In diesem Artikel kann dieser Effekt mit einem Rechenformular berechnet werden. Die Berechnung wird anhand eines realen Fluges überprüft. Zudem werden alle verwendeten Formeln aufgelistet und erklärt.
English Version: Centrifugal and Gravitational Acceleration in an Aircraft
Siehe Legende für eine Beschreibung der Felder. Setze GS = 0 um das Gewicht der Testmasse für einen bestimmten fixen Ort zu berechnen. Wenn GS = 0 ist, wird die Zentrifugalbeschleunigung für ein sich auf dem Boden befindliches Flugzeug berechnet! Setze Lat und Alt um die Position des fixen Ortes zu spezifizieren. Das Resultat dieser Berechnungen wird in der rechten Spalte angezeigt.
JavaScript zum Rechenformular: Zentrifugal- und Gravitationsbeschleunigung in einem Flugzeug
In den folgenden Videos wiegt Wolfie (ein Pilot) ein Prüfgewicht an verschiedenen Orten auf der Erde und in Flugzeugen, welche in unterschiedliche Richtungen flogen. Das Prüfgewicht gewann oder verlor Gewicht wie die Berechnungen auf dieser Seite voraussagen:
Real evidence that aircraft follow the Earth's curvature.
The Eötvös effect observed in aircraft - how does it affect Gravity?
by wolfie6020; april 2017
Die folgende Tabelle gibt einen Vergleich der Grössenordnungen der unterschiedlichsten Einflüsse auf die Schwerebeschleunigung. Die ersten 5 Einflussgrössen werden in den obigen Berechnungen berücksichtigt.
Wert in m/s2 | Wert / 9,806 | Einfluss-Grösse |
---|---|---|
9,806 | 100 % | Gravitation: Durchschnittliche Schwerebeschleunigung auf der Erde |
0,099 | 1 % | Flugzeug: Zentrifugalbeschleunigung in einem Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von ca. 500 kt mit starkem Rückenwind von ca. 100 kt, Flugrichtung Osten am Äquator auf Flughöhe 12,5 km |
0,034 | 0,35 % | Zentrifugalbeschleunigung: Anteil der Zentrifugalbeschleunigung an der Schwerebeschleunigung am Äquator aufgrund der Erdrotation |
0,026 | 0,264 % | Breitengrad: Maximale Abweichung von der mittleren Schwerebeschleunigung abhängig vom Breitengrad: plus an den Polen, minus am Äquator |
0,003 | 0,03 % | Höhe über Meer: Reduktion der Gravitation pro 1 000 m Höhe |
0,002 | 0,020 4 % | Geoid: Maximale Geoid-Variationen |
0,001 | 0,010 2 % | Bereich der maximalen Geoid-Variationen in Geoid-Karten [1] |
0,000 5 | 0,005 0 % | Bereich der Geoid-Variationen an den meisten Orten der Erde +30 mGal entspricht −100 m = −330 ft Höhe. 100 mGal = 0,001 m/s2. |
0,000 14 | 0,001 4 % | Luftdichte: Scheinbare Erhöhung der Gravitation pro 1 000 m Höhe aufgrund der Abnahme der Luftdichte (Auftrieb) für ein Eisengewicht mit einer Dichte von 7 874 kg/m3 |
0,000 062 | 0,000 63 % | Coriolis: Maximaler Einfluss des Corriolis-Effektes am Pol mit einer Fluggeschwindigkeit von 480 kt, sofern das Flugzeug einem Grosskreis bezüglich Erdoberfläche folgt. Am Äquator ist der Einfluss 0 [2]. |
0,000 001 63 | 0,000 016 6 % | Sonne+Mond: Maximaler Einfluss von Sonne und Mond kombiniert [3] |
0,000 001 13 | 0,000 011 5 % | Mond: Maximaler Einfluss der Gravitation des Mondes |
0,000 000 50 | 0,000 005 1 % | Sonne: Maximaler Einfluss der Sonne |
[1] Weltkarte mit den Geoid-Variation in der Gravitation (PDF)
Die Berechnungen gehen von einem Ellispoid aus. Die wirkliche Form der Erde variiert von Ort zu Ort. Daher variiert auch die Gravitation entsprechend. Die Variation ist aber an den meissten Orten der Erde kleiner als ±0,01% der Gravitation.
