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Kurvendiskussion: Busenformel

Sonntag, 11. August 2013 - 02:02 | Autor: wabis | Themen: Mathematik, Kurioses, Genial, Animation, Interaktiv
Ob du es glaubst oder nicht, die Gleichung oben beschreibt eine Kurve, die einem perfekten Busen gleicht!

In diesem Beitrag kannst du mit den Parametern der Gleichung spielen und dir so deinen perfekten Busen zaubern. Zudem zeige ich, wie die obige Formel hergeleitet wurde.

Interaktive Busen-Gleichung

Durch Verschieben der Schieberegler unten werden die Parameter der Busen-Gleichung (1) verändert. Daneben siehst du die Auswirkung dieser Änderungen an der Busen-Kurve.

(1)

Busen-Gleichung

wobei'
b ' =' 'Grösse des Busens
s ' =' 'Straffheit des Busens
n_1 ' =' 'Höhe des Nippels
n_2 ' =' 'Durchmesser des Nippels
q ' =' 'Form des Nippels

Die Gleichung (1) für die Busen-Kurve setzt sich hauptsächlich aus zwei Teilen zusammen: Der grüne Teil erzeugt die Busen-Kurve, der blaue Teil erzeugt die Nippel-Kurve. Zusammen addiert bzw. subtrahiert ergibt sich der Busen mit Nippel.

Formeln und Kurven

Einfache Formeln der Form y = f(x) können als Kurven in der X-/Y-Ebene gezeichnet werden. Zu jedem X-Wert wird durch die Formel ein entsprechender Y-Wert berechnet. Ein Werte-Paar X/Y ergibt einen Punkt in der Ebene. Der Punkt wird X Einheiten von der Y-Achse entfernt und Y-Einheiten von der X-Achste entfernt gezeichnet. Positive X-Werte liegen rechts der Y-Achse, positive Y-Werte liegen oberhalb der X-Achse, negative Werte liegen jeweils auf der anderen Seite der entsprechenden Achse. Verbindet man alle benachbarten Punkte mit einer Linie, so entsteht eine für die Formel charakteristische Kurve.

Die Kurven können durch Einfügen entsprechender Terme an geeigneter Stelle in der Formel vegrössert, verkleinert, verzerrt und verschoben werden. Ich gehe später darauf ein, wie das funktioniert. Zudem können durch Kombinieren verschiedener Formeln deren Kurven zu neuen Kurven verknüpft werden. Dies nutze ich hier aus, um die Busen-Kurve zu konstruieren.

Busen-Kurve

Konstruktion der Busen-Kurve

Für die Busen-Kurve brauchen wir eine Funktion, die mindestens einen Nulldurchgang hat. Eine Parabel wäre naheliegend, ist aber symmetrisch und somit als Busen-Form ungeeignet. Nulldurchgang bedeutet, dass die Kurve durch die X-Achse verläuft.

Eine andere einfache Funktion mit einem Nulldurchgang ist der Logarithmus y = ln(x) (blaue Kurve). Der Logarithmus hat nur einen Nulldurchgang und die Kurve gleicht überhaupt nicht einem Busen. Dies können wir korrigieren, indem wir die Funktion mit x multiplizieren (rote Kurve):

(2)
y = x \cdot \ln(x)

Multiplizieren einer Funktion mit x bedeutet für die Kurve, dass alle Y-Werte für x kleiner als 1 gegen Null verschoben werden. Damit biegen wir die blaue Logarithmus-Kurve bei X-Werten kleiner 1 zum Nullpunkt. Alle Y-Werte für x grösser als 1 werden von der X-Achse weiter weg geschoben, je grösser x, umso mehr. Der Nulldruchgang der Logarithmus-Kurve bleibt erhalten, denn an dieser Stelle (beim X-Wert 1) ist der Logarithmus Null und Null mal x gibt Null.

Die resultierende rote Kurve ergibt schon mal die Grundform eines Busens, der aber noch nicht in der gewünschten Lage liegt. Dies können wir am Schluss beheben, indem wir einfach die X- und die Y-Achse vertauschen.

