Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion. In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle $x_0$ definiert man als die Steigung der Tangenten im Punkt $(x_0;f(x_0))$ des Graphen von $f$.

In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion $f$ für jedes $x$ an, wie gross der lineare Anteil der Änderung von $f(x)$ ist (die Änderung 1. Ordnung), wenn sich $x$ um einen beliebig kleinen Betrag $\Delta x$ ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff Grenzwert (oder Limes oder $\lim$) verwendet.

In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens und die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit liefert die Beschleunigung.

Definition

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion $f$ in einem Punkt $(x_0; f(x_0))$. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante $S$ an $f$ über einem endlichen Intervall:

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation $\Delta y$ für $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ kann man die Sekantensteigung abgekürzt als $S = \Delta y / \Delta x$ schreiben.

Um eine Tangentensteigung zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl $\Delta x$ als auch $\Delta y$ gegen Null. Der Quotient $\Delta x / \Delta y$ bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Eine Funktion heisst differenzierbar an der Stelle $x_0$, falls der folgende Grenzwert existiert:

Dieser Grenzwert heisst Differentialquotient oder Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $x_0$ und wird notiert als:

Gesprochen: «f Strich», «d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null», «d f nach d x von x null» respektive «d nach d x von f von x null».

Ableitung als eine Funktion

Die Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$, bezeichnet mit $f\,'(x_0)$, beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle $x_0$. Nun wird $x_0$ im Allgemeinen nicht die einzige Stelle sein, an der $f$ differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ die Ableitung an dieser Stelle (also $f\,'(x)$) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion:

$f\,'$ heisst die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von $f$. Beispielsweise hat die Quadratfunktion $f(x) = x^2$ an einer beliebigen Stelle $x_0$ die Ableitung $f\,'(x_0) = 2 x_0$. Daher ist die zugehörige Ableitungsfunktion $f\,'$ gegeben durch $f\,'(x) = 2x$.

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion $e^x$ und ihre Vielfachen.

Ist die Ableitung stetig, dann heisst $f$ stetig differenzierbar.

In der Physik ist für Zeit-Ableitungen die Notation $\dot x(t)$ (sprich: «x Punkt») üblich:

Berechnung von Ableitungen

Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion.

Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B. $x^n$, $\sin(x)$,...) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann $\Delta x$ gegen Null gehen. Allerdings vollzieht der typische Mathematikanwender diese Berechnung nur ein paar wenige Male in seinem Leben nach. Später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig und schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk nach.

Beispiel für die elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion

Diese Seite basiert auf dem Artikel Ableitung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz für freie Dokumentation (GNU). In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.