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Prinzip der kleinsten Wirkung anschaulich (Formeln)

Die Formeln auf der Seite Prinzip der kleinsten Wirkung anschaulich gelten nur für den einfachen Fall, dass die Flugbahn des Teilchens ausser in der Höhe (Parameter $p$ ) nicht variiert werden kann.

Auf dieser Seite sind die Formeln für alle in der interaktiven Grafik möglichen Variationen der Flugbahn aufgeführt. Das zugehörige Programm in JavaScript ist auf der folgenden Seite einsehbar:

Prinzip der kleinsten Wirkung anschaulich (JavaScript)

Variation der Flugbahn

Die Parabel liegt in parametrischer Form vor. Das heisst, die X-Richtung und die Y-Richtung sind separate Funktionen, welche von einem gemeinsamen Zeitparameter $t$ abhängig sind.

(1)	$x(t) = s \cdot t / t_e$

(2)	$y(t) = -p \cdot t \cdot (t - t_e)$

Die Abweichungen von der Parabel werden durch Addition von Funktionen $f_x(t)$ und $f_y(t)$ bewerkstelligt. Damit die Grenzbedingung, dass die Flugbahn bei $t=0$ am Startpunkt beginnen und bei $t = t_e$ am Endpunkt enden muss, müssen diese Funktionen beim Start- und Endpunkt Null sein:

(3)	$f_x(t = 0) = 0 \qquad\qquad f_x( t = t_e ) = 0$
und	$f_y(t = 0) = 0 \qquad\qquad f_y( t = t_e ) = 0$

Als Variationsfunktionen, welche die Grenzbedingung erfüllen, habe ich eine Sinus-Funktion gewählt:

(4)	$f_x(t) = p_x \cdot \sin( n_x \cdot \pi \cdot t / t_e ) = p_x \cdot \sin( \omega_x \cdot t )$
(5)	$f_y(t) = p_y \cdot \sin( n_y \cdot \pi \cdot t / t_e ) = p_y \cdot \sin( \omega_y \cdot t )$
mit	$n_x, n_y = 1, 2, ...N \qquad\qquad \omega_x = n_x \cdot \pi / t_e \qquad\qquad \omega_y = n_y \cdot \pi / t_e$

Damit erhalten wir die folgenden Formeln für die Flugbahn:

(6)	$x(t) = \Big[ s \cdot t / t_e \Big] + \Big[ p_x \cdot \sin( \omega_x \cdot t ) \Big]$
(7)	$y(t) = \Big[ -p \cdot t \cdot (t - t_e) \Big] + \Big[ p_y \cdot \sin( \omega_y \cdot t ) \Big]$
mit	$\omega_x = n_x \cdot \pi / t_e \qquad\qquad \omega_y = n_y \cdot \pi / t_e \qquad\qquad n_x, n_y = 1, 2, ...N$

Variation der Geschwindigkeit

Die Variation der Geschwindigkeit des Teilchens entlang der Flugbahn muss derart sein, dass das Teilchen bei $t=0$ am Startpunkt und bei $t = t_e$ am Endpunkt ist. Dies kann erreicht werden, indem zum Zeit-Parameter eine Funktion $f_v(t)$ addiert wird, welche bei $t=0$ und bei $t=t_e$ Null ist. Dazu eignet sich wiederum die Sinus-Funktion:

(8)	$f_v(t) = p_v \cdot \sin( n_v \cdot \pi \cdot t / t_e ) = p_v \cdot \sin( \omega_v \cdot t )$
mit	$\omega_v = n_v \cdot \pi / t_e \qquad\qquad n_v = 1, 2, ...N$

Der Zeit-Parameter wird nun überall durch folgende Funktion ersetzt:

(9)	$t \rightarrow u(t) = t + f_v(t) = t + p_v \cdot \sin( \omega_v \cdot t )$
mit	$\omega_v = n_v \cdot \pi / t_e \qquad\qquad n_v = 1, 2, ...N$

Damit die Zeit nicht rückwärts verlaufen kann, muss der Parameter $p_v$ so beschränkt werden, dass die Ableitung der Funktion $f_v(t)$ immer kleiner als 1 ist. Dies ist dann der Fall, wenn gilt:

(10)	$p_{v,max} \lt { t_e \over n_v \cdot \pi }$

Der Parameter $p_v$ wird im Modell entsprechend beschränkt. D.h. wenn der Wert 1 bei $p_v$ eingestellt wird, wird intern mit $p_{v,max}$ gerechnet.

