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Definition der Wirkung

Mathematisch stellt man ein System von bewegten Teilchen als eine Menge von Funktionen der Zeit dar. Für jede Komponente, die sich ändern kann, gibt es eine Funktion q_i(t). So braucht es zum Beispiel für 2 Teilchen, die sich im Raum bewegen können, 6 Funktionen, für jede der Koordinaten (x, y, z) je eine.

Trajektorie

Wenn wir alle q_i in eine N-dimensionalen Ebene legen und die Zeitachse nach oben festlegen, so kann man die N-dimensionale Bahnkurve der Teilchen aufzeichnen (siehe Bild). Diese Kurve wird Trajektorie genannt. Die Trajektorie repräsentiert die Bewegung aller Teilchen in einer einzigen Kurve.

Betrachten wir die Trajektorie q_i(t) zwischen den Punkten P_1 = q_i(t_1) und P_2 = q_i(t_2). Von allen möglichen Trajektorien wählt die Natur nun jene aus, welche die kleinste Wirkung hat:

 Prinzip der kleinsten Wirkung (Principle of least Action)

Lagrange-Funktion

Bevor wir die Wirkung eines Systems berechnen können, muss in einem Zwischenschritt die sog. Langrange-Funktion \mathcal L berechnet werden:

Für jeden Punkt q_i(t) der Trajektorie und jede zugehörige Geschwindigkeit \dot q_i(t) kann man über die Lagrange-Funktion \cal L einen einzelnen Wert berechnen. Sie ist abhängig von der Zeit t, allen Koordinaten q_i(t) und allen Geschwindigkeiten \dot q_i(t):

(1)

\mathcal L = f\bigl( t,\, q_i(t),\, \dot q_i(t) \bigr)

Die Lagrange-Funktion \mathcal L ist in der klassischen Mechanik wiefolgt definiert:

(2)

{\cal L} = T - V

wobei'
T ' =' 'kinetische Energie des Systems
V ' =' 'potentielle Energie des Systems

Die kinetische Energie T ist üblicherweise eine Funktion der Geschwindigkeiten \dot q_i(t), während die potentielle Energie V eine Funktion der Positionen q_i(t) ist.

Die Wirkung

Die Wirkung W ist definiert als das zeitliche Integral der Lagrange-Funktion zwischen zwei Punkten t1 und t2. Jeder möglichen Trajektorie Γ zwischen Start- und Endpunkt ordnet die Wirkung den folgenden Wert zu:

(3)
W(\Gamma) = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L \bigl(t,\, q_i(t),\, \dot q_i(t) \bigr) \ \mathrm d t

Die Grösse W(Γ) hat die Dimension Energie · Zeit = Wirkung. Daher hat diese Grösse ihren Namen. Sie hat nichts mit einer Wirkung im umgangssprachlichen Sinn zu tun.

Für jede mögliche Trajektorie Γ kann somit eine Wirkung W(Γ) (eine Zahl) berechnet werden. Die Wirkung ist eine Funktion von einer Menge von Funktionen q_i(t) und \dot q_i(t). Eine Funktion, die von Funktionen abhängig ist, nennt man ein Funktional (Functional).

Gesucht wird nun jene Menge von Funktionen q_i(t) und \dot q_i(t), bzw. jene Trajektorie, bei der die Wirkung W minimal oder stationär wird. Diese Funktions-Menge q_i(t) und \dot q_i(t) ist die Lösung, welche in der Natur beobachtet wird.

Eine Funktion ist dort minimal oder stationär, wo ihre Ableitung Null ist. In unserem Fall ist die Ableitung nicht so einfach zu bilden, weil W nicht einfach eine Funktion von Variablen ist, sondern eine Funktion von Funktionen - ein Functional.

Ein einfaches Beispiel für die Berechnung der kleinsten Wirkung findest du auf der Seite

Zusammenfassung

Dies ist eine globale Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung. In der Praxis kennt man jedoch nicht 2 Punkte P1 und P2 durch die eine Trajektorie geht, sondern nur die Start-Koordinaten q_i(t_1) und die Start-Geschwindigkeiten \dot q_i(t_1) am Punkt P1. Gesucht sind nun lokale Funktionen, die angewandt auf jeden Punkt zum nächsten Punkt auf der Trajektorie führen, welche die kleinste Wirkung hat.

Durch Variation der Trajektorie und bestimmen der Trajektorie mit der kleinsten Wirkung stossen wir auf die Euler-Lagrange-Gleichung, einer lokalen Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung.

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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Samstag, 17. Januar 2015
von wabis