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Welches sind die Lösungen von x?
In der folgenden Grafik ist
Um die Aufgabe (1) nach
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Achtung: In diesem Beispiel muss die Winkeleinheit des Taschenrechners auf Radian eingestellt sein, nicht auf Grad!
Das Problem ist nun, dass der Arcus-Sinus des Taschenrechners nur Werte berechnet, die in der Grafik im rot hinterlegten Bereich liegen, also zwischen
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Alle weiteren Lösungen erhält man nun einfach, indem man zu den beiden Lösunge
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wobei' |
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Wir können die Aufgabe auch allgemein formulieren, das heisst für irgend einen Wert a:
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mit |
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Wir erhalten dann alle Lösungen mit:
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wobei' |
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Wir können diese beiden Formeln auch zu einer einzigen Formel zusammenfassen. Wir können in (7)
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In (8) können wir
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Etwas Umstellen der beiden Formeln ergibt:
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Diese beiden Formeln können wir nun zu einer Formel zusammenfassen:
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Und schliesslich können wir das
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und erhalten endlich die allgemeinen Lösungen:
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wobei' |
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Sehr klare Darstellung der Mehrdeutigkeit der ARCSIN-Funktion. Mein Vorschlag: Hinweis unter welchen Bedingungen die Lösung x1 oder x2 gebraucht werden muss. Das ist aus der Definition der Winkelfunktionen ersichtlich.
was tun bei 24=sinx?
sin(x) = 24 kann nicht gelöst werden, da der Sinus nur einen Wertebereich zwischen −1 und +1 hat, also nie 24 werden kann.
gibt es eine Möglichkeit für
@peter: Nehmen wir die Formel (15) und setzen Ihre Aufgabe darin ein:
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Da
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Ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel:
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Wir suchen jetzt alle n (n ist eine positive ganze Zahl), für die x eine ganze Zahl sein soll. Damit x eine ganze Zahl wird, muss der Term
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Der linke Teil der Gleichung (21) ist immer eine ganze Zahl ungleich 0. Der rechte Teil der Gleichung hingegen ist wegen
Das heisst, es gibt keine ganze Zahl n und m für die (21) erfüllt sein kann und somit gibt es keine Lösung für die gestellte Aufgabe.
Es scheitert nicht daran, wie genau man
Wenn ich in einem Dreieck (gegeben sind b, c und beta) mittels Sinussatz den fehlenden Winkel gamma berechnen will gelange ich auf die Formel:
gamma = arcsin ( c * sin(beta) / b )
Frage: Wie finde ich heraus, welche der vielen Lösungen des arcsin die richtige für das Dreieck ist? Denn nur ein bestimmter Wert für gamma ist konstistent zu dem Dreieck, das bereits zweifelsfrei durch b, c und beta festgelegt ist. Ist es möglich bereits an den Werten von b, c und beta zu entscheiden welches n und welches Vorzeichen ich in der allgemeinen Formel einsetzen muss.
Für die obige Aufgabe gibt es generell zwei Lösungen. Das sieht man bei der Konstruktion des Dreiecks:
Weil es generell zwei Punkte C gibt, gibt es auch zwei Winkel gamma.
Für die meisten Aufgaben, insbesondere in der Geometrie, sind nur die Lösungen mit n = 0 von Interesse.
Alle anderen Lösungen sind einfach um 360° bzw. 2π grösser oder kleiner. Ein Winkel von mehr als ± 360° macht geometrisch keinen Sinn, daher können Lösungen mit n > 0 weggelassen werden.
Beachte, dass es in diesem Beispiel 0-2 Lösungen gibt. Der Ausdruck c*sin(beta) ist die Höhe h des Dreicks auf a. Wenn nun h grösser als b ist, ist h/b > 1 und der arcsin(>1) ist nicht definiert. Es leuchtet ein, dass es keine Lösung gibt, wenn b kleiner als h ist. Wenn b = h ist, ergibt h/b = 1 und der arcsin(1) ist π/2. Die beiden resultierenden Lösungen sind beide π/2 bzw. 90°. Wenn b > h ist, dann gibt es immer zwei verschiedene Lösungen. Ein Winkel gamma ist in diesem Fall zwischen 0..90° und der andere zwischen 90..180°.
Dürfte ich um die Herleitung des Schrittes (3) bitten?
Ich habe stundenlang im Internet recherchiert, wie man sin(x)=2/3 berechnet.
Aber nirgends stand etwas, dass man den WTR auf Radian umstellen muss. Deswegen habe ich ständig so hohe Werte rausbekommen. Nämliche die Winkel im Bogenmaß.
Vielen Dank, dass hier alles ausführlich und verständlich erklärt wurde.
Jetzt blick ich es endlich wieder.
Rießen Dankeschön!