Busen-Kurve verzerren

Verzerren der Busenkurve

Ich möchte über einen Parameter s einstellen können, wie straff der gezeichnete Busen ist. Um den Busen schlaffer wirken zu lassen, muss die grüne Busen-Kurve im Bild in Richtung Y-Achse verzerrt werden.

Die gewünschte Verzerrung erreiche ich, indem ich das x vor dem Logarithmus mit der Zahl s potenziere. Beim Potenzieren mit einer Zahl grösser als 1 wird die Kurve so verzerrt, dass sie im Bereich von x = 0 bis x = 1 nach rechts gebogen wird. Die Schwerkraft wirkt jedoch in der Grafik nach links. Also muss ich für s eine Zahl zwischen 0 und 1 wählen. Die blaue Kurve zeigt die Auswirkung für s = 0,6.

Leider wird durch das Potenzieren die Kurve in der Y-Achse gestreckt, sodass der Busen grösser wird. Dies kann ich kompensieren, indem ich die ganze Formel noch mit s multipliziere. Die rote Kurve zeigt das Resultat. Durch variieren von s im Bereich von 0.5 bis 1 kann ich den Busen von schlaff bis straff einstellen.

Die Grösse des Busens in Y-Richtung können wir über einen zusätzlichen Faktor b einstellen, mit dem wir die ganze Funktion multiplizieren. Die resultierende Busen-Formel ohne Nippel sieht schliesslich wiefolgt aus:

(3)
y = b \cdot s \cdot x^s \cdot \ln( x )
wobei'
b ' =' 'Grösse des Busens
s ' =' 'Straffheit des Busens

Nippel-Kurve

PerfektGleichungG3.png

Der Nippel wird erzeugt, indem wir der Busen-Kurve die Nippel-Kurve überlagern. Überlagern bedeutet, dass eine Funktion zur anderen addiert oder subtrahiert wird.

Die Nippel-Kurve muss folgende Eigenschaften aufweisen:

  • Sie darf die Busen-Kurve nur in einem sehr begrenzten lokalen Bereich verändern.
  • Sie muss symmetrisch sein.

Wir brauchen also zunächst eine Funktion, für welche die Y-Werte sehr schnell gegen Null streben, damit die Funktion nur lokalen Einfluss hat. Eine Funktion, welche sehr schnell gegen Null strebt, ist die Exponential-Funktion y = ex (blaue Kurve Bild oben). Diese Funktion liegt aber noch verkehrt herum, denn wir wollen, dass die Y-Werte bei positiven X-Werten schnell gegen Null streben.

Eine Funktion wird an der Y-Achse gespiegelt, indem man in der Formel x durch x ersetzt. So erhalten wir für y = ex die grüne Kurve.

Nun möchten wir noch erreichen, dass die Kurve symmetrisch wird. Der Teil links der Y-Achse soll mit dem Teil rechts der Y-Achse übereinstimmen. Dies erreicht man durch Ersetzen von x durch x2.

Durch das Quadrieren von x wird die grüne Kurve für X-Werte kleiner als 1 in X-Richtung gespreizt und für X-Werte grösser als 1 in X-Richtung gestaucht. Dies ist für unsere Zwecke gerade gut, denn so hat die rote Kurve für X-Werte kleiner 1 eine schöne runde Form (keinen Spitz) und für X-Werte grösser als 1 geht sie sogar noch schneller gegen Null als die grüne Exponentialfunktion.

PerfektGleichungG2.png

Der Effekt der Spreizung in X-Richtung für X-Werte kleiner als 1 und der Stauchung in X-Richtung für X-Werte grösser als 1 kann noch verstärkt werden, indem x nicht nur quadriert wird, sondern ein noch höherer Exponent q verwendet wird. Der Exponent muss ganzzahlig und gerade sein, damit die Kurvenform symmetrisch bleibt. Je höher der Exponent, umso eckiger wird die Kurve (siehe Bild rechts). Die Nippel-Formel mit dem Exponenten q sieht nun wiefolgt aus:

(4)
y = \mathrm{e}^{-x\;^q} \qquad {\rm mit}\ q = 2, 4, 6, 8, ...