Formeln der variablen Flugbahn

Wenn man nun (9) in die Formeln (6) und (7) einsetzt, erhalten wir folgende Formeln für die variable Flugbahn:

(11)

$x(t) = \Big[ s \cdot u(t) / t_e \Big] + \Big[ p_x \cdot \sin( \omega_x \cdot u(t) ) \Big]$

(12)

$y(t) = \Big[ -p \cdot u(t) \cdot (u(t) - t_e) \Big] + \Big[ p_y \cdot \sin( \omega_y \cdot u(t) ) \Big]$

mit

$u(t) = t + p_v \cdot \sin( \omega_v \cdot t )$

und

$\omega_i = n_i \cdot \pi / t_e \qquad\qquad n_i = 1, 2, ...N$

Formeln für die Geschwindigkeiten

Die Geschwindigkeiten errechnen sich durch Ableiten der Formeln für die Flugbahnen:

(13)	$v_x(t) = { \mathrm d x(t) \over \mathrm d t } \qquad \qquad v_y(t) = { \mathrm d y(t) \over \mathrm d t }$

Dies ergibt:

(14)

$v_x(t) = \bigg[ { s \over t_e } + p_x \cdot \omega_x \cdot \cos( \omega_x \cdot u(t) ) \bigg] \cdot { \mathrm d u(t) \over \mathrm d t }$

(15)

$v_y(t) = \bigg[ - p \cdot \big( 2 \cdot u(t) - t_e \big) + p_y \cdot \omega_y \cdot \cos( \omega_y \cdot u(t) ) \bigg] \cdot { \mathrm d u(t) \over \mathrm d t }$

mit

$u(t) = t + p_v \cdot \sin( \omega_v \cdot t )$

und

${ \mathrm d u(t) \over \mathrm d t } = 1 + p_v \cdot \omega_v \cdot \cos( \omega_v \cdot t )$

und

$\omega_i = n_i \cdot \pi / t_e \qquad\qquad n_i = 1, 2, ...N$

Formeln für die Beschleunigungen

Die Beschleunigungen errechnen sich durch Ableiten der Formeln für die Geschwindigkeiten:

(16)	$a_x(t) = { \mathrm d v_x(t) \over \mathrm d t } \qquad \qquad a_y(t) = { \mathrm d v_y(t) \over \mathrm d t }$

Dies ergibt:

(17)

$\begin{align} a_x(t) = & \bigg[ - p_x \cdot {\omega_x}^2 \cdot \sin( \omega_x \cdot u(t) ) \bigg] \cdot \left( { \mathrm d u(t) \over \mathrm d t } \right)^2 + \\ & \bigg[ { s \over t_e } + p_x \cdot \omega_x \cdot \cos( \omega_x \cdot u(t) ) \bigg] \cdot { {\mathrm d}^2 u(t) \over \mathrm d t^2 } \end{align}$

(18)

$\begin{align} a_y(t) = & \bigg[ -2 \cdot p - p_y \cdot {\omega_y}^2 \cdot \sin( \omega_y \cdot u(t) ) \bigg] \cdot \left( { \mathrm d u(t) \over \mathrm d t } \right)^2 + \\ & \bigg[ -p \cdot \big( 2 \cdot u(t) - t_e \big) + p_y \cdot \omega_y \cdot \cos( \omega_y \cdot u(t) ) \bigg] \cdot { {\mathrm d}^2 u(t) \over {\mathrm d t}^2 } \end{align}$

mit

$u(t) = t + p_v \cdot \sin( \omega_v \cdot t )$

und

${ \mathrm d u(t) \over \mathrm d t } = 1 + p_v \cdot \omega_v \cdot \cos( \omega_v \cdot t )$

und

${ {\mathrm d}^2 u(t) \over {\mathrm d t}^2 } = - p_v \cdot {\omega_v}^2 \cdot \sin( \omega_v \cdot t )$

und

$\omega_i = n_i \cdot \pi / t_e \qquad\qquad n_i = 1, 2, ...N$

Der Lagrangien

Der Lagrangien ist für unser Beispiel wiefolgt definiert:

(19)

$\mathcal L(t) = { m \over 2 } \cdot \Big( {v_x(t)}^2 + {v_y(t)}^2 \Big) - m \cdot g \cdot ( y(t) + h_0 )$

Es ist an dieser Stelle nicht notwendig, die oben errechneten Formeln in (19) einzusetzen, um eine einzige grosse Formel zu erhalten. Man kann den Lagrangien durch Berechnen der einzelnen Terme schrittweise bestimmen.

Die Wirkung

Die Wirkung ist definiert als:

(20)

$W = \int_0^{t_e} \mathcal L(t) \, \mathrm d t$

Dieses Integral analytisch zu berechnen hat mich und mein CAS überfordert. Ich habe die Wirkung im Modell daher numerisch berechnet (mit der Trapezmethode).

Die minimale Wirkung

Die minimale Wirkung ist dann gegeben, wenn alle $p_i = 0$ sind und $p = g/2$ ist. Damit gilt dieselbe Formel wie bei Berechnung der minimalen Wirkung ( Ziel-Seite Prinzip der kleinsten Wirkung anschaulich):

(21)

$W_{min} = W(p=g/2) = m \cdot \bigg[ { s^2 \over 2 } \cdot {t_e}^{-1} - g \cdot h_0 \cdot t_e - { g^2 \over 24 } \cdot {t_e}^3 \bigg]$

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