WaBis

walter.bislins.ch

Prinzip der kleinsten Wirkung anschaulich (Formeln)

Die Formeln auf der Seite Prinzip der kleinsten Wirkung anschaulich gelten nur für den einfachen Fall, dass die Flugbahn des Teilchens ausser in der Höhe (Parameter ) nicht variiert werden kann.

Auf dieser Seite sind die Formeln für alle in der interaktiven Grafik möglichen Variationen der Flugbahn aufgeführt. Das zugehörige Programm in JavaScript ist auf der folgenden Seite einsehbar:

Variation der Flugbahn

Die Parabel liegt in parametrischer Form vor. Das heisst, die X-Richtung und die Y-Richtung sind separate Funktionen, welche von einem gemeinsamen Zeitparameter abhängig sind.

(1)
(2)

Die Abweichungen von der Parabel werden durch Addition von Funktionen und bewerkstelligt. Damit die Grenzbedingung, dass die Flugbahn bei am Startpunkt beginnen und bei am Endpunkt enden muss, müssen diese Funktionen beim Start- und Endpunkt Null sein:

(3)
und

Als Variationsfunktionen, welche die Grenzbedingung erfüllen, habe ich eine Sinus-Funktion gewählt:

(4)
(5)
mit

Damit erhalten wir die folgenden Formeln für die Flugbahn:

(6)
(7)
mit

Variation der Geschwindigkeit

Die Variation der Geschwindigkeit des Teilchens entlang der Flugbahn muss derart sein, dass das Teilchen bei am Startpunkt und bei am Endpunkt ist. Dies kann erreicht werden, indem zum Zeit-Parameter eine Funktion addiert wird, welche bei und bei Null ist. Dazu eignet sich wiederum die Sinus-Funktion:

(8)
mit

Der Zeit-Parameter wird nun überall durch folgende Funktion ersetzt:

(9)
mit

Damit die Zeit nicht rückwärts verlaufen kann, muss der Parameter so beschränkt werden, dass die Ableitung der Funktion immer kleiner als 1 ist. Dies ist dann der Fall, wenn gilt:

(10)

Der Parameter wird im Modell entsprechend beschränkt. D.h. wenn der Wert 1 bei eingestellt wird, wird intern mit gerechnet.

Formeln der variablen Flugbahn

Wenn man nun (9) in die Formeln (6) und (7) einsetzt, erhalten wir folgende Formeln für die variable Flugbahn:

(11)
(12)
mit
und

Formeln für die Geschwindigkeiten

Die Geschwindigkeiten errechnen sich durch Ableiten der Formeln für die Flugbahnen:

(13)

Dies ergibt:

(14)
(15)
mit
und
und

Formeln für die Beschleunigungen

Die Beschleunigungen errechnen sich durch Ableiten der Formeln für die Geschwindigkeiten:

(16)

Dies ergibt:

(17)
(18)
mit
und
und
und

Der Lagrangien

Der Lagrangien ist für unser Beispiel wiefolgt definiert:

(19)

Es ist an dieser Stelle nicht notwendig, die oben errechneten Formeln in (19) einzusetzen, um eine einzige grosse Formel zu erhalten. Man kann den Lagrangien durch Berechnen der einzelnen Terme schrittweise bestimmen.

Die Wirkung

Die Wirkung ist definiert als:

(20)

Dieses Integral analytisch zu berechnen hat mich und mein CAS überfordert. Ich habe die Wirkung im Modell daher numerisch berechnet (mit der Trapezmethode).

Die minimale Wirkung

Die minimale Wirkung ist dann gegeben, wenn alle sind und ist. Damit gilt dieselbe Formel wie bei Berechnung der minimalen Wirkung (Ziel-SeitePrinzip der kleinsten Wirkung anschaulich):

(21)
Weitere Infos zur Seite
Erzeugt Dienstag, 30. September 2014
von wabis
Zum Seitenanfang
Geändert Montag, 18. März 2019
von wabis