte ich die Formeln für Krümmungskreise an eine Parabel-Funktion berechnen. Die Parabel-Funktion und deren Ableitungen sind:

(13)

Setze ich diese Formeln in die oben hergeleiteten Funktionen (9) ein, erhalte ich:

(14)
(15)
(16)
(17)
(18)

Zum Vergleich: Auf der Seite Unverzerrter Kreis an Parabel wurden dieselben Formeln direkt für Funktionen der Form y = f(x) hergeleitet.

Dein Kommentar zu diesem Artikel
Name
Email optional; wird nicht angezeigt
Kommentar
  • Name wird bei deinem Kommentar angezeigt.
  • Email ist nur für den Administrator, sie wird nicht angezeigt.
  • Du kannst deine Kommentare eine Zeit lang editieren oder löschen.
  • Du kannst Formatierungen im Kommentar verwenden, z.B: Code, Formeln, usw.
  • Externen Links und Bilder werden nicht angezeigt, bis sie der Admin freischaltet.
Weitere Infos zur Seite
Erzeugt Mittwoch, 29. Juli 2015
von wabis
Zum Seitenanfang
Geändert Samstag, 9. Januar 2016
von wabis