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Pendel und Statik am Kran

Dienstag, 5. August 2014 - 02:40 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Mechanik
Wie weit wird eine Last an einem Kran bei Wind ausgelenkt? Wie weit schwingt eine Last an einem Laufkran aus, wenn dieser plötzlich stoppt?

In diesem Beitrag werden die Formeln zu diesen Fragen hergeleitet und an einem Beispiel durchgerechnet.

Aufgabe: Seitliche Bewegung bei Wind

Um wie viel bewegt sich ein Flugzeugteil am Kran in die seitlichen Richtungen bei Wind?

Das Gewicht soll 30 000 kg schwer sein und die Seillänge betrage 35 m.

Einerseits soll dies für das Heckteil mit einer seitlichen Windangriffsfläche von 136 m2 und einer frontalen von 31 m2 bei Windstärke 8, also bei einer Windgeschwindigkeit von 20,8 m/s und einer daraus resultierenden Windkraft von 3578 kg bzw. 815,6 kg berechnet werden.

Lösung: Seitliche Bewegung bei Wind

Statische Kräfte am Kran-Pendel

In der Aufgabe geht es um den statischen Zustand eines Pendels. D.h. das Pendel bewegt sich nicht im Wind, sondern hat eine bestimmte dem Wind entsprechende Ruhestellung eingenommen.

Die Grafik zeigt die Kräfteverhältnisse. Die Gewichtskraft FG zeigt senkrecht nach unten. Die Windkraft FW wirkt horizontal nach links. Die Seilkraft FS muss im Gleichgewicht derart sein, dass die Y-Komponente der Seilkraft FSy = −FG und die X-Komponente FSx = −FW ist. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Seilauslenkung einen bestimmten Winkel α hat. Der Winkel ist also vom Gewicht und von der Windkraft abhängig.

Das Kräftedreieck rechts zeigt, wie sich die Summe der Kraftvektoren zum Null-Vektor addieren: Das Dreieck ist geschlossen. Wäre z.B. die Wind-Kraft FW grösser, würde oben am Dreick eine Lücke entstehen, deren Grösse einer resultierenden horizontalen Kraft nach links entspricht. Die Ladung würde von dieser Kraft somit nach links beschleunigt, das System wäre nicht im Gleichgewicht.

Nun interessiert uns die Auslenkung x im statischen Fall. Dazu müssen wir den Winkel α berechnen. Dieser kann mit Hilfe der Trigonometrie aus dem Kräftedreieck abgeleitet werden:

(1)
\tan( \alpha ) = { F_\mathrm{W} \over F_\mathrm{G} } \qquad\Rightarrow\qquad \alpha = \arctan\left( { F_\mathrm{W} \over F_\mathrm{G} } \right)

Das Verhältnis von Auslenkung x und Pendellänge l ist:

(2)
{ x \over l } = \sin( \alpha )

Dies können wir nach x auflösen und den Winkel α aus (1) einsetzen. Damit erhalten wir die Formel für die gesuchte Auslenkung:

(3)
x = l \cdot \sin( \alpha ) = l \cdot \sin\left( \arctan\left( F_\mathrm{W} / F_\mathrm{G} \right) \right)
wobei'
x ' =' 'Auslenkung des Pendels in m.
l ' =' 'Pendellänge in m.
F_\mathrm{W} ' =' 'Windkraft in N oder kg.
F_\mathrm{G} ' =' 'Gewichtskraft in N oder kg.

Rechenbeispiel 1

In der Aufgabe sind die Auslenkungen x1 und x2 für zwei verschiedene Windkräfte FW1 und FW2 gesucht:

(4)
x_1 = 35\ \mathrm{m} \cdot \sin\left( \arctan\left( 3578\ \mathrm{kg} / 30\,000\ \mathrm{kg} \right) \right) = 4{,}145\ \mathrm{m}
(5)
x_1 = 35\ \mathrm{m} \cdot \sin\left( \arctan\left( 815{,}6\ \mathrm{kg} / 30\,000\ \mathrm{kg} \right) \right) = 0{,}9512\ \mathrm{m}

Dynamische Effekte

In obiger Aufgabe wurde nur der eingeschwungene statische Fall berechnet. Echte Lasten können sich jedoch im Wind bewegen, wenn sie daran nicht gehindert werden, oder die Windstärke selbst kann schwanken (Böen). Im ungünstigsten Fall kann die Last so um eine Achse schwingen, dass ihr Luftwiderstand immer am selben Punkt der Pendelschwingung am grössten ist. Die Pendelschwingung schaukelt sich dann immer mehr auf. Dies kann in einer Katastrophe enden!