Wenn die Abweichung der Gravitation des Geoids gegenüber dem Ellipsoid bekannt ist, kann man diese im Rechenformular berücksichtigen, indem man bei Alt einen Korrekturwert addiert: +30 mGal → −100 m = −330 ft
[2] Einfluss des Coriolis-Effektes:
(1) | ||||||||||||||||||||||
wobei' |
|
Hinweis: der Coriolis-Effekt erhöht die Gravitation leicht. Er wirk eigentlich horizontal (cH), bewirkt aber zusammen mit der Schwerebeschleunigung eine leichte Abweichung derelben und eine minimale Erhöhung um c.
[3] Einfluss der Gravitation von Mond und Sonne
In den Berechnungen ist der Einfluss der Gezeiten vernachlässigbar. Der Einfluss des Auftriebs der Atmosphäre und der Coriolis-Effekt ist sehr klein und kann ebenfalls vernachlässigt werden.
Reset setzt alle Werte auf die Startwerte zurück. Um nur ein bestimmtes Feld auf den Startwert zurückzusetzen, setzt man den Cursor in das Feld und drückt die ESC-Taste. Clear setzt alle Felder auf 0.
GS: Geschwindigkeit des Flugzeugs gegenüber der Erdoberfläche (Ground Speed).
Lat: Breitengrad der Flugzeugposition. Der Äquator ist 0, der Norpol 90 und der Südpol -90 Grad.
Latcal: Breitengrad, an dem die Waage mit der Testmasse Wcal kalibriert worden ist.
Wcal: Gewicht der Testmasse.
Course: Steuerkurs in Grad Nord. Richtung Norden ist 0, Osten ist 90, Süden 180 und Westen 270 Grad.
Alt: Flughöhe des Flugzeugs über Meer.
Altcal: Höhe über Meer, auf der die Waage mit der Testmasse Wcal kalibriert worden ist.
Model: Die Erde ist keine perfekte Kugel und kann durch ein Ellipsoid angenähert werden. Model legt fest, nach welchem Modell die Berechnungen vorgenommen werden. Bei Sphere wird der Durchschnittliche Radius der Erde verwendet, siehe (2)
grel: Relative Schwerebeschleunigung. Das ist die Schwerebeschleunigung gh im Flugzeug bezogen auf die Schwerebeschleunigung go auf der Erde, siehe (23). Steht das Flugzeug auf dem Flugplatz, ist grel = 1. Werte kleiner als 1 bedeuten, dass man aufgrund der Zentrifugalbeschleunigung im Flugzeug entsprechend leichter ist als auf der Erde.
Wo: Auf der Waage angezeigtes Gewicht der Testmasse bei der Position des Flugzeugs auf Meereshöhe.
go: Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche, siehe (5). Dies entspricht dem Betrag der vektoriellen Summe aus Gravitations-Beschleunigung goG und Zentrifugal-Beschleunigung aoZ.
goG: Gravitations-Beschleunigung auf der Erdoberfläche, siehe (9). Abhängig von der Masse M der Erde und dem Abstand R vom Massenzentrum.
aoZ: Zentrifugal-Beschleunigung auf der Erdoberfläche, siehe (7). Diese ist abhängig von der Rotationsgeschwindigkeit bzw. Rotationsdauer T und dem wirksamen Radius für den Breitengrad Lat. Der wirksame Radius ist der senkrechte Abstand des Punktes P von der Erdachse. An den Polen ist dieser Radius 0, am Äquator ist er gleich dem Erdradius R.
