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Kreise an Hyperbel

Mittwoch, 19. Oktober 2016 - 01:44 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Animation, Interaktiv
Auf dieser Seite wende ich die unter Formeln für Krümmungskreise an Funktionen (Ziel-SeiteUnverzerrter Kreis an Parabel) gefundenen Formeln für einen Kreis an eine beliebige Funktion auf eine Hyperbel an.

Hyperbelfunktion

Die Hyperbelfunktion in der 1. Hauptlage lautet:

(1)

Für unsere Aufgabe brauche ich die Hyperbel als Funktion :

(2)
mit
für

und und und

wobei'
' =' 'Abstand vom Nullpunkt zu den Scheitelpunkten
' =' 'Abstand vom Nullpunkt zu den Brennpunkten

Zur Berechnung der Kreise an die Hyperbel benötige ich die erste und zweite Ableitung:

(3)
(4)

Die Ableitungen habe ich mit einem CAS (Computer-Algebra-System) berechnet.

Formel für Kreis an Hyperbel

Die Hyperbel ist bezüglich der X-Achse spiegelsymmetrisch. Daher gibt es zwei gespiegelte Kreise an die Hyperbel. Die Formeln für die Kreise lauten:

(5)
(6)
(7)

Und einsetzen der Hyperbelfunktionen ergibt:

(8)
(9)
(10)
für

und

Animation

Anmerkung: Die Kreise werden für grössere X-Werte schnell extrem gross. Die Grafik-Module sind mit Kreisen, deren Radien ein Vielfaches der Zeichenfläche ist, teilweise überfordert. In meinem Grafik-Modul erzeuge ich ein Polygon für die Kreise, wobei der Start-/Endpunkt des Kreis-Polygons der Berührungspunkt des Kreises mit der Hyperbel ist. Dadurch bekomme ich stabile Darstellungen der grossen Kreise und die Berührungspunkte sind exakt.

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Erzeugt Mittwoch, 19. Oktober 2016
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Geändert Sonntag, 6. November 2016
von wabis