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Das Fadenpendel

Die Schwingungsperiode eines Fadenpendels hängt nur von der Länge des Pendels ab, nicht jedoch von der Masse des Pendels, wie man zunächst vermuten könnte. Um zu verstehen, weshalb dies so ist und um die Schwingungsperionde berechnen zu können, muss man die Bewegungsgleichung für ein Fadenpendel aufstellen und lösen. Hier zeige ich, wie das geht.

Frage: Was bewirkt, dass ein Pendel hin und her schwingt, wenn man es von der Ruhelage auslenkt und dann loslässt? Antwort: Die Kraft Ft, hervorgerufen durch die Erdanziehungskraft G (siehe Bild).

Um die Bewegungsgleichung aufstellen zu können, müssen wir zunächst alle Kräfte bestimmen, die auf die Pendelmasse wirken. Schauen wir uns dazu die Situation genauer an:

Kräfte am Pendel
φ Auslenkwinkel in Bogenmass
l Länge des Pendels
s Auslenkung des Pendels: s = l · φ
G Erdanziehungskraft: G = m · g
Fr Kraftkomponente in Richtung Faden
Ft Tangentielle Kraftkomponente
m Masse des Pendels
g Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

Die Erde zieht die Masse des Pendels mit der Gewichts-Kraft G senkrecht nach unten. Diese Kraft, das Gewicht des Pendels, ist umso grösser, je grösser die Masse des Pendels ist:

(1)

G = m · g

Kraft = Pendelmasse · Erdbeschleunigung

Eine weitere Kraft, die an der Pendelmasse angreift, wird von der Pendelschnur ausgeübt. Sie zeigt immer in Richtung Pendelaufhängung und bewirkt, dass die Pendelmasse auf einem Kreisbogen gehalten wird. Die Grösse dieser Kraft ist für die Berechnung der Pendelbewegung nicht von Bedeutung, wie wir weiter unten noch sehen werden.

Die Kraft G kann geometrisch in die zwei Komponenten Fr (r = radial) und Ft (t = tangential) zerlegt werden.

Solange das Pendel nicht zu weit ausgelenkt wird, wirkt die Komponente Fr immer in Gegenrichtung des Fadens und bewirkt, dass der Faden gespannt bleibt. Die Kraft vom Faden in Richtung Aufhängung ist gleich der Kraft Fr plus der Zentripetalkraft und zeigt immer in die Gegenrichtung von Fr.

Die Zentripetalkraft entsteht durch die kreisförmige Bewegung der Pendelmasse. Es ist jene Kraft, die man spüren würde, wenn man das Pendel im Kreis herumschwingen würde. Sie ist umso grösser, je schneller die Pendelmasse schwingt und je grösser die Masse des Pendels ist. Die Zentripetalkraft sorgt dafür, dass die Pendelmasse nicht einfach geradlinig davon fliegt, sondern auf einer Kreisbahn gehalten wird.

Auf das Hin- und Herschwingen des Pendels haben all diese radialen Komponenten aber keinen Einfluss, weil sie immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Masse wirken und die Pendelmasse kann sich entlang des starren Fadens ja nicht frei bewegen. Diese Kräfte müssen wir deshalb nicht berechnen. Anders wäre es, wenn es sich um einen dehnbaren Gummifaden handeln würde.

Die Komponente Ft wirkt immer tangential und bewirkt, dass die Pendelmasse in dieser Richtung beschleunigt oder abgebremst wird. Diese Kraft ist es, welche das Pendel schwingen lässt. Sie berechnet sich wiefolgt:

(2)
F_\mathrm{t} = G \cdot \sin(\varphi) = m \cdot g \cdot \sin(\varphi)

Ft ist also abhängig vom Winkel φ und zwar vom Sinus des Winkels. Ist φ = 0, ist die Kraft 0 (weil sin(0) = 0 ist). Je grösser der Winkel, umso grösser die Kraft Ft. Sie wirkt immer in Richtung der Ruhelage des Pendels, also entgegen der Auslenkung.

Vergleich mit einem Federpendel: Beim Federpendel wirkt die Federkraft auch immer in Richtung der Ruhelage, jedoch ist die Federkraft proportional zur Auslenkung; es gibt dort keinen Sinus!

