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Beispiel: Teilchen entlang X-Achse

Wir wollen die Bewegungsgleichung für ein einzelnes Teilchen aufstellen, das sich nur entlang einer Achse bewegen kann, um die Bedeutung der Euler-Lagrange-Gleichung zu zeigen.

Die Lagrange-Funktion ist definiert als:

(1)

wobei'
' =' 'kinetische Energie
' =' 'potentielle Energie

also ist:

(2)

entspricht den 's in der Euler-Lagrange-Gleichung. ist einfach die generelle Form für beliebige Arten von Koordinaten, wird üblicherweise verwendet, wenn man von rechtwinkligen Koordinatensystemen spricht.

Setzen wir das nun (2) in die Euler-Lagrange-Gleichung ein:

(3)

Zunächst leiten wir aus (2) nach ab. In unserem Beispiel ist :

(4)

Da nicht von der Geschwindigkeit abhängig ist (sondern nur von der Position ), kommt dieser Term in obiger Formel nicht mehr vor.

Wir erhalten: Masse mal Geschwindigkeit. Dies ist nichts anderes als der Impuls .

Jetzt leiten wir noch aus (2) nach ab:

(5)

Da der erste Term in der eckigen Klammer nicht von abhängt, fällt er hier weg. Die Ableitung eines Feldes nach ist aber gerade die Kraft , die das Feld auf das Teilchen ausübt.

Setzen wir (4) und (5) in der Euler-Lagrange-Gleichung (3) ein:

(6a)
(6b)
(6c)

Wir erhalten hier also die bekannte Newton-Formel aus der Euler-Lagrange-Gleichung!

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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Donnerstag, 11. September 2014
von wabis