R: Radius der Erde am Breitengrad Lat. Dies ist der Abstand des Punktes P vom Erdmittelpunkt, siehe (3). Beim Kugel-Modell ist dieser Radius überall gleich gross.
ρ1: Radius der roten Schnittellipse am Punkt P, also der Geodäten in Ost/West Richtung, siehe (41).
veq: Tangentialgeschwindigkeit am Äquator, veq = ω · R. Ist abhängig von der Rotationsgeschwindigkeit ω bzw. Rotationsdauer T und dem Radius R am Äquator, siehe (2).
go,cal: Schwerebeschleunigung am Ort, wo die Waage kalibriert worden ist, also beim Breitengrad Latcal auf der Höhe Altcal.
Wh: Auf der Waage angezeigtes Gewicht der Testmasse im Flugzeug auf Reiseflughöhe Alt.
gh: Schwerebeschleunigung im Flugzeug, siehe (11). Dies ist die vektorielle Summe aus Gravitations-Beschleunigung ghG und Zentrifugal-Beschleunigung ahZ im Flugzeug.
ghG: Gravitations-Beschleunigung im Flugzeug, siehe (17). Abhängig von der Masse M der Erde und dem Abstand vom Massenzentrum, also dem Erdradius beim Breitengrad Lat plus der Flughöhe Alt.
ahZ: Zentrifugal-Beschleundigung im Flugzeug, siehe (21). Diese ist abhängig von der tangentialen Geschwindigkeit v auf der Geodäten bezüglich dem Weltraumhintergrund in Flughöhe Alt und dem Radius ρh der Geodäten an der Position des Flugzeugs.
ρh: Radius der Geodäten, siehe (25). Beim Kugel-Modell ist dies der Erdradius R plus die Flughöhe Alt. Beim Ellipsoid-Modell ist ρh zudem abhängig von der Flugrichtung Course und ist ein Wert zwischen ρ1 und ρ2 plus der Flughöhe Alt, siehe (24).
ρ2: Radius der blauen Schnittellipse am Punkt P, also der Geodäten in Nord/Süd Richtung, siehe (27).
vrot: Tangentialgeschwindigkeit des Punktes Ph aufgrund der Erdrotation, siehe (16). Ist abhängig vom Breitengrad Lat und der Flughöhe Alt.
v: Kombinierte Geschwindigkeit des Flugzeugs und der Erdrotation am Breitengrad Lat, siehe (13). Dies ist die tangentiale Geschwindigkeit auf der Geodäten gegenüber einer nicht rotierenden Erde. Diese Geschwindigkeit bestimmt zusammen mit dem Radius ρh der Geodäten die Zentrifugal-Beschleunigung ahZ im Flugzeug.
Die vorgegebenen Werte im Formular stammen aus einem Flug mit einem Bombardier Global Express. Das Flugzeug hatte ca. 100 kt Rückenwind und flog mit einer Geschwindigkeit von ca. 500 kt True Airspeed (TAS) Richtung Osten (kt oder kn = Konten = nautische Meilen pro Stunde). Die für die Zentrifugalbeschleunigung relevante Geschwindigkeit setzt sich zusammen aus der Tangentialgeschwindigkeit aufgrund der Erdrotation vrot beim Breitengrad −35° und der Fluggeschwindigkeit gegenüber der Erdoberfläche von 600 kt (True Airspeed TAS + Rückenwind), siehe (13).
Selbst unter diesen extremen Bedingungen ist die Zentrifugalbeschleunigung ahZ so gering, dass sie auf dem Display für
Das bedeutet konkret, dass ein Mann, der auf der Erdoberfläche an dieser Position ein Gewicht von 100 kg hat, im Flugzeug "nur" noch 99 kg wiegt.
Weil das Flugzeug Richtung Osten fliegt, also mit der Erdrotation, addieren sich die Rotation und Fluggeschwindigkeit und es resultiert eine maximale Zentrifugalbeschleunigung, welche den Mann leichter macht.