Skalieren der Nippel-Kurve

Die Nippelkurve ist im Vergleich zur Busen-Kurve noch zu gross. Eine Kurve wird in Y-Richtung verkleinert, indem die Formel durch einen Faktor n1 dividiert wird:

(5)
y = f(x) \qquad \rightarrow \qquad y = \color{red}{{ 1 \over n_1 }} \cdot f(x)

Eine Kurve wird in X-Richtung verkleinert, indem man x mit einem Faktor n2 multipliziert:

(6)
y = f(x) \qquad \rightarrow \qquad y = f( \color{red}{n_2} \cdot x)

Wir können somit die Nippel-Kurve über die beiden Faktoren n1 und n2 in Y- und X-Richtung verkleinern, indem wir diese beiden Faktoren an den richtigen Stellen in die Nippel-Funktion einbauen:

(7)
y = \mathrm{e}^{-(x)\;^q} \qquad \rightarrow \qquad y = \color{red}{{ 1 \over n_1 }} \cdot \mathrm{e}^{-( \color{red}{n_2} \cdot x )\;^q}

Verschieben der Nippel-Kurve

Die Nippel-Kurve liegt jetzt noch beim Punkt x=0. Der Nippel sollte aber beim perfekten Busen genau an der Stelle x0 der Busen-Kurve liegen, wo die Busen-Kurve ihren kleinsten Y-Wert hat. Wie berechnet man diese Stelle?

Um die Stelle eines Minimums oder Maximums einer Funktion f(x) zu berechenen, muss man die erste Ableitung f '(x) der Funktion berechnen. Die Ableitung f '(x) ist eine neue Funktion, die aus der gegebenen Funktion f(x) nach bestimmten Regeln hergeleitet wird. Sie gibt für jeden X-Wert an, wie steil die Funktion f(x) an dieser Stelle ist.

Die Minima und Maxima einer Funktion f(x) liegen immer bei den X-Werten, wo die Kurve horizontal wird, also wo die Steigung f '(x) gleich Null ist.

Wir müssen also:

  1. die Ableitung f '(x) der Busen-Funktion y = b · s · xs · ln(x) berechnen
  2. die Ableitung Null setzen: f '(x) = 0
  3. diese Formel nach x auflösen, ergibt den Punkt x0 wohin der Nippel geschoben werden muss
  4. die Nippel-Kurve zum Punkt x0 verschieben

Die Ableitung wird wiefolgt berechnet (ohne Herleitung):

(8)
f'(x) = { \mathrm d \over \mathrm d x } \left[ b \cdot s \cdot x^s \cdot \ln(x) \right] = b \cdot s \cdot \left[ { \mathrm d x^s \over \mathrm d x } \cdot \ln(x) + x^s \cdot { \mathrm d \ln(x) \over \mathrm d x } \right] \Rightarrow
f'(x) = b \cdot s \cdot \left[ s \cdot x^{s-1} \cdot \ln(x) + x^s \cdot { 1 \over x } \right] \Rightarrow
f'(x) = b \cdot s \cdot \left[ s \cdot x^{s-1} \cdot \ln(x) + x^{s-1} \right] \Rightarrow
f'(x) = b \cdot s \cdot x^{s-1} \cdot \left[ s \cdot \ln(x) + 1 \right]

Die Ableitung f '(x) setzen wir nun Null und lösen nach x auf:

(9)
b \cdot s \cdot x^{s-1} \cdot \left[ s \cdot \ln(x) + 1 \right] = 0

Da weder b noch s Null sein dürfen (sonst gibt es eine flache Kurve ohne Minima), können wir beide Seiten durch b und s dividieren:

(10)
x^{s-1} \cdot \left[ s \cdot \ln(x) + 1 \right] = 0

Der Ausdruck xs−1 ist gleich xs / x. Wird dürfen beide Seiten der Gleichung (10) mit x multiplizieren und erhalten:

