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Krümmungskreise und Parabeln

Freitag, 31. Juli 2015 - 00:23 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Geometrie, Animation, Interaktiv
Die Krümmung einer Parabel kann über die zweite Ableitung berechnet werden. Obwohl eine Parabel an jeder Stelle denselben Wert für die zweite Ableitung hat, kann man keinen einzelnen Kreis mit Radius R finden, der sich überall an die Parabel optimal anschmiegt. Offenbar ist die zweite Ableitung der Parabel nicht dasselbe wie die Krümmung des Krümmungskreises für eine bestimmten Stelle.

In diesem Beitrag untersuche ich verschiedene verzerrte und unverzerrte Krümmungskreise an eine Parabel, um diesen scheinbaren Widerspruch zu beleuchten.

Übersicht

Einführung

In den Scheitelpunkt einer Parabel kann ein Kreis gelegt werden, der beim Berührungspunkt die gleiche Krümmung κ wie die Parabel hat (blaue Kreise in Figur 1 bis 4). Der Radius r dieses Kreises ist gerade der Kehrwert der Krümmung κ:

(1)
r(x) = { 1 \over \kappa(x) }

Krümmung und Kreisradius

Eine Parabel, welche den Scheitelpunkt bei x = 0 hat, hat die Formel:

(2)
y(x) = a \, x^2 + b

Parabelgleichung

Die Krümmung der Parabel beim Punkt x = 0 erhält man über die zweite Ableitung:

(3)
y^{\,\prime}(x) = { \mathrm{d} y(x) \over \mathrm{d} x } = 2 \, a \, x

erste Ableitung

(4)
y^{\,\prime\prime}(x) = { \mathrm{d}^2 y(x) \over \mathrm{d} x^2 } = 2 \, a

zweite Ableitung

(5)
\kappa(0) = | y^{\,\prime\prime}(0) | = | 2 \, a |

Krümmung der Parabel bei x = 0

(6)
r(0) = { 1 \over | 2 \, a | }

Kreisradius im Scheitelpunkt bei x = 0

Beachte: Die Zweite Ableitung enthält kein x mehr, ist also überall auf der Parabel gleich gross.

Wenn also die zweite Ableitung der Parabel an jedem Ort denselben Wert hat, könnte man auf die Idee kommen, dass ein Kreis mit Radius 1/(2a) sich überall optimal an die Parabel anschmiegt. Dies ist offensichtlich nicht der Fall:

(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildFigur 1
(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildFigur 2
(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildFigur 3
(Klick: Zoom)
ZoomInformationen zum BildFigur 4

Erstens kann der blaue Kreis nicht einfach an eine Stelle P = (x0 , f(x0)) (grüne Marker) verschoben werden (Figur 1). Denn dann haben Kreis und Parabel nicht dieselbe Tangente (erste Ableitungen bei P sind verschieden). Es genügt aber auch nicht, den Kreis wie in Figur 2 an die Parabel anzuschmiegen, denn offensichtlich sind die Krümmungen der Parabel und des Kreises an dieser Stelle verschieden.

Wieso kann eine Parabel überall dieselbe zweite Ableitung (Krümmung?) haben, aber ein Kreis mit der gleichen Krümmung κ an der Stelle x = 0 passt nicht an jede beliebige andere Stelle P?

Die Antwort ist: Bezogen auf die X-Achse ist die zweite Ableitung einer Kreisfunktion c(x) nicht konstant!

(7)
c^{\,\prime\prime} (x) = { \mathrm{d}^2 c(x) \over \mathrm{d} x^2 } = { { r }^2 \over { \left[ { r }^2 - { ( x - Z_\mathrm{x} ) }^2 \right] }^{ 3/2 } }
mit
Z_\mathrm{x} - r \le x \le Z_\mathrm{x} + r
wobei'
r ' =' 'Radius des Kreises
Z_\mathrm{x} ' =' 'X-Koordinate des Kreiszentrums

Je nachdem, wo der Berührungspunkt P = ( x0, c(x0) ) auf dem Kreis liegt, muss der Kreis einen anderen Radius haben, damit die zweite Ableitung des Kreises an dieser Stelle gleich der zweiten Ableitung der Parabel ist (Figur 4). Wie dieser Kreis berechnet wird, kannst du unter Unverzerrter Kreis an Parabel nachlesen.

Kreisfunktion

Die Funktion für einen Kreis mit Radius r und Zentrum bei Z = ( Zx, Zy ) hat folgende Form:

(8)
c(x) = Z_\mathrm{y} \mp \sqrt{ r^2 - { ( x - Z_\mathrm{x} ) }^2 }

Kreis-Funktion

(9)
c^{\,\prime}(x) = { \mathrm{d} c(x) \over \mathrm{d} x } = \pm { x - Z_\mathrm{x} \over \sqrt{ { r }^2 - { ( x - Z_\mathrm{x} ) }^2 } }

erste Ableitung

(10)
c^{\,\prime\prime}(x) = { \mathrm{d}^2 c(x) \over \mathrm{d} x^2 } = \pm { { r }^2 \over { \left[ { r }^2 - { ( x - Z_\mathrm{x} ) }^2 \right] }^{ 3 / 2 } }

zweite Ableitung

mit
Z_\mathrm{x} - r \le x \le Z_\mathrm{x} + r
wobei'
c(x) ' =' 'Y-Wert der Kreisfunktion an der Stelle x
r ' =' 'Kreisradius = 1 / κ
Z_\mathrm{x} ' =' 'X-Position des Kreiszentrums
Z_\mathrm{y} ' =' 'Y-Position des Kreiszentrums

Da eine Kreisfunktion aus einer oberen und einer unteren Hälfte besteht, gibt es eigentlich zwei Kreisfunktionen, die wir in den Formeln oben durch Verwenden des positiven bzw. negativen Vorzeichens erhalten.

Kreis verzerren oder nicht?

Offensichtlich müssen die blauen Kreise der obigen Figuren beim Verschieben an eine andere Stelle x0 irgendwie verzerrt werden, damit sie beim Berührungspunkt mit der Parabel dieselbe Krümmung wie die Parabel aufweisen (Figur 3).

Wie muss der Kreis verzerrt werden? Als Bedingung soll gelten, dass der verzerrte Kreis eine Breite von 2r hat und bei x0 eine Höhe von ebenfalls 2r hat.

Auf der Seite Verzerrter Kreis an Parabel leite ich eine solche Transformation her. Dabei wird sich herausstellen, dass es beliebig viele so verzerrte Kreise gibt, die von einem Parameter q abhängig sind.

Der Grenzfall für q ergibt eine Ellipse mit den verlangten Eigenschaften (Figur 3). Auf der Seite Ellipse an Parabel leite ich die entsprechende Ellipsengleichung her.

Schliesslich zeige ich auf der Seite Unverzerrter Kreis an Parabel, wie man die Kreisgleichung für einen unverzerrten Kreis an eine Parabel berechnet (Figur 4).

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Erzeugt Mittwoch, 29. Juli 2015
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Geändert Dienstag, 1. November 2016
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