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Schwebung: Eine praktische Anwendung der Additionstheoreme

Mittwoch, 2. Dezember 2015 - 19:11 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Physik, Interaktiv | Kommentare(1)
In diesem Beitrag zeige ich eine praktische Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme am Beispiel der Schwebung zweier Sinuswellen. Mit einer interaktiven Grafik wird die Schwebung erklärt. Der in der Grafik sichtbare Zusammenhang der Wellen wird danach mathematisch mit den Additionstheoremen hergeleitet.

Was ist eine Schwebung?

Wenn man zwei Sinusförmige Wellen mit gleicher Stärke (Amplitude) aber leicht unterschiedlicher Frequenz addiert, erhält man eine neue Welle, deren Amplitude periodische zu- und abnimmt. Dies nenn man Schwebung. Schwebungen treten beispielsweise bei Schallwellen, elektromagnetischen Wellen oder elektrischen Signalströmen auf. [1]

Die folgende interaktive Grafik zeigt blau und grün zwei Sinuswellen, bei welchen die Frequenz mit den Reglern darunter leicht verändert werden kann. Das Resultat der Addition dieser Wellen ist orange dargestellt. Man erkennt, dass die orange Welle periodisch grösser und kleiner wird. Die rote Kurve hüllt die orange Kurve ein, desshalb nennt man sie Hüllkurve.

Wenn die blaue und die grüne Kurve je einen gleichlauten Ton einer bestimmten leicht abweichenden Tonhöhe darstellen, dann hört man statt der beiden einzelnen Töne nur einen einzelnen Ton, dessen Tonhöhe (Frequenz) dem Mittelwert der beiden Töne entspricht. Die Lautstärke dieses Tones variiert mit einer Frequenz, die der Differenz der beiden Frequenzen entspricht.

Die orange Kurve erhält man mathematisch, indem man eine Sinuskurve mit der Frequenz (f1 + f2)/2 mit dem Zweifachen einer Cosinuskurve der Frequenz (f1f2)/2 multipliziert (rote Kurve). Diese orange Kurve ist die Summe der blauen und grünen Kurve:

(1)
\color{#e70}{ 2 \, \sin\left( { \omega_1 + \omega_2 \over 2 } \, t \right) } \, \color{red}{ \cos\left( { \omega_1 - \omega_2 \over 2 } \, t \right) } = \color{blue}{ \sin\left( \omega_1 \, t \right) } + \color{green}{ \sin\left( \omega_2 \, t \right) }
mit
\omega_i = 2 \, \pi \, f_i
wobei'
f_i ' =' 'Frequenz einer Welle
\omega_i ' =' 'Kreisfrequenz
t ' =' 'Zeitparameter

Mit Hilfe der Additionstheoreme soll nun mathematisch gezeigt werden, dass dieser Zusammenhang zwischen den Kurven korrekt ist.

Anwendung der Additionstheoreme

Zur Vereinfachung der Berechnungen mache ich folgende Ersetzungen (Substitutionen):

(2)
a = { \omega_1 \over 2 } \, t \qquad\qquad b = { \omega_2 \over 2 } \, t

Zusätzlich teile ich beide Seiten von (1) durch 2. Damit vereinfacht sich die Formel (1) zu:

(3)
\color{#e70}{ \sin( a + b ) } \, \color{red}{ \cos( a - b ) } = { 1 \over 2 } \left[ \color{blue}{ \sin( 2 \, a ) } + \color{green}{ \sin( 2 \, b ) } \right]

Ich wandle im Folgenden unter Verwendung verschiedener Additionstheoreme die linke Seite obiger Gleichung solange um, bis ich die rechte Seite erhalte. Für eine Herleitung der nachfolgend verwendeten Additionstheoreme siehe Eulerformel: Herleitung trigonometrischer Additionstheoreme.

Zunächst kann ich für die linke Seite von (3) die folgenden Additionstheoreme anwenden [2]:

(4)
\sin( a + b ) = \sin( a ) \cdot \cos( b ) + \cos( a ) \cdot \sin( b )
(5)
\cos( a - b ) = \cos( a ) \cdot \cos( b ) + \sin( a ) \cdot \sin( b )

Angewandt auf die linke Seite von (3) ergibt dies:

(6)
\color{#e70}{ \sin ( a + b ) } \, \color{red}{ \cos ( a - b ) } = \color{#e70}{ \big[ \sin(a) \, \cos(b) + \cos(a) \, \sin(b) \big] } \, \color{red}{ \big[ \cos(a) \, \cos(b) + \sin(a) \, \sin(b) \big] }

Ich multipliziere die rechte Seite aus und erhalte:

(7)
= \color{blue}{ \cos(b)^2 } \, \sin(a) \, \cos(a) + \color{blue}{ \sin(b)^2 } \, \sin(a) \, \cos(a) + \color{green}{ \cos(a)^2 } \, \sin(b) \, \cos(b) + \color{green}{ \sin(a)^2 } \, \sin(b) \, \cos(b)

Die blauen und grünen Terme kann ich ausklammern:

(8)
= \color{blue}{ \big[ \cos(b)^2 + \sin(b)^2 \big] } \, \sin(a) \, \cos(a) + \color{green}{ \big[ \cos(a)^2 + \sin(a)^2 \big] } \, \sin(b) \, \cos(b)

Durch Anwendung des Theorems sin(x)2 + cos(x)2 = 1 vereinfacht sich die Formel zu:

(9)
\color{#e70}{ \sin ( a + b ) } \, \color{red}{ \cos ( a - b ) } = \color{blue}{ \sin(a) \, \cos(a) } + \color{green}{ \sin(b) \, \cos(b) }

Hier kann ich ein weiteres Additionstheorem anwenden:

(10)
\sin( 2 \, x ) = 2 \cdot \sin( x ) \cdot \cos( x )
bzw.
\sin( x ) \cdot \cos( x ) = { 1 \over 2 } \cdot \sin( 2 \, x )

Angewandt auf die rechte Seite von (9):

(11)
\color{#e70}{ \sin ( a + b ) } \, \color{red}{ \cos ( a - b ) } = \color{blue}{ { 1 \over 2 } \, \sin\left( 2 \, a \right) } + \color{green}{ { 1 \over 2 } \, \sin\left( 2 \, b \right) }

Beide Seiten mit 2 multiplizieren und Rücksubstituton von a = 0,5·ω1·t und b = 0,5·ω2·t ergibt schliesslich:

(12)
\color{#e70}{ 2 \, \sin\left( { \omega_1 + \omega_2 \over 2 } \, t \right) } \, \color{red}{ \cos\left( { \omega_1 - \omega_2 \over 2 } \, t \right) } = \color{blue}{ \sin\left( \omega_1 \, t \right) } + \color{green}{ \sin\left( \omega_2 \, t \right) }

Damit ist gezeigt, dass der eingangs postulierte Zusammenhang (1) korrekt ist.

Weiter Infos

Schwebung; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Schwebung
Formelsammlung Trigonometrie; Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung%5FTrigonometrie%23Additionstheoreme

Kommentare

1Leonhardt 25.01.2017 | 21:04

Sehr schön erklärt, geniale interaktive Grafik! Allgemein schöne Homepage! Respekt!!!

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