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Schub des Kerntriebwerks

Dienstag, 17. Juli 2012 - 19:05 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Physik, Aviatik

Für mein Modell eines Turbofan-Triebwerks nehme ich an, dass der Schub des Kerntriebwerks ebenfalls exponentiell von N₂ abhängt, wie der Schub des ganzen Triebwerks (siehe Drehzahl und Schub).

(1)

$F_1(N_2) = \dot m_1(N_2) \cdot v_1(N_2) = k_1 \cdot \left( \mathrm{e}^{N_2/r_1} - 1 \right) \cdot F_{1,\mathrm{max}}$

mit

$N_2 = a \cdot N_1 + b$

Für a und b siehe Drehzahl von Fan und Kerntriebwerk.

Für die Berechnung der Parameter k₁ und r₁ dieser Exponentialfunktion benötige ich zwei Punkte der Funktion. Mit den bisher hergeleiteten Formeln kann ich zwei solche Punkte berechnen.

Punkt A: Vollschub

Den ersten Punkt A = ( [ N_2,max ], [ F_1,max ] ) der Kurve erhalte ich beim Maximalschub N_1,max = 1. Dort ist N_2,max gegeben durch:

(2)	$N_{2,\mathrm{max}} = a \cdot N_{1,\mathrm{max}} + b = a + b = 0{,}972$

Der maximale Schub des Kerntriebwerks errechnet sich nach folgender Formel:

(3)	$F_{1,\mathrm{max}} = \dot m_{1,\mathrm{max}} \cdot v_{1,\mathrm{max}} = 19{,}468\ \mathrm{kN}$
mit	$\dot m_{1,\mathrm{max}} = \dot m_1(N_{2,\mathrm{max}}) = k_\mathrm{m1} \cdot (a \cdot N_{1,\mathrm{max}} + b) = k_\mathrm{m1} \cdot (a + b) = 56{,}8\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}$
und	$v_{1,\mathrm{max}} = { k \cdot \left( \mathrm{e}^{N_{1,\mathrm{max}}/r} - 1 \right) \cdot F_\mathrm{max} \over k_\mathrm{m1} \cdot (a \cdot N_{1,\mathrm{max}} + b) + k_\mathrm{m2} \cdot N_{1,\mathrm{max}} \cdot k_\mathrm{v}(N_{1,\mathrm{max}}) }$
	$v_{1,\mathrm{max}} = { F_\mathrm{max} \over k_\mathrm{m1} \cdot (a + b) + k_\mathrm{m2} \cdot k_{\mathrm{v},\mathrm{max}} } = a_0 = 343\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$
mit	$k_{\mathrm{v},\mathrm{max}} = k_\mathrm{v}(N_{1,\mathrm{max}}) = 0{,}843$

Punkt B: Leerlaufschub

Als zweiten Punkt der Kurve verwende ich den Punkt, wo das Kerntriebwerk im Leerlauf betrieben wird: Punkt B = ( [ N_2,idle ], [ F_1,idle ] ).

(4)	$N_{2,\mathrm{idle}} = a \cdot N_{1,\mathrm{idle}} + b = 0{,}607$

Der Idle-Schub des Kerntriebwerks errechnet sich nach folgender Formel:

(5)	$F_{1,\mathrm{idle}} = \dot m_{1,\mathrm{idle}} \cdot v_{1,\mathrm{idle}} = 1{,}168\ \mathrm{kN}$
mit	$\dot m_{1,\mathrm{idle}} = \dot m_1(N_{2,\mathrm{idle}}) = k_\mathrm{m1} \cdot (a \cdot N_{1,\mathrm{idle}} + b) = 35{,}4\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}$
und	$v_{1,\mathrm{idle}} = { k \cdot \left( \mathrm{e}^{N_{1,\mathrm{idle}}/r} - 1 \right) \cdot F_\mathrm{max} \over k_\mathrm{m1} \cdot (a \cdot N_{1,\mathrm{idle}} + b) + k_\mathrm{m2} \cdot N_{1,\mathrm{idle}} \cdot k_{\mathrm{v},\mathrm{idle}} } = 33{,}0\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$
mit	$k_{\mathrm{v},\mathrm{idle}} = k_\mathrm{v}(N_{1,\mathrm{idle}}) = (k_{\mathrm{v},\mathrm{max}} - 1) \cdot N_{1,\mathrm{idle}} + 1 = 0{,}966$

Berechnung der Kurvenparameter k1 und r1

Für die Berechnung der Parameter der Exponentialfunktion brauche ich den relativen Schub:

(6)	$F_{1,\mathrm{rel},\mathrm{max}} = { F_{1,\mathrm{max}} \over F_{1,\mathrm{max}} } = { 19{,}468\ \mathrm{kN} \over 19{,}468\ \mathrm{kN} } = 1$
	$F_{1,\mathrm{rel},\mathrm{idle}} = { F_{1,\mathrm{idle}} \over F_{1,\mathrm{max}} } = { 1{,}168\ \mathrm{kN} \over 19{,}468\ \mathrm{kN} } = 0.0600$

Die Werte der beiden Punkte für den Löser, der mir die Parameter der Exponentialfunktion berechnet (siehe Drehzahl und Schub) sind also:

Punkt A = ( [ N_2,A ], [ F_1,rel,A ] ) = ( [ N_2,max ], [ F_1,rel,max ] ) = ( [ 0,972 ], [ 1,000 ] )
Punkt B = ( [ N_2,B ], [ F_1,rel,B ] ) = ( [ N_2,idle ], [ F_1,rel,idle ] ) = ( [ 0,607 ], [ 0,0600 ] )

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