Aufgabe: Seitliche Bewegung bei Kran-Stopp

Es soll berechnet werden, um wie viele Zentimeter / Meter sich das Flugzeugteil noch weiter bewegen würde, wenn der Kran dies an seiner Laufkatze mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s bewegt und abrupt abstoppt.

Lösung: Seitliche Bewegung bei Kran-Stopp

Solange sich der Kran bewegt und seine Last sich senkrecht darunter mitbewegt, hat diese die folgende kinetische Energie (Bewegungsenergie):

(6)
E_\mathrm{kin} = {1 \over 2 } \cdot m \cdot v^2
wobei'
E_\mathrm{kin} ' =' 'kinetische Energie
m ' =' 'Masse der Last
v ' =' 'Geschwindigkeit von Kran und Masse

Wenn der Kran zum Zeitpunkt t0 plötzlich stoppt, bewegt sich die Last zunächst mit der Geschwindigkeit v weiter und wird durch das Seil in einem Bogen nach oben gezogen. Dabei nimmt die Geschwindigkeit der Last ab. Damit nimmt auch ihre kinetische Energie ab. Energie bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten. Sie wandelt sich in diesem Fall in potentielle Energie um. Diese berechnet sich aus der Höhe h, um welche die Last beim Ausschwingen angehoben wird:

(7)
E_\mathrm{pot} = m \cdot g \cdot h
wobei'
E_\mathrm{pot} ' =' 'potentielle Energie
m ' =' 'Masse der Last
g ' =' 'Erdbeschleunigung = 9,806 65 m/s2
h ' =' 'Höhe, um welche die Masse angehoben wurde
Ausschwingen bei Kran-Stop

Die maximale Auslenkung b ist am Umkehrpunkt der Last erreicht. An diesem Punkt ist die Lastgeschwindigkeit v = 0 und damit die kinetische Energie der Last ebenfalls Null. Die anfängliche kinetische Energie Ekin(t0) ist an diesem Punkt vollständig in potentielle Energie Epot umgewandelt worden.

Daraus erhalten wir folgende Gleichung:

(8)
E_\mathrm{pot} = E_\mathrm{kin}(t_0) \qquad\Rightarrow
m \cdot g \cdot h = { 1 \over 2 } \cdot m \cdot v^2

Die Masse m kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor und kann daher gekürzt werden. Die verbliebene Gleichung kann nach h aufgelöst werden:

(9)
h = { v^2 \over 2 \cdot g }

Wir wollen aber nicht die Höhe h der Auslenkung, sondern die Auslenkung b haben. Aus der Grafik kann abgelesen werden, dass a = lh ist. Damit lässt sich die Auslenkung b nach Pythagoras berechnen:

(10)
l^2 = b^2 + a^2 = b^2 + (l - h)^2

Auflösen nach b ergibt:

(11)
b = \sqrt{ l^2 - (l - h)^2 }
mit
h = { v^2 \over 2 \cdot g }
wobei'
b ' =' 'Auslenkung am Umkehrpunkt
l ' =' 'Länge des Seils (Pendellänge)
h ' =' 'Anhebung der Last am Umkehrpunkt
g ' =' 'Erdbeschleunigung = 9,806 65 m/s2
v ' =' 'Geschwindigkeit des Krans und der Last vor dem Stopp

Diskussion: Kein Einfluss der Masse

Interessanterweise kommt die Masse, also das Gewicht der Last, in obiger Formel nicht mehr vor! Das bedeutet, dass jede Last genau gleich weit ausschwingt, wenn bei einer bestimmten Geschwindigkeit die Laufkatze plötzlich gestoppt wird.

Rechenbeispiel 2

In der Aufgabe ist die Geschwindigkeit des Krans und der Last zum Zeitpunkt t0: v = 4 m/s. Zusammen mit der Seillänge von 35 m haben wir alle Werte, um die Auslenkung b nach (11) zu berechnen:

(12)
h = { (4\ \mathrm{m}/\mathrm{s})^2 \over 2 \cdot 9{,}806\,65\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} } = 0{,}8158\ \mathrm{m}
(13)
b = \sqrt{ (35\ \mathrm{m})^2 - (35\ \mathrm{m} - 0{,}8158\ \mathrm{m})^2 } = 7{,}513\ \mathrm{m}

Der maximale Auslenkwinkel wäre dann noch:

(14)
\alpha_\mathrm{max} = \arcsin( b / l ) = \arcsin( 7{,}513 / 35 ) = 12{,}4^\circ
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Erzeugt Montag, 4. August 2014
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Geändert Samstag, 17. Januar 2015
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