Wenn das Flugzeug in Richtung Westen fliegt, also entgegen der Erdrotation, heben sich die beiden Geschwindigkeiten teilweise auf und der Mann wiegt dann im Flugzeug etwa gleich viel wie am Boden oder an den Polen. Überprüfe das, indem du 270 bei Course eingibst.
Dieser Effekt ist tatsächlich messbar: siehe Experimente mit einer Testmasse.
In den folgenden Abschnitten werden alle im Rechenformular verwendeten Formeln hergeleitet und aufgeführt:
Die Erde ist keine perfekte Kugel. Sie ist an den Polen leicht abgeflacht und der Durchmesser am Äquator ist um 42,8 km grösser als an den Polen. Die Gravitation an der Oberfläche ist zudem nicht gleichmässig, sondern variiert durch die Massenverteilung an der Oberfläche und im Inneren der Erde.
Für die Berechnungen auf dieser Seite verwende ich ein Referenzellipsoid. Das ist eine Rotationsellipse mit der Erdachse als Rotationsachse und Mittelpunkt im Erdmittelpunkt. Dises Ellipsoid hat die folgenden Parameter [1]:
(2) |
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grosser Radius am Äquator | |||||||||
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kleiner Radius an den Polen | ||||||||||
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Durchschnittlicher Radius der Kugelerde | ||||||||||
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Schwerebeschleunigung am Äquator | ||||||||||
|
Schwerebeschleunigung an den Polen | ||||||||||
|
Geozentrische Gravitationskonstante | ||||||||||
|
Rotationsdauer bezüglich Weltraum (siderischer Tag) [2] | ||||||||||
|
Winkelgeschwindigkeit | ||||||||||
wobei' |
|
Das Produkt G·M kann genauer bestimmt werden als die Einzelfaktoren [3].
Um die Beschleunigungen an einer bestimmten Stelle P des Referenzellipsoids zu berechnen, müssen wir die Position des Breitengrades φ berechnen. Entlang des Breitengrades durch diese Position sind die Absolutwerte der Beschleunigungen konstant.
Die folgende Formel kann zum Berechnen eines Punktes P auf der Oberfläche der Erde mit h = 0 oder zum Berechnen eines Punktes Ph, der im Abstand h von diesem Punkt über der Oberfläche liegt, verwendet werden [4]. Die Verbindungslinie dieser beiden Punkte steht senkrecht auf dem Ellipsoid.
(3) |
| ||||||||||||||||||
(4) |
| ||||||||||||||||||
mit | |||||||||||||||||||
und | |||||||||||||||||||
wobei' |
|
Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt im Zentrum des Ellipsoids.
In den Geowissenschaften ist die Schwerebeschleunigung eines Himmelskörpers zusammengesetzt aus dessen Gravitationsbeschleunigung (Erdanziehung) und der Zentrifugalbeschleunigung in dem Bezugssystem, das mit dem Körper rotiert [5] [6].
Die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche
Die Erde ist wegen ihrer Rotation an den Polen leicht abgeflacht. Sie hat die Form eines Rotations-Ellipsoids. Für ein solches Ellipsoid kann nach WGS84 die Schwerebeschleunigung wiefolgt berechnet werden [1]:
(5) |
| ||||||||||||||||||
wobei' |
|
Die Schwerebeschleunigung wirkt senkrecht zur Oberfläche des Ellipsoids am Punkt P. Sie kann in Vektorform wiefolgt angegeben werden:
(6) |
|
Die Zentrifugalbeschleunigung auf der Erdoberfläche aoZ wirkt senkrecht zur Rotationsachse, ist vom Breitengrad φ abhängig und wirkt immer nach aussen, d.h. seine Z-Komponente ist 0. Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung ist daher gleich ihrer X-Komponente.
