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Ableitung des Logarithmus

(1)

${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = {1 \over x}$

Herleitung

Ableitungen können als Grenzwertproblem betrachtet werden:

(2)	$f\,'(x) = {\mathrm d \over \mathrm d x} f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} { f(x + \Delta x) - f(x) \over \Delta x}$

Angewandt auf den natürlichen Logarithmus:

(3)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = \lim_{\Delta x \to 0} { \ln(\overbrace{x + \Delta x}^a) - \ln(\overbrace{x}^b) \over \Delta x}$

Hier können wir umformen, wenn wir folgende Regel anwenden:

(4)	$\log a - \log b = log( {a \over b} )$

Regel (4) angewandt auf (3) ergibt:

(5)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = \lim_{\Delta x \to 0} { \ln \left( {x + \Delta x \over x} \right) \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \underbrace{ 1 \over \Delta x}_a \ln \underbrace{ \left( 1 + { \Delta x \over x} \right) }_b$

Die folgende Regel ermöglicht eine weitere Umformung:

(6)	$a \cdot \log( b ) = \log( b^a )$

Regel (6) angewandt auf (5) ergibt:

(7)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \ln \left[ \left( 1 + { \Delta x \over x} \right) ^ {1 / \Delta x} \right]$

Ich mache folgende Substitutionen, indem ich $u = \Delta x / x$ einführe:

(8)	$u = { \Delta x \over x } \qquad\iff\qquad x \cdot u = \Delta x \qquad\iff\qquad { 1 \over \Delta x } = { 1 \over x \cdot u }$

Wenn $\Delta x$ gegen Null gehen soll, dann muss also auch $x \cdot u$ gegen Null gehen. $x \cdot u$ geht gegen Null, wenn $u$ gegen Null geht. Wir können also durch obige Substitutionen die Gleichung (7) folgendermassen umschreiben:

(9)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = \lim_{u \to 0} \ln \left[ \left( 1 + u \right) ^ {1 / x u} \right] = \lim_{u \to 0} \ln \left[ \left( (1 + u) ^ {1/u} \right) ^ {1/x} \right]$

Durch umgekehrtes Anwenden der Regel (6) können wir den Exponenten $1 / x$ vor den Logarithmus stellen:

(10)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = \lim_{u \to 0} {1 \over x} \ln \left[ (1 + u) ^ {1/u} \right]$

Der Term $1 / x$ hängt nicht von $u$ ab. Deshalb können wir den Limes in den Logarithmus hinein setzen:

(11)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = {1 \over x} \ln \left[ \lim_{u \to 0} (1 + u) ^ {1/u} \right]$

Betrachten wir den Ausdruck zwischen der eckigen Klammer genauer. Wenn wir $u$ durch $1/n$ ersezten erhalten wir folgenden Ausdruck (wenn $u \to 0$ , dann gilt $n \to \infty$ ):

(12)	$\lim_{u \to 0} (1 + u) ^ {1/u} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1\over n} \right)^n = e$

Dies ist nichts anderes als die Definition der Zahl $e$ ! Da der natürliche Logarithmus $\ln(e) = 1$ ist, können wir schliesslich schreiben:

(13)	${\mathrm d \over \mathrm d x} \ln(x) = {1 \over x}\cdot \underbrace{ \ln(e) }_1 = {1 \over x}$

Quelle

www.youtube.com - Proof: d/dx(ln x) = 1/x

Analysis

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Created	Sonntag, 18. Januar 2009

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Changed	Sonntag, 29. Juni 2014