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Verzerrter Kreis an Parabel

Freitag, 31. Juli 2015 - 00:25 | Autor: wabis | Themen: Wissen, Mathematik, Geometrie, Animation, Interaktiv
Damit sich eine kreisförmige Figur an eine Parabel anschmiegt, muss der zugrundeliegende Kreis verzerrt, also transformiert werden. Auf dieser Seite wird eine entsprechende Transformation hergeleitet.
Informationen zum BildFigur 3: verzerrter Kreis an Parabel

In eine Parabel kann am Scheitelpunkt ein Kreis mit Radius r = 1/κ gelegt werden (blauer Kreis in Figur 3), der an diesem Punkt dieselbe Krümmung κ wie die Parabel hat. Wir wollen einen verzerrten Kreis am Punkt (/P/ = (x_0, y(x_0)) (grüner Punkt) so anbringen, dass die Figur an dieser Stelle dieselbe Breite und Höhe wie der blaue Kreis und dieselbe Krümmung wie die Parabel hat (rote Kurve).

Die blaue Parabel hat folgende Formel:

(1)

Parabel

Der blaue Kreis im Scheitelpunkt hat die Formel:

(2)
mit

Transformation

Für die Berechnung der roten Kurve in Figur 3 mache ich folgende Überlegung: Zunächst verwende ich eine Hilfsparabel, weil sich zeigt, dass die Form der roten Kurve vom Abstand b der Parabel zur X-Achse abhängt. Um diese Abhängigkeit zu eliminieren, leite ich die Transformtion an einer Hilfsparabel her. Die Abhängigkeit der Form des verzerrten Kreises kann ich dann unabhängig von b mit dem Parameter q in der Transformationsformel beobachten.

Die Hilfsparabel p(x) hat die Formel:

(3)

Hilfsparabel

mit

Die Hilfsparabel hat dieselbe Form wie die originale Parabel, ist jedoch wegen ap = |a| immer gegen oben offen und der Abstand von der X-Achse ist q statt b und damit immer positiv.

Die Umrechnung von der Hilfsparabel zurück zur ursprünglichen Parabel ist dann:

(4)

p(x) y(x)

wobei'
' =' 'Vorzeichen von a

Wenn ich die Hilfsparabel p(x) mitsamt blauem Kreis an den Punkt P = ( x0 , p( x0 ) ) verschiebe, bekomme ich eine neue Parabelfunktion g(x) und Kreisfunktion cg(x). Für eine Verschiebung in X-Richtung muss ich einfach x in der Formel (3) durch (xx0) ersetzen. Für die Verschiebung in Y-Richtung muss ich zur Formel p(x0) − q addieren:

(5)

Zu P verschobene Hilfsparabel

Dasselbe passiert mit dem Kreis beim Scheitelpunkt der Hilfparabel (2):

(6)
mit

Damit habe ich eine neue Parabel g(x) mit Kreis cg(x), welche ihren Scheitelpunkt beim Punkt P hat.

Die Idee ist nun folgende: Wenn ich die Parabelfunktion g(x) transformiere, indem ich durch g(x) dividiere und mit p(x) multipliziere, erhalte ich die ursprüngliche Parabel p(x). Diese Transformation kann ich dann auch auf den Kreis cg(x) anwenden.

(7)

Transformation

Mit dieser Transformation wird die an den Punkt P verschobene Parabel g(x) in die Parabel p(x) verzerrt. Wenn ich dieselbe Transformation auf den verschobenen Kreis cg(x) anwende, wird dieser so verzerrt, dass seine Ableitungen am Punkt P dieselben sind, wie die der Parabel p(x).

(8)

Damit liegt der verzerrte Kreis ct(x) beim Punkt P perfekt an der Hilfsparabel p(x) und hat dort dieselbe Krümmung wie die Parabel. Die Breite des verzerrten Kreises ist wie gefordert 2r und seine Höhe bei x0 ist ebenfalls 2r.

Um schliesslich den verzerrten Kreis anstatt an die Hilfparabel p(x) an die Original-Parabel y(x) zu verschieben, muss ich zusätzlich noch die Transformation wie bei (4) beschrieben machen:

(9)
mit
wobei'
' =' 'Verzerrter Kreis an Parabel y(x)
' =' 'Vorzeichen von a
' =' 'Transformationsfunktion (7)
' =' 'Unverzerrter Kreis beim Punkt P der Hilfsparabel p(x), siehe (6)
' =' 'Parameter, der die Form des verzerrten Kreises modifiziert
' =' 'Radius des unverzerrten Kreises

Animation der Transformation

Wenn der erste Regler auf 0 steht, sieht man, wie die blaue Parabel mit dem blauen Kreis an den Punkt P (grüner Marker) verschoben ist (grüne Parabel). Durch Verschieben des ersten Reglers kann man die Transformation aktivieren. Wenn der Regler ganz rechts steht, wird die volle Transformation t(x) angewandt.

Mit dem Regler log(q) kann der Parameter q zwischen 0,1 und 1000 eingestellt werden. Je grösser der Wert q, desto mehr wird der verzerrte Kreis eine Ellipse.

Beachte, wie die rote Kurve sich immer optimal an die blaue Parabel anschmiegt, wenn der erste Regler auf 1 steht. Wie man durch Ändern des q Parameters sieht, gibt es unendlich viele rote Kurven, welche die gewünschten Eigenschaften aufweisen: gleiche Krümmung und gleiche Steigung am Berührungspunkt mit der Parabel, gleiche Breite wie der blaue Kreis und beim Berührungspunkt gleiche Höhe wie der blaue Kreis. Am Scheitelpunkt ist die rote Kurve identisch mit dem blauen Kreis!

Auf der nächsten Seite berechne ich die Transformation für den Parameter q , bei welchem die rote Kurve zu einer Ellipse wird.

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Erzeugt Mittwoch, 29. Juli 2015
von wabis
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Geändert Sonntag, 21. August 2016
von wabis