(7) |
| ||||||||||||
wobei' |
|
Die Winkelgeschwindigkeit ω gibt an, wie schnell sich die Erde um ihre Achse dreht. Sie kann aus der siderischen Rotationsdauer T wiefolgt berechnet werden:
(8) |
Der siderische Tag ist die Dauer einer vollen Umdrehung der Erde um sich selbst gegenüber dem festen Sternhimmel. Der mittlere siderische Tag auf der Erde ist knapp 4 Minuten kürzer als der Sonnentag von 24 Stunden [7].
Die Gravitationsbeschleunigung am Punkt P können wir vektoriell bestimmen:
(9) |
| ||||||||||||
(10) |
| ||||||||||||
wobei' |
|
Flugzeuge fliegen die kürzest mögliche Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche. Eine solche Verbindungslinie nennt man Geodäte. Auf einer Kugel liegt jede Geodäte auf einem Grosskreis.
Wird die Erde durch ein Ellipsoid angenähert, bilden Geodäten im Allgemeinen keine geschlossenen Kurven, siehe Bild. Um die Berechnungen auf dieser Seite zu vereinfachen, nähere ich die Geodäten durch Schnittebenen durch das Ellipsoid an. Dies sind Ellipsen, die durch den Punkt P verlaufen und die Senkrechte im Punkt P enthalten. Diese Ellipsen bilden einen bestimmten Winkel α zum Längengrad durch P. Für diese Ellipsen lässt sich dann der für die Zentrifugalbeschleunigung relevante Krümmungsradius ρ im Punkt P berechnen.
Die Schwerebeschleunigung im Flugzeug setzt sich zusammen aus Gravitations- und Zentrifugalbeschleunigung. Dabei ist folgendes zu beachten:
Die Zentrifugalbeschleunigung im Flugzeug wirkt nicht senkrecht zur Rotationsachse der Erde, sondern senkrecht von der Oberfläche des Ellipsoids nach oben, weil sich das Flugzeug bezüglich einem nicht rotierenden Ellipsoid auf einer Geodäten (blau) bewegt. Diese hat eine andere Krümmung ρ als der Längen- oder Breitengrad des Ellipsoid am Punkt P und das Zentrum des Krümmungskreises der Geodäte liegt nicht auf der Rotationsachse der Erde, sondern auf der violetten Achse mit Winkel φ im Bild.
Das Inertial Reference System (Trägheitsnavigationssystem) misst die Beschleunigungen in 3 voneinander unabhängigen Achsen. Die Z-Richtung zeigt züglich Flugzeug nach oben. Im Reiseflug sind alle Kräfte am Flugzeug im Gleichgewicht, sodass die Schwerebeschleunigung in die negative Richtung der Z-Achse zeigt.
Die Schwerebeschleunigung erhält man durch vektorielle Addition der Gravitations- und Zentrifugalbeschleunigung:
(11) |
| ||||||||||||
(12) |
| ||||||||||||
wobei' |
|
Um die Beschleunigungen im Flugzeug zu berechnen, müssen wir seine Position Ph aus dem Breitengrad φ und der Höhe h über Meer berechnen.
Die Position Ph des Flugzeugs kann mit der Formel (3) berechnet werden.
Zur Berechnung der Zentrifugalbeschleunigung ahZ im Flugzeug benötigen wir seine absolute Geschwindigkeit v auf der Geodäten. Dies ist die Geschwindigkeit bezüglich einem nicht rotierenden Ellipsoid. Sie setzt sich vektoriell zusammen aus der Tangentialgeschwindigkeit vrot des Punktes Ph aufgrund der Erdrotation und der Geschwindigkeit vgs und Richtung α des Flugzeugs bezüglich der Oberfläche (Ground Speed).
Für die Berechnungen wird im Punkt P bzw. Ph ein flaches 2-dimensionales Koordinatensystem verwendet, bei dem die Y-Koordinate in Richtung Norden weist und die X-Koordinate entlang des Breitengrades in Richtung Osten.
(13) |
| |||||||||
(14) |
| |||||||||
wobei' |
|
Die Fluggeschwindigkeit vrel in Flughöhe ist wegen der Erdkrümmung etwas höher als die Ground Speed vgs.