Herleiten der Bewegungsgleichung

Eine Bewegungsgleichung ist eine Formel, welche die Bewegung eines Objektes, also seinen Weg durch den Raum, in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. Ein Pendel ist ja eine bewegte Sache. Das heisst, die Position der Pendelmasse, der Auslenkwinkel φ und alle davon abhängigen Kräfte ändern sich dauernd. Sie sind Funktionen der Zeit t. In einer Bewegungsgleichung muss deshalb diese Zeit auch vorkommen.

Wie leitet man eine Bewegungsgleichung her?

Newton hat herausgefunden, dass ein Körper beschleunigt oder abgebremst wird, wenn eine Kraft auf ihn wirkt. Wirkt keine Kraft auf einen Körper, so bewegt er sich gleichmässig mit derselben Geschwindigkeit fort, oder er bleibt im Stillstand, wenn er sich nicht bewegt hat. Die Beschleunigung ist umso grösser, je stärker die Kraft ist und umso kleiner, je grösser die Masse des Körpers ist. Die Beschleunigung wirkt in dieselbe Richtung wie die Kraft. Nach Newton gilt also folgender Zusammenhang:

(3)

F = m · a

Kraft = Masse · Beschleunigung

Aus der Newton-Formel (3) kann man also berechnen, wie ein Körper beschleunigt wird, wenn man alle Kräfte kennt, die auf ihn einwirken. Kennt man aber die Beschleunigung eines Körpers zu jeder Zeit, kann man seine Geschwindigkeit und seinen Weg ebenfalls zu jeder Zeit durch Integrieren berechnen. Umgekehrt kann man Geschwindigkeit und Beschleunigung aus dem Weg durch Ableiten berechnen. Der Zusammenhang zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers ist wiefolgt:

s(t)

Weg s in Abhängigkeit der Zeit t

v(t) = { \mathrm{d} s(t) \over \mathrm{d} t} = \dot s(t)

Geschwindigkeit v(t) erhält man durch Ableiten des Weges nach der Zeit

a(t) = {\mathrm{d} v(t) \over \mathrm{d} t} = \dot v(t)

Beschleunigung a(t) erhält man durch Ableiten der Geschwindigkeit nach der Zeit

(4)
a(t) = {\mathrm{d}^2 s(t) \over \mathrm{d} t^2} = \ddot s(t)

oder durch zweifaches Ableiten des Weges nach der Zeit

Kennt man also alle Kräfte, die zu jeder Zeit auf einen Körper einwirken, kann man nach der Newton-Formel (3) die Beschleunigung des Körpers zu jeder Zeit berechnen und daraus nach (4) den resultierenden Weg berechnen, bzw. die Bewegungsgleichung herleiten.

Oben haben wir gezeigt, dass nur die Komponente Ft einen Einfluss auf die Bewegung des Pendels hat. Wir formulieren also Ft für einen beliebigen Zeitpunkt t und erhalten nach (2):

(5)

Ft(t) = −m · g · sin(φ(t))

(Minus, weil Ft entgegen der Auslenkung wirkt

Damit haben wir die linke Seite der Newton-Formel, also alle Kräfte, welche in unserem Fall vom Winkel φ(t) abhängig sind. Setzen wir also diese Kraft in die Newton-Formel ein und formen um:

 

(6)

a(t) = −g · sin(φ(t))

Die Masse m kommt in (6) nicht mehr vor. Das heisst:

Die Masse hat beim Fadenpendel auf die Bewegung keinen Einfluss!

Damit wir die Gleichung (6) lösen können, müssen wir a(t) auf der linken Seite noch durch φ(t) ausdrücken. Der Zusammenhang zwischen Weg der Pendelmasse und Winkel (im Bogenmass) ist sehr einfach:

s(t) = l \cdot \varphi(t)

Die Beschleunigung der Pendelmasse ist folglich nach Formel (4):

(7)
a(t) = \ddot s(t) = l \cdot \ddot \varphi(t)

Jetzt haben wir beide Seiten der Newton-Formel in Abhängigkeit des Winkels φ(t) ausgedrückt und können die Bewegungsgleichung aufstellen. Wir setzen also (7) und (6) in die Newton-Formel ein und bringen l noch auf die rechte Seite:

(8)
\ddot \varphi(t) = - {g \over l} \cdot \sin(\varphi(t))

Bewegungsgleichung eines Fadenpendels

Das ist die Bewegungsgeichung für ein Fadenpendel in Form einer Differenzialgleichung 2. Ordnung. Die einzigen Grössen, die noch in der Formel vorkommen und die somit auf die Bewegung des Pendels Einfluss haben, sind die Länge l des Pendels, die Erdbeschleunigung g und der Winkel φ(t). Beeinflussen können wir nur die Pendellänge und allenfalls, wie stark wir das Pendel anfangs auslenken. Um herauszufinden, wie sich dies auf die Periodendauer des Pendels auswirkt, müssen wir die Bewegungsgleichung lösen.