(11)
x^s \cdot \left[ s \cdot \ln(x) + 1 \right] = 0

Das Produkt oben ist genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren xs oder [ s · ln(x) + 1 ] gleich Null ist. Die Stelle x = 0 ist in der Busen-Funktion nicht definiert, weil dort Null mal Unendlich gerechnet wird. Daher fällt die Lösung x0 = 0 weg. Es muss also der zweite Faktor Null sein:

(12)
s \cdot \ln(x) + 1 = 0

Auf beiden Seiten 1 subtrahieren:

(13)
s \cdot \ln(x) = -1

Auf beiden Seiten durch s dividieren (s darf nicht Null sein):

(14)
\ln(x) = -1 / s

Beide Seiten in den Exponenten zu e setzen, damit der ln wegfällt (eln(x) = x):

(15)
\mathrm{e}^{\ln(x)} = \mathrm{e}^{-1/s} \qquad \Rightarrow \qquad x_0 = \mathrm{e}^{-1/s}

Die Nippel-Kurve müssen wir also an die Stelle x0 = e−1/s verschieben. Eine Kurve wird an eine Stelle x0 verschoben, indem x durch xx0 ersetzt wird. Machen wir das mal mit der Nippel-Funktion erhalten wir:

(16)
y = { 1 \over n_1} \cdot \mathrm{e}^{-\left[ n_2 \cdot \color{red}{(x)} \right]\;^q} \qquad \rightarrow \qquad y = { 1 \over n_1} \cdot \mathrm{e}^{-\left[ n_2 \cdot \color{red}{(x - \mathrm{e}^{-1/s})} \right]\;^q}

Damit der Nippel beim verzerren der Busen-Funktion (schlaffer Busen) nicht zu weit nach links (bzw. nach unten) rutscht, schwäche ich die Abweichung von s von 1 etwas ab, indem ich für die Verschiebung statt s den Mittelwert zwischen s und 1 verwende:

(17)
s \qquad \rightarrow \qquad { s + 1 \over 2 } \qquad \Rightarrow
\mathrm{e}^{-1/s} \qquad \rightarrow \qquad \mathrm{e}^{-2/(s+1)}

Damit erhalte ich schliesslich die folgende Nippel-Funktion:

(18)
y = { 1 \over n_1} \cdot \mathrm{e}^{-\left[ n_2 \cdot \left(x - \mathrm{e}^{-2/(s+1)} \right) \right]\;^q}
wobei'
s ' =' 'Straffheit des Busens
n_1 ' =' 'Höhe des Nippels
n_2 ' =' 'Durchmesser des Nippels
q ' =' 'Form des Nippels

Kurven zusammensetzen

Jetzt haben wir die Busen-Kurve und die Nippel-Kurve bestimmt. Wir müssen sie nur noch zusammensetzen. Zusammensetzen heisst, die beiden Funktionen müssen addiert werden. Da die Nippel-Kurve nach oben, die Busen-Kurve aber nach unten zeigt, müssen wir die Nippel-Kurve von der Busen-Kurve abziehen, damit der Nippel auch nach unten zeigt.

Wenn wir nun noch die beiden X- und Y-Achsen miteinander vertauschen, indem wir x durch y und y durch x ersetzen, erhalten wir eine Busen-Kurve die steht, statt liegt. Die endgültige Formel lautet somit:

(19)
x = b \cdot s \cdot y^s \cdot \ln(y) - { 1 \over n_1 } \cdot \mathrm{e}^{-\left[ n_2 \cdot \left( y - \mathrm{e}^{-2/(s+1)} \right) \right]\;^q}
wobei'
b ' =' 'Grösse des Busens
s ' =' 'Straffheit des Busens
n_1 ' =' 'Höhe des Nippels
n_2 ' =' 'Durchmesser des Nippels
q ' =' 'Form des Nippels
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Erzeugt Montag, 12. August 2013
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Geändert Samstag, 20. August 2016
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