(15) |
| |||||||||||||||
wobei' |
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Die tangentiale Geschwindigkeit des Punktes Ph hat nur eine Komponente in X-Richtung und ist abhängig vom Breitengrad φ:
(16) |
| ||||||||||||
wobei' |
|
Die Flugbahn ist eine Geodäte welche auf einem erweiterten Ellipsoid liegt, welches zum Ellipsoid der Erdoberfläche überall den lokal senkrechten Abstand h hat. Die Position Ph wird mit Formel (3) berechnet, indem für h die Flughöhe Alt eingesetzt wird.
Zur Berechnung der Schwerebeschleunigung am Punkt Ph im Abstand h vom Referenz-Ellipsoid gibt es eine Formel nach WGS84. Die entsprechende Beschleunigung wirkt senkrecht zur Oberfläche des Ellipsoids und setzt sich zusammen aus Gravitationsbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung.
Das Flugzeug ist jedoch nicht mit der Oberfläche verbunden und daher nicht der Zentrifugalbeschleunigung der Oberfläche ausgesetzt. Die Zentrifugalbeschleunigung im Flugzeug muss auf andere Weise bestimmt werden.
Die Gravitationsbeschleunigung
(17) |
| |||||||||
wobei' |
|
Die Schwerebeschleunigung nach WGS84 für die Höhe h kann wiefolgt berechnet werden [1]:
(18) |
| ||||||||||||||||||
mit | |||||||||||||||||||
und | |||||||||||||||||||
wobei' |
|
Die Schwerebeschleunigung nach WGS84 wirkt senkrecht zur Oberfläche des Ellipsoids. Ihre Vektordarstellung ist daher:
(19) |
Die Zentrifugalbeschleunigung aufgrund der Erdrotation im Punkt Ph ist:
(20) |
| ||||||||||||
wobei' |
|
Im Gegensatz zur Zentrifugalbeschleunigung der Erdoberfläche wirkt die Zentrifugalbeschleunigung im Flugzeug von der Geodätenkrümmung weg, also senkrecht zur Oberfläche des Ellipsoids im Punkt Ph. Ihr Betrag kann aus der absoluten Geschwindigkeit des Flugzeugs v auf seiner nicht mit der Erde rotierenden Flugbahn und dem Krümmungsradius ρh der Geodäten in Flughöhe h berechnet werden.
(21) |
| |||||||||||||||
wobei' |
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Der Kurs
(22) |
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wobei' |
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Wenn
Auf der G-Anzeige im Flugzeug wird die Z-Komponente der Schwerebeschleunigung im Flugzeug in Bezug auf die Schwerebeschleunigung
(23) |
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wobei' |
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Wenn das Flugzeug am Boden steht, sind
Hinweis: Es ist möglich, dass im Flugzeug die durchschnittliche Schwerebeschleunigung go = 9,806 65 m/s2 als Referenz verwendet wird anstelle der oben berechneten genauen Beschleunigung am Punkt P.
Um die Zentrifugalbeschleunigung ahZ (21) im Flugzeug auf seiner Flugbahn um die Erde berechnen zu können, benötigen wir den Krümmungsradius ρh der Flugbahn am Punkt Ph. Den Krümmungsradius erhalten wir, indem wir den Krümmungsradius ρ der Geodäten auf dem Erd-Ellipsoid berechnen und h addieren.
Die Berechnung von ρ erfolgt über die grün schraffierte Schnittellipse. Die Rotationsachse der grünen Schnittellipse ist die Verbindungslinie PQ und sie ist um den Winkel γ bezüglich dem Längengrad gedreht. Diese Rotationsachse ist i.A. nicht identisch mit der Hauptachse der Ellipse!