Lösen der Bewegungsgleichung

Wie man eine Differezialgleichung 2. Ordnung löst ist nicht einfach. Wir müssen eine Funktion f(φ(t)) finden, welche links und rechts von (8) eingesetzt werden kann, sodass beide Seiten dasselbe ergeben. Auf der linken Seite muss dabei f(φ(t)) zweimal abgeleitet werden.

Um eine solche Funktion f zu finden, schaut man in einem Formelbuch nach, ob man vielleicht schon eine Lösung gefunden hat. Oder man beobachtet, wie sich das Objekt bewegt und versucht daraus eine Formel abzuleiten und überprüft dann, ob die so gefundene Formel korrekt ist. Oder man sucht ähnliche physikalische Systeme bzw. schaut, ob das vorliegende System durch ein ähnliches System angenähert werden kann, für welches man bereits eine Lösung gefunden hat.

Im Falle des Fadenpendels können wir beobachten, dass das Pendel periodisch hin und her schwingt. f könnte also eine Sinus-Funktion sein. Wenn man diesen Ansatz überprüft, indem man f = a · sin(b·φ(t) + c) einsetzt, stellt man jedoch fest, dass der Ansatz nicht korrekt ist.

Schauen wir also, ob es ein ähnliches System gibt, für das wir die Lösung kennen, und das annähernd wie ein Fadenpendel reagiert. Wir vermuten mal, dass ein Federpendel einem Fadenpendel ähnlich sein könnte und schauen uns die Bewegungsgleichung des Federpendels an, für welches wir die Lösung nachschauen können:

\ddot\varphi(t) = - {g \over l} \cdot \sin(\varphi(t))

Bewegungsgleichung für ein Faden-Pendel

\ddot s(t) = - {D \over m} \cdot s(t)

Bewegungsgleichung für ein Feder-Pendel

Wenn in der oberen Gleichung kein Sinus vorkommen würde, wären die Gleichungen fast identisch und wir hätten eine einfache Lösung. Zum Glück ist bei kleinen Winkeln sin(φ) φ.

Beweis:

Der Sinus kann nach folgender Formel berechnet werden:

\sin(x) = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + ...

! ist die Fakultätsfunktion: 5! = 1·2·3·4·5 = 120

Wenn nun x (im Bogenmass) viel kleiner als 1 ist (z.B. 0,1, was ca. 5,7 Grad entspricht), dann sieht das eingesetzt in obige Formel wiefolgt aus:

\sin(0{,}1) = 0{,}1 - {(0{,}1)^3 \over 3!} + {(0{,}1)^5 \over 5!} - ... = 0{,}1 - {0{,}001 \over 6} + {0{,}000\,01 \over 120} - ...

Man sieht, dass bereits der zweite Summand 0,001/6 viel kleiner als 0,1 ist und vernachlässigt werden kann, da er das Resultat um nur 1/6 % beeinflusst. Je kleiner der Winkel, umso kleiner wird der Fehler!

Wir können also in unserer Bewegungsgleichung sin(φ(t)) = φ(t) setzen, wenn φ1 (viel kleiner als 1) ist. Dadurch erhalten wir fast unsere bekannte einfachere Bewegungsgleichung des Feder-Pendels:

\ddot \varphi(t) = - {g \over l} \cdot \varphi(t) \qquad \bigg| {\rm wenn}\ \varphi \ll 1

Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist analog der des Feder-Pendels:

s(t) = \hat s \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)
\omega = \sqrt{D \over m}
T = 2 \pi \sqrt{m \over D}

Feder-Pendel

\varphi(t) = \hat \varphi \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)
\omega = \sqrt{g \over l}
T = 2 \pi \sqrt{l \over g}

Faden-Pendel (φ1)

Diskussion

Für kleine Auslenkungen schwingt ein Faden-Pendel harmonisch (wie ein Feder-Pendel). Bei grossen Auslenkungen gilt dies jedoch nicht mehr!

Die Periodendauer T ist beim Fadenpendel nicht von der Masse, sondern nur von der Pendellänge und der Erdbeschleunigung abhängig (nur l und g kommen in der Formel für T vor, nicht aber m)!

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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Samstag, 18. Juli 2015
von wabis