Das Äquivalenzprinzip sagt: Beschleunigung und Gravitation ist dasselbe. Um dies zu studieren, eignet sich das Modell eines beschleunigten Liftes sehr gut.

Wir sind der aussen stehende Beobachter im blauen Koordinatensystem. Der Lift befindet sich in einem gravitationsfreien Raum und wird horizontal entlang der X-Achse beschleunigt. Die Zeit-Achse zeigt nach oben. Der Lift wird mit der Rate $g$ konstant beschleunigt.

Die Person im Lift hält einen roten Gegenstand. Was passiert, wenn die Person den Gegenstand loslässt? Nehmen wir an, der Lift befand sich zu diesem Zeitpunkt gerade im Stillstand.

Von uns aus betrachtet bleibt der rote Gegenstand an der aktuellen Position stehen, während sich der Lift nach rechts beschleunigt entfernt. Von der Person im Lift aus gesehen muss sich der Gegenstand also beschleunigt nach links (für die Person nach unten) bewegen und zwar genau mit der Beschleunigung $g$.

Die Person im Lift würde also sagen, im Lift herrscht ein Gravitationsfeld. Jeder Gegenstand, den die Person loslässt, fällt mit der Beschleunigung $g$ zu Boden. Auch die Person selbst wird diese Beschleunigung als ihr Gewicht spüren.

Dies sieht nach Gravitation aus, dies fühlt sich wie Gravitation an, dies IST Gravitation!

Gravitation ist dasselbe wie Beschleunigung!

Alle physikalischen Effekte in einem beschleunigten Lift im gravitationsfreien Raum sind absolut identisch mit den Effekten in einem stillstehenden Lift in einem Gravitationsfeld! Diese Aussage hat Albert Einstein zum ersten Mal gemacht.

Gleichförmig bewegtes Bezugssystem

Bevor wir gleichförmig beschleunigte Bezugssysteme studieren, betrachten wir zum Vergleich die Situation beim gleichförmig bewegten, unbeschleunigten Bezugssystem.

Die X-Achse zeigt im Bild nach rechts, die Zeit-Achse nach oben. Blau ist das Bezugssystem des ruhenden Beobachters, rot das bewegte System eingezeichnet. Der rote Kreis ist ein beliebiger Punkt in Raum und Zeit, der sich im blauen System nicht bewegt. Im Folgenden wird die Beziehung zwischen den beiden Systemen Blau und Rot untersucht.

Wenn die Geschwindigkeit $v$ zwischen den beiden Systemen viel kleiner als die Lichtgeschwindigeit $c$ ist, laufen die Uhren in beiden Systemen näherungsweise gleich schnell. Es gilt: $t' = t$. Aus der Grafik lässt sich folgende Beziehung ablesen (vergleiche auch mit (5)):

Dies ist die Koordinatentransformation zwischen den beiden Systemen. Daraus lässt sich die Beziehung von Geschwindigkeit und Beschleunigung zwischen den Systemen ableiten.

Wenn im ruhenden System (blau) ein Gegenstand still steht, ist seine X-Koordinate konstant: $x = {\rm const}$. Gesucht ist die Geschwindigkeit $\dot x'$ des Gegenstandes im bewegten System (rot). Diese erhält man, indem man $x'$ in (1) nach der Zeit ableitet:

Dieses Resultat leuchtet ein. Wenn ein Gegenstand bezüglich des ruhenden Systems still steht, dann sieht ein bewegter Beobachter dieses Objekt mit der Geschwindigkeit $-v$ an ihm vorbei ziehen.

Was lässt sich über die Beschleunigung des Gegenstandes bezüglich des bewegten Systems sagen? Diese erhält man durch nochmaliges Ableiten der Geschwindigkeit $\dot x'$ nach der Zeit:

Ein unbeschleunigtes Objekt sieht folglich von beiden Systemen aus unbeschleunigt aus. Es gilt generell:

Unbeschleunigte, also ruhende oder gleichförmig bewegte Objekte, sind in jedem beliebigen gleichförmig bewegten Bezugssystem unbeschleunigt!