Ich habe keine Formeln zur Berechnung der grünen Schnittellipse gefunden. Ich kann aber den Krümmungsradius ρ abschätzen (vielleicht ist die hier gezeigte Formel sogar korrekt), indem ich den maximalen Krümmungsradius ρ1 der roten Schnittellipse und den minimalen Krümmungsradius ρ2 der blauen Schnittellipse berechne und dann über den Winkel γ mit einer Cosinus-Funktion interpoliere. Der Radius ρ liegt abhängig von γ zwischen dem minimalen und maximalen Radius:
(24) |
| |||||||||||||||
(25) |
| |||||||||||||||
wobei' |
|
Beachte, dass bei der Umrechnung der Groundspeed auf die Geschwindigkeit in Flughöhe (15) die Geodäte im mit der Erde rotierenden Koordinatensystem verwendet werden muss. Diese Geodäte entspricht der Schnittellipse, die um den Winkel γ = α gedreht, wobei α die Flugrichtung (Azimut) bezüglich der rotierenden Erde ist.
Für die Zentrifugalbeschleunigung ahZ muss die Geodäte im nicht rotierenden Koordinatensystem beschrieben werden, da das Flugzeug von der Erde losgelöst ist. Der Rotationswinkel γ für die entsprechende Schnittellipse kann über die absolute Geschwindigkeit berechnet werden, siehe (22).
Für die Berechnung der Krümmungsradien ρ1 und ρ2 benötige ich die Hauptachsen der roten und blauen Ellipse.
Die blaue Ellipse ist der Nord-Süd-Schnitt durch das Ellipsoid. Die beiden Halb-Achsen entsprechen somit dem maximalen und minimalen Erdradius:
(26) |
Der kleinere Krümmungsradius ρ2 am Punkt P kann mit den Daten der blauen Ellipse (siehe Bild unter Berechnung des Geodätenradius) wiefolgt berechnet werden [8]:
(27) |
| |||||||||||||||
wobei' |
|
Um die Radien der roten Schnittellipse (siehe Bild unter Berechnung des Geodätenradius) zu erhalten, müssen wir den Schnittpunkt Q der Geraden PQ mit der blauen Schnittellpse berechnen. Dazu stellen wir die Ellipsengleichung und die Geradengleichung auf:
(28) |
Ellipsengleichung | |
(29) |
Geradengleichung | |
mit |
Die Schnittpunkte der Ellipse mit der Geraden erhält man, indem man die Geradengleichung in der Ellipsengleichung einsetzt.
(30) |
Ausmultiplizieren und sortieren der Terme nach λ ergibt eine quadratische Gleichung für λ:
(31) |
Eine der beiden Lösungen kennen wir bereits: es ist der Punkt P, bei dem λ = 0 ist. Durch Einsetzen von λ = 0 in (31) erhalten wir:
(32) |
Da P auf der Ellipse liegt, stimmt diese Gleichung. Weil der letzte Term 0 ist, fällt er in (31) weg. Wir können die verbliebene Gleichung auf beiden Seiten durch λ dividieren, weil λ für den Punkt Q nicht 0 ist. Damit erhalten wir eine lineare Gleichung für λ:
(33) |
Jetzt können wir einfach nach λ auflösen:
(34) |
| ||||||||||||
mit | |||||||||||||
wobei' |
|
Wenn wir dieses λ in die Geradengleichung (29) einsetzen, erhalten wird den Punkt Q = (x, z):
(35) |
In (29) haben wir
(36) |
| ||||||
wobei' |
|
Zur weiteren Berechnung brauchen wir noch die Koordinaten des Mittelpunktes der roten Ellispse O:
(37) |
Zur Berechnung der Hauptachse aS der roten Ellipse verwende ich folgenden Trick: Wenn das Ellipsoid samt roter Ellipse in Z-Richtung so gedehnt wird, dass das Ellipsoid eine Kugel mit Radius a wird und die rote Ellipse zum rot gestrichelten Kreis wird, dann ändert sich die Geometrie in der Breite nicht. Der Hauptradius aS der roten Ellipse ist somit auf dem Ellipsoid gleich gross wie auf der Kugel. Auf der Kugel kann der Hauptradius einfach berechnet werden.
