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Lösung für erste Bifurkationsstelle (Übung2)

Ich bin auf der Website Wer weiss was als Experte registriert und erhalte daher ab und zu Anfragen zu mathematischen Problemen wie dem folgenden:

Gegeben sind die zwei logistischen Funktionen

(1)
(2)

Gesucht sind jeweils die ersten Bifurkationsstellen für im Feigenbaumdiagramm.

Was eine logistische Funktion, ein Feigenbaumdiagramm und eine Bifurkationsstelle ist und wie die Lösung für die Aufgabe (1) gefunden werden kann, habe ich in Analytische Lösung für die erste Bifurkationsstelle im Feigenbaumdiagramm aufgezeigt.

Auf dieser Seite zeige ich analog kurz den Lösungsweg für die Aufgabe (2).

Lösung für Aufgabe 2

Der Lösungsweg für beide Aufgaben ist mehr oder weniger identisch. Sie unterscheiden sich lediglich im Arbeitsaufwand etwas, da die Polynome der Aufgabe (2) grösser sind, als bei Aufgabe (1):

  1. Gleichung für den ersten Attraktor aufstellen ergibt ein Polynom P1 2-ten Grades; und Nullstellen suchen. Daraus ergeben sich die zwei Lösungen .
  2. Gleichung für 2 alternierende Attraktoren aufstellen. Dies ergibt ein Polynom P2 4-ten Grades.
  3. P2 durch P1 dividieren: Die zwei bereits bekannten Lösungen verwenden, um das Polynom 4-ten Grades auf den Grad 2 zu reduzieren.
  4. Lösen des Polynoms 2-ten Grades aus Schritt 3 ergibt .
  5. Bifurkationsstelle berechnen: Dort wo sich die Lösungen von Schritt 4. treffen, ist die Stelle der ersten Bifurkation.

1a. Gleichung für ersten Attraktor

In jenem Bereich von , in dem es nur einen Attraktor hat, gilt folgende Aussage: Wenn an einer bestimmten Stelle der Wert des Attraktors in die Formel (2) eingesetzt wird, erhält man als Resultat wiederum diesen Wert zurück: . Daraus erhalten wir also die Formel für den ersten Attraktor (4):

Zunächst bringe ich (2) in Polynom-Form:

(3)

Wenn ich für den Wert des Attraktors einfach nur schreibe, ist die Formel für den ersten Attraktor somit:

(4)

Um die Lösungen zu finden, müssen alle auf dieselbe Seite der Gleichung gebracht und das resultierende Polynom P1 gleich Null gesetzt werden:

(5)

P1

1b. Nullstellen von P1 berechnen

Durch lösen der quadratischen Gleichung (5) erhalten wir zwei Lösungen:

(6)

Im Gegensatz zur Aufgabe (1) ist hier die erste Lösung (Minus-Zeichen) nur dann gleich Null, wenn ist. Aufgabe (1) ist ja ein Spezialfall der allgemeineren Aufgabe (2).

Auch in Aufgabe (2) interessiert die Lösung jedoch nicht weiter, weil sie keinen Attraktor darstellt. Die Lösung (Lösung mit Plus-Zeichen) ist die Formel für den ersten Attraktor.

Beachte, dass der Wertebereich von so sein muss, dass der Wert unter der Wurzel grösser oder gleich Null ist:

2. Gleichung für alternierende Attraktoren

Wie in Analytische Lösung für die erste Bifurkationsstelle im Feigenbaumdiagramm gezeigt wird die Gleichung für die alternierenden Attraktoren und erstellt:

(7)
(8)

Und weil wir beim Einsetzen von (8) in (7) das Quadrat von auch brauchen, berechnen wir dieses hier gleich auch noch:

(9)

Nach Einsetzen von (8) und (9) in (7), ausmultiplizieren, alle auf eine Seite bringen und gruppieren erhalten wir das Polynom 4. Grades P2:

(10)

P2

Dieses Polynom hat für bestimmte Bereiche von und vier Nullstellen.

Beachte: und sind auch Lösungen dieses Polynoms. Zwei Lösungen haben wir also bereits berechnet. Die anderen zwei Lösungen stellen den alternierenden Attraktor dar.

3. P2 durch P1 dividieren

Um die beiden Lösungen analytisch berechnen zu können, dividieren wir das Polynom P2 durch das Polynom P1, welches ja zwei Lösungen von P2 darstellt. Die Polynomdivision geht also ohne Rest auf:

(11)

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir (11) gleich Null. Nach dem Normalisieren (beide Seiten durch dividieren) erhalten wir:

(12)

4. Nullstellen von (12) berechnen

Das Lösen der quadratischen Gleichung (12) ergibt die Gleichungen für die beiden Attraktoren :

(13)

5. Bifurkationsstelle berechnen

Dort, wo die beiden Attraktoren aus (13) denselben Wert haben, sich also mit dem ersten Attraktor treffen, ist der Wert unter der Wurzel von (13) gleich Null. Denn nur in diesem Fall erhalten wir denselben Wert für und :

(14)

Wenn wir also berechnen, bei welchem der Wert unter der Wurzel Null ist, erhalten wir den Wert für an der Bifurkationsstelle. Dazu lösen wir die quadratische Gleichung (14) für und erhalten:

(15)

Wie in der Aufgabe (1) interessiert uns nur die Lösung , weil nur Werte erlaubt sind:

(16)

Beachte: Für erhalten wir die Lösung für Aufgabe (1): (siehe Analytische Lösung für die erste Bifurkationsstelle im Feigenbaumdiagramm).

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Erzeugt Freitag, 12. November 2010
von wabis
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Geändert Sonntag, 31. Juli 2016
von wabis