WaBis

walter.bislins.ch

Berechnung von Pi

Umfang und Fläche eines Kreises kann man berechnen, wenn man den Durchmesser oder den Radius des Kreises kennt:

 



U : Kreisumfang
A : Kreisfläche
d : Kreisdurchmesser
r : Kreiradius = d / 2

(gesprochen Pi) ist eine ganz seltsame Zahl: sie ist hinter dem Komma unendlich lange und wiederholt sich nie. 1997 hat man auf über 51 Milliarden Stellen nach dem Komma (51'539'600'000) genau berechnet. Man bräuchte 79 CD-ROM's, um diese Zahl abzuspeichern!

Wie kann man eine solche Zahl eigentlich ermitteln bzw. berechnen?

Dazu gibt es sehr verschiedene Möglichkeiten. Eine stelle ich hier vor, weitere können auf der folgenden hervorragenden Website erkundet werden:

Iterative Annäherung an Pi

Wenn wir den Umfang eines Kreises mit gegebenem Durchmesser kennen würden, könnten wir wiefolgt berechnen: = U / d. Wie erhalten wir den genauen Umfang eines Kreises mit Duchmesser d oder Radius r?

Meine Idee ist folgende: Der Umfang eines regelmässigen N-Ecks kann relativ leicht berechnet werden. Wenn das N-Eck sehr, sehr viele Ecken hat, sieht es aus wie ein Kreis. Je mehr Ecken das N-Eck hat, desto näher ist sein Umfang am idealen Kreisumfang. Ich starte hier mit einem N-Eck mit 4 Ecken, also einem Quadrat. Dann verdoppele ich die Anzahl Ecken bei jedem Schritt und berechne den zugehörigen Umfang des N-Ecks. Die Kantenlänge zwischen zwei Ecken kann jeweils aus der Kantenlänge des vorherigen N-Ecks alleine mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Du erinnerst dich: a2 + b2 = c2?

Nach Pythagoras ist s02 = r2 + r2 = 2 r2 oder

(I)   s0: Seitenlänge des Quadrates
s1: Seitenlänge des 8-Ecks
r : Radius des Umkreises
 

Wird das 8-Eck zu einem 16-Eck verdoppelt, kann eine Seite s2 des 16-Ecks mit derselben Formel aus der vorher berechneten Seite s1 berechnet werden usw. Es gilt also allgemein für die Seitenlänge si eines N-Ecks mit Umkreisradius r und N = 4 * 2i Ecken:

(II) Startwert (4-Eck = Quadrat):

ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser. Die i-te Annäherung an berechnet sich also aus N-Eck-Umfang = 4 * 2i * si, geteilt durch Umkreisdurchmesser = 2 * r:

(III) Anzahl Ecken = Anzahl Seiten = 4 * 2i
i = 0 : Quadrat

(II) kann noch umgeformt werden. Ziel ist, dass r heraus fällt, denn die Grösse eines N-Ecks sollte auf das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser keine Rolle spielen:

  (II) ausmultipliziert
  Zusammengefasst
  Umgeformt; und nun 2/r in die Wurzel
  kürzen, r2 ausklammern und beide Seiten durch r2 dividieren
(IV)  

Wenn wir in (III) und (IV) ersetzen, erhalten wir folgende einfachen Formeln:

(V)

Beachte: r kommt nicht mehr vor! Diese Formel gilt für beliebig grosse N-Ecke!

Zusammenfassung

i : Anzahl Teilungen des ursprünglichen Quadrates mit Seitenlänge s0.

i : N-Eck (Umfang / 2r) nach i Teilungen; Anzahl Ecken N = 4 * 2i = 2i + 2

 
Startwert:

qi wird iterativ aus qi-1 berechnet, mit q0 = 2

Programm

Hier ein Programm in JavaScript, welches Schritt für Schritt in einer Schleife annähert:

var q = 2; // Startwerte:
var n = 4; // Anzahl Ecken, Start mit 4-Eck
var i = 0; // Anzahl Teilungen
while (i < 16) {
  var pi = n / 2 * Math.sqrt(q);
  Out( i, n, q, pi );  // Ausgabe der Werte
  q = 2 - Math.sqrt(4 - q);
  n = n * 2;
  i++;
}

i N q
       

Klicke auf «Nächster Durchgang» um den nächsten Wert für berechnen zu lassen. Bei jedem Durchgang wird die Programm-Schleife einmal durchlaufen. Wie man sehen kann, nähert sich der Wert für bei jedem Durchgang mehr an 3.1415926... an. Bereits nach 12 Durchgängen haben wir auf 7 Stellen nach dem Komma. Das N-Eck hat aber auch schon 16'384 Ecken!

Fehler

Leider wird jedoch nicht mehr viel genauer berechnet, weil sich immer mehr Rundungsfehler bemerkbar machen. Bereits nach 16 Durchgängen wird der Wert von überschritten, nach 27 Durchgängen erhalten wir den Wert 4 und nach 28 Durchgängen 0!

Wie kommt das? Das Problem ist die Berechnung von q. q wird bei jedem Durchgang immer kleiner. Schauen wir uns die Formel für die Berechnung von q an: q = 2 - sqrt(4 - q)

Wenn q im Vergleich mit 4 sehr klein wird, gehen beim Berechnen von 4 - q einige Stellen verloren und das neue q wird immer ungenauer. Nach 27 Durchgängen ist q so klein, dass 4 - q = 4 wird und das neue q somit 0.

Diese Methode ist also nicht sehr gut geeignet, möglichst genau berechnen zu lassen. Sie zeigt aber sehr schön auf, dass man den Resultaten eines Computers nicht einfach blind trauen darf. Man sollte die Resultate immer auf Plausibilität überprüfen. Es ist zudem ratsam, bei numerischen Verfahren wie diesem immer eine Fehler-Berechnung zu erstellen. Damit lässt sich die mögliche erreichbare Genauigkeit des Resultates vorher sagen oder man kann erkennen, ob ein Programm einen gesuchten Wert annähern kann oder irgendwann wegen Rundungsfehlern total unsinnige Werte liefern wird.

Wie so eine Fehlerbetrachtung aussehen kann und was man gegen bestimmte Fehler unternehmen kann, kannst du in Fehlerberechnung Pi nachlesen.

Weitere Infos zur Seite
Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
Zum Seitenanfang
Geändert Samstag, 18. Juli 2015
von wabis