Gleichförmig beschleunigtes Koordinatensystem

In diesem Abschnitt wird die Beziehung zwischen einem ruhenden (blau) und einem gleichmässig beschleunigten System (rot) untersucht. Punkte, die im beschleunigten System ruhen, zeichnen im ruhenden System Parabeln (rote Linien).

Die Bewegungsgleichung für einen beschleunigten Punkt ist:

Die Koordinatentransformation vom ruhenden zum beschleunigten System ist wiefolgt (vergleiche auch mit (1)):

Auch hier wird wieder angenommen, dass die Geschwindigkeit $v$ zwischen den Systemen weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit $c$ bleibt, damit $t' = t$ gilt.

Wie sieht der bewegte Beobachter einen im stehenden Bezugssystem ruhenden Gegenstand $x = {\rm const}$? Dazu leiten wir die Gleichung (5) zwei mal nach der Zeit ab und erhalten:

Wenn wir statt eines ruhenden Objektes $x = {\rm const}$ ein gleichförmig bewegtes Objekt $x = v\ t$ nehmen, erhalten wir dasselbe Resultat:

In einem mit $g$ beschleunigten System erfahren alle ruhenden oder gleichförmig bewegten Objekte die Beschleunigung $-g$.

Dies ist nicht anders in einem Gravitationsfeld zum Beispiel auf der Erde. Ein Labor in einem gleichmässigen Gravitationsfeld $g$ ist nicht zu unterscheiden von einem mit $g$ beschleunigten Labor im gravitationsfreien Raum! Dies ist das Äquivalenzprinzip.

Gravitation oder Beschleunigung?

Eine Person, die sich in einem gleichförmig beschleunigten Lift weit weg von jedem Gravitationsfeld befindet, wird nach dem Äquivalenzprinzip die identischen physikalischen Effekte feststellen, wie sie in einem Gravitationsfeld herrschen. Ein ruhender aussen stehender Betrachter würde jedoch sagen, es gibt hier keine Gravitation. Alle physikalischen Effekte im Lift sind mit der Beschleunigung des Liftes zu erklären.

Beschleunigung und Gravitation sind offenbar dasselbe.

Je nach verwendetem Koordinatensystem kann man die Effekte als Gravitation oder als Beschleunigung auffassen. Physikalisch gesehen ist das dasselbe, abgesehen von Gezeitenkräften natürlicher Gravitationsfelder.

Durch die Wahl von geeigneten beschleunigten Koordinatensystemen kann man somit Gravitation erzeugen oder aufheben. Natürliche Gravitationsfelder können so jedoch nicht vollständig aufgehoben werden, weil diese nicht homogen sind. Die Stärke nimmt mit dem Abstand zur Quelle ab und das Feld zeigt immer zu einem Massenzentrum. Ein solches Gravitationsfeld kann nicht durch ein beschleunigtes Bezugssystem global aufgehoben werden. Es kann nur in einem kleinen räumlichen und zeitlichen Bereich angenähert aufgehoben werden (frei fallender Lift). Es wirken jedoch immer mehr oder weniger stark die Gezeitenkräfte. Diese Gezeitenkräfte können also nicht durch eine Koordinatentransformation zum verschwinden gebracht werden, welche einer flachen Geometrie entsprechen würde.

Dies führt uns zum Konzept von Krümmung und gekrümmter Geometrie. Dazu müssen wir uns zunächst mit dem mathematischen Werkzeug, der Differentialgeometrie gekrümmter Räume und Tensoren beschäftigen.

Beschleunigung und Krümmung

Beim beschleunigten Bezugssystem kann man auch sagen, dass es einem gekrümmten Koordinatensystem folgt. Das beschleunigte System ruht nämlich im gekrümmten roten Koordinatensystem. Ein System, das einer solchen Krümmung folgt, erfährt eine Gravitation: alle Teile fallen entgegen der Richtung der Beschleunigung wie in einem Gravitationsfeld.

Dies führt uns zu einem Zusammenhang zwischen Krümmung und Gravitation.