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Beispiel: Teilchen entlang X-Achse

Wir wollen die Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen aufstellen, das sich nur entlang einer Achse bewegen kann, um die Bedeutung der Euler-Lagrange-Gleichung zu zeigen.

Die Lagrange-Funktion ist definiert als:

(1)

{\cal L} = T - V

wobei'
T ' =' 'kinetische Energie
V ' =' 'potentielle Energie

also ist:

(2)
{\cal L} = T - V = {1 \over 2}\,m\,\dot x^2 - V(x)

x entspricht den q's in der Euler-Lagrange-Gleichung. q_i ist einfach die generelle Form für beliebige Arten von Koordinaten, x wird üblicherweise verwendet, wenn man von rechtwinkligen Koordinatensystemen spricht.

Setzen wir das nun (2) in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:

(3)
{\mathrm d \over \mathrm d t}\ \underbrace{{\partial {\cal L} \over \partial \dot q_i}}_{(4)} \ = \ \underbrace{{\partial {\cal L} \over \partial q_i}}_{(5)}

Zunächst leiten wir \cal L aus (2) nach \dot q_i ab. In unserem Beispiel ist \dot q_i = \dot x:

(4)
{\partial {\cal L} \over \partial \dot x} = {\partial \over \partial \dot x}\,\left[{1 \over 2}\,m\,\dot x^2 - V(x)\right] = \, m\, \dot x = p

Da V(x) nicht von der Geschwindigkeit \dot x abhängig ist (sondern nur von der Position x), kommt dieser Term in obiger Formel nicht mehr vor.

Wir erhalten: Masse mal Geschwindigkeit. Dies ist nichts anderes als der Impuls p.

Jetzt leiten wir noch \cal L aus (2) nach x ab:

(5)
{\partial \mathcal L \over \partial x} = {\partial \over \partial x}\,\left[{1 \over 2}\,m\,\dot x^2 - V(x)\right] = - {\partial V(x) \over \partial x} = F(x)

Da der erste Term in der eckigen Klammer nicht von x abhängt, fällt er hier weg. Die Ableitung eines Feldes V(x) nach x ist aber gerade die Kraft -F(x), die das Feld auf das Teilchen ausübt.

Setzen wir (4) und (5) in der Euler-Lagrange-Gleichung (3) ein:

(6a)
{\mathrm d \over \mathrm d t} \ \underbrace{m\,\dot x}_{(4)} \ = \ \underbrace{- {\partial V(x) \over \partial x}}_{(5)}
(6b)
m\,\ddot x = - {\partial V(x) \over \partial x}\qquad {\rm weil}\qquad {\mathrm d \over \mathrm d t} \dot x = \ddot x = a
(6c)
m\,a = F(x)

Wir erhalten hier also die bekannte Newton-Formel F = m \cdot a aus der Euler-Lagrange-Gleichung!

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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Donnerstag, 11. September 2014
von wabis