Wir wollen die Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen aufstellen, das sich nur entlang einer Achse bewegen kann, um die Bedeutung der Euler-Lagrange-Gleichung zu zeigen.
Die Lagrange-Funktion ist definiert als:
(1) |
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wobei' |
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also ist:
(2) |
Setzen wir das nun (2) in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:
(3) |
Zunächst leiten wir
(4) |
Da
Wir erhalten: Masse mal Geschwindigkeit. Dies ist nichts anderes als der Impuls
Jetzt leiten wir noch
(5) |
Da der erste Term in der eckigen Klammer nicht von
Setzen wir (4) und (5) in der Euler-Lagrange-Gleichung (3) ein:
(6a) | |
(6b) | |
(6c) |
Wir erhalten hier also die bekannte Newton-Formel