Um eine Kugel zu erhalten, müssen alle Koordinaten in Z-Richtung mit dem Faktor a / b multipliziert werden. Die Hauptachse aS der roten Ellipse geht durch den Punkt O. Daher müssen wir die Koordinaten von O entsprechend dehnen:
(38) |
Als nächstes brauchen wir den Abstand m zwischen
(39) |
Den gesuchten Hauptradius der roten Ellipse erhalten wir nun über Pythagoras:
(40) |
| |||||||||
wobei' |
|
Der gesuchte Krümmungsradius der roten Ellispe (siehe Bild unter Berechnung des Geodätenradius) liegt beim Scheitelpunkt der Nebenachse und kann daher wiefolgt berechnet werden [8]:
(41) |
| |||||||||
wobei' |
|
Dies ist kein Kommentar zu dem hier ausgearbeiteten Thema sondern eine Respekts-Bekundung ganz generell:
Ich habe selten eine private Homepage gesehen, die derart mit interessanten Informationen vollgestopft ist, wie die von Walter Bislins! Die Themen-Bandbreite ist schier unfassbar: Das geht's los mit-Script-Programmierung, weiter mit handfesten Programmen, mathematischen Grundlagen, Physik, Flugzeugtechnik, Fotographie, Bildbearbeitung, Musik, uvm. - man ist stundenlang mit dem Lesen der Seiten beschäftigt und hat doch erst einen Bruchteil erfasst! Es ist kaum zu glauben, das dies alles eine einzelne Person realisiert hat.
Lieber Walter Bislins! Lass Dich von Deinen Panik-Attacken und Angstzuständen nicht klein kriegen: Ich denke, dass ein Mensch mit so vielen parallelen Interessen zwangsläufig mit einer ständigen, latenten Angst vor Kontrollverlust leben muss. Und sei versichert (ich weiß es von mir selbst): Das wird im Alter nicht besser. Um nicht völlig verrückt zu werden, muss man solche Ängste versuchen zu ignorieren und sich eingestehen, dass wir Menschen nur über eine relativ unvollkommene Denkmaschine verfügen, deren max. Leistungsfähigkeit schon nach ca. 20 Jahren Betriebszeit abnimmt. Das rastlose Bedürfnis, all sein Wissen Computern anzuvertrauen, resultiert vermutlich aus dieser Ur-Erkenntnis. Schlussendlich gibt es aber auch dort ein Problem: Wie dauerhaft sind solche Informationen auf Computern (z.B. niedergeschrieben in einer Homepage auf einem fremd-betriebenen Server)? Ich hoffe nur: lange, lange - was man von vielen Homepages leider nicht behaupten kann: Die Seiten von Herrn Bislins wären es m.E. wirklich wert, archiviert zu werden! Ansonsten: Bleib entspannt und mach' weiter so, Walter!!
Ich verfolge seit einiger Zeit gerade im englischsprachigen Bereich die "flat-earther" und ihre "Experimente" und "Beweise" in dieser Hinsicht.
Ich selbst bin zwar "nur" Erziehungswissenschaftler, kann aber trotzdem beurteilen, ob die Herangehensweise an eine Thematik korrekt und für jeden verständlich dargestellt wird. Deine Herangehensweise ist für jeden halbwegs mit normalem Menschenverstand ausgestatteten Menschen immer nachvollziehbar und klar auf den Punkt gebracht.
Es macht mit als Fachfremdem immer wieder Freude, Deine Gedankengänge nachzuvollziehen.
Diese Herangehensweise sollten sich die "Truther" auch einmal angewöhnen, dann gäbe es vermutlich innerhalb kürzester Zeit eine ganze Reihe weniger. Vielleicht ist das aber auch nur Wunschdenken, denn wie sagte schon Schiller: "Mit der Dummheit kämpfen Götter selbst vergebens"...
Ich bin überwältigt von diesem Beitrag.
Das ist mehr Info, als ich erwartet hatte.