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Lösungen für sin(x) = 0.44

Donnerstag, 7. April 2011 - 19:20 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik | Kommentare(8)
Berechnen der Lösungen von trigonometrischen bzw. goniometrischen Funktionen. Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, gibt es unendlich viele Lösungen. Der Taschenrechner liefert aber nur eine Lösung. Wie findet man die anderen Lösungen?

Aufgabe

(1)

Welches sind die Lösungen von x?

Grafik

In der folgenden Grafik ist über 4 Perioden aufgezeichnet. Die grüne dicke horizontale Linie liegt beim Wert . Gesucht sind alle x-Werte, an denen sich der Sinus und die grüne Linie schneiden. Die beiden Haupt-Schnittpunkte sind mit kleinen Kreisen markiert.

Lösung des Taschenrechners

Um die Aufgabe (1) nach aufzulösen, müssen wir auf beiden Seiten den Arcus-Sinus berechnen:

(2)

Achtung: In diesem Beispiel muss die Winkeleinheit des Taschenrechners auf Radian eingestellt sein, nicht auf Grad!

Das Problem ist nun, dass der Arcus-Sinus des Taschenrechners nur Werte berechnet, die in der Grafik im rot hinterlegten Bereich liegen, also zwischen und . Offensichtlich gibt es aber in der ersten Periode des Sinus noch eine zweite Lösung:

(3)

Alle Lösungen

Alle weiteren Lösungen erhält man nun einfach, indem man zu den beiden Lösunge ein Vielfaches von hinzuzählt bzw. abzieht. Dies schreibt man so:

(4)
(5)
wobei'
' =' '..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Allgemeine Lösungen

Wir können die Aufgabe auch allgemein formulieren, das heisst für irgend einen Wert a:

(6)
mit

Wir erhalten dann alle Lösungen mit:

(7)
(8)
wobei'
' =' 'eine ganze Zahl, positiv und negativ

Wir können diese beiden Formeln auch zu einer einzigen Formel zusammenfassen. Wir können in (7) addieren und subtrahieren:

(9)

In (8) können wir in zwei Hälften teilen:

(10)

Etwas Umstellen der beiden Formeln ergibt:

(11)
(12)

Diese beiden Formeln können wir nun zu einer Formel zusammenfassen:

(13)

Und schliesslich können wir das am Anfang mit dem Term am Ende zusammenfassen

(14)

und erhalten endlich die allgemeinen Lösungen:

(15)
wobei'
' =' 'eine ganze Zahl, positiv und negativ

Kommentare

1Eddy 08.08.2013 | 14:53

Sehr klare Darstellung der Mehrdeutigkeit der ARCSIN-Funktion. Mein Vorschlag: Hinweis unter welchen Bedingungen die Lösung x1 oder x2 gebraucht werden muss. Das ist aus der Definition der Winkelfunktionen ersichtlich.

2unbekannt 18.12.2016 | 14:22

was tun bei 24=sinx?

3wabiswalter@bislins.ch (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 19.12.2016 | 20:53

sin(x) = 24 kann nicht gelöst werden, da der Sinus nur einen Wertebereich zwischen −1 und +1 hat, also nie 24 werden kann.

4Peter 21.01.2017 | 22:59

gibt es eine Möglichkeit für alle Stellen zu berechnen an denen x eine Ganzzahl ist? Oder scheitert es daran, dass man nicht unendlich genau berechnen kann?

5wabiswalter@bislins.ch (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 29.01.2017 | 21:26

@peter: Nehmen wir die Formel (15) und setzen Ihre Aufgabe darin ein:

(16)

Da ist erhalten wir:

(17)
(18)

Ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel:

(19)

Wir suchen jetzt alle n (n ist eine positive ganze Zahl), für die x eine ganze Zahl sein soll. Damit x eine ganze Zahl wird, muss der Term ein ganzzahliges Vielfaches m von sein:

(20)
(21)

Der linke Teil der Gleichung (21) ist immer eine ganze Zahl ungleich 0. Der rechte Teil der Gleichung hingegen ist wegen im Nenner für alle ganzzahligen m immer eine irrationale Zahl oder 0.

Das heisst, es gibt keine ganze Zahl n und m für die (21) erfüllt sein kann und somit gibt es keine Lösung für die gestellte Aufgabe.

Oder scheitert es daran, dass man nicht unendlich genau berechnen kann?

Es scheitert nicht daran, wie genau man berechnen kann. Es scheitert daran, dass nie eine irrationale Zahl sein kann, wenn n eine ganze Zahl sein muss.

6unbekannt 21.03.2017 | 15:19

Wenn ich in einem Dreieck (gegeben sind b, c und beta) mittels Sinussatz den fehlenden Winkel gamma berechnen will gelange ich auf die Formel:

gamma = arcsin ( c * sin(beta) / b )

Frage: Wie finde ich heraus, welche der vielen Lösungen des arcsin die richtige für das Dreieck ist? Denn nur ein bestimmter Wert für gamma ist konstistent zu dem Dreieck, das bereits zweifelsfrei durch b, c und beta festgelegt ist. Ist es möglich bereits an den Werten von b, c und beta zu entscheiden welches n und welches Vorzeichen ich in der allgemeinen Formel einsetzen muss.

7wabiswalter@bislins.ch (Walter Bislin, Autor dieser Seite) 21.03.2017 | 22:06

Für die obige Aufgabe gibt es generell zwei Lösungen. Das sieht man bei der Konstruktion des Dreiecks:

  1. Gerade a zeichnen
  2. Auf einem beliebigen Punkt B auf a den Winkel beta einzeichnen -> Gerade c
  3. Auf Gerade c im Abstand c vom Punkt B den Punkt A einzeichnen
  4. Kreis um A mit Radius b -> 2 geometrische Orte für für C1 und C2 auf a

Weil es generell zwei Punkte C gibt, gibt es auch zwei Winkel gamma.

Für die meisten Aufgaben, insbesondere in der Geometrie, sind nur die Lösungen mit n = 0 von Interesse.

Alle anderen Lösungen sind einfach um 360° bzw. 2π grösser oder kleiner. Ein Winkel von mehr als ± 360° macht geometrisch keinen Sinn, daher können Lösungen mit n > 0 weggelassen werden.

Beachte, dass es in diesem Beispiel 0-2 Lösungen gibt. Der Ausdruck c*sin(beta) ist die Höhe h des Dreicks auf a. Wenn nun h grösser als b ist, ist h/b > 1 und der arcsin(>1) ist nicht definiert. Es leuchtet ein, dass es keine Lösung gibt, wenn b kleiner als h ist. Wenn b = h ist, ergibt h/b = 1 und der arcsin(1) ist π/2. Die beiden resultierenden Lösungen sind beide π/2 bzw. 90°. Wenn b > h ist, dann gibt es immer zwei verschiedene Lösungen. Ein Winkel gamma ist in diesem Fall zwischen 0..90° und der andere zwischen 90..180°.

8a^x +b^x=c^x 29.11.2017 | 16:53

Dürfte ich um die Herleitung des Schrittes (3) bitten?

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Geändert Sonntag, 29. Januar 2017
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