WaBis

walter.bislins.ch

AR: Grundlagen der Tensor-Rechung

Mathematisch werden Berechnungen der Energiedichte und der zugehörigen Raumzeitkrümmung mit dem Werkzeug der Tensor-Analysis ausgeführt. Auf den folgenden Seiten wird in die Grundlagen der Tensor-Rechnung eingeführt.

Voraussetzung für das Verständnis der Differentialgeometrie und Mathematik gekrümmter Räume sind einige Kenntnisse der Differentialrechnung mit mehreren Variablen. Im Wesentlichen genügen partielle Ableitungen um die Grundgedanken gekrümmter Räume zu verstehen.

Tensor-Notationen

Ich verwende folgende Notationen in diesem Dokument:

Generell sind Tensoren keine Konstanten, sondern Funktionen des Ortes. Dies würde man wiefolgt schreiben:

\phi(\vec x), \quad \vec v(\vec x), \quad g_{mn}(\vec x), \quad \text{ usw.}

Da jedoch impliziert wird, dass Tensoren Funktionen des Ortes sind, lasse ich (\vec x) in der Regel weg.

Vektoren

\vec v = \mathbf{v} = (v^i) = ( v^1, v^2, ... ) \quad \text{ oder } \quad (v_i) = ( v_1, v_2, ... )

Tensoren

Tensoren haben einen Rang. Wenn im Text von einem Tensor die Rede ist, schreibe ich neben kursiven Buchstaben Dummy-Indizes hin, um den Rang anzuzeigen:

V^i, \quad T^{\,mn}, \quad g_{mn}

Eigentlich handelt es sich bei dieser Darstellung nicht um einen Tensor, sondern um Tensor-Komponenten. Dies muss in Formeln genauer unterschieden werden, da man nicht Tensoren und Tensor-Komponenten vermischen darf. Daher schreibe ich einen Tensor in einer Formel:

(V^i) = (V^1, V^2, ...)
( g_{ mn } ) = \pmatrix{ g_{ 11 } & g_{ 12 } \\ g_{ 21 } & g_{ 22 } }

Ob die Indizes oben oder unten stehen spielt bei der Tensor-Bezeichnung keine Rolle. Die Indizes lassen sich mit Index-Manipulation per Metrik-Tensor verschieben.

Koordinatensysteme

In der Literatur werden Hochkommas für transformierte Tensoren verwendet. In meiner Beschreibung kommen jedoch oft explizit die zwei Koordinatensysteme X und Y vor. Um Anzuzeigen, bezüglich welchem Koordinatensystem eine Tensor-Komponente gemessen wird, schreibe ich, wo hilfreich, das Koordinatensystem als grossen aufrechten Buchstaben in Klammern hinter den Tensor:

\phi(\mathrm{X}), \quad V^i(\mathrm{X}), \quad g_{mn}(\mathrm{Y}), \quad \text{ usw.}
Weitere Infos zur Seite
Erzeugt Freitag, 25. September 2009
von wabis
Zum Seitenanfang
Geändert Sonntag, 27. März 2016
von wabis