Da auf den folgenden Seiten vermehrt Gebrauch von Differentialrechnung mit mehreren Variablen gemacht wird, hier eine kurze Einführung.

Angenommen wir haben einen Raum, zum Beispiel mit zwei Dimensionen. Man kann kartesische Koordinaten in diesen Raum zeichnen wie im folgenden Bild links gezeigt:

Die Koordinaten können mit $\color{blue}{x^1}$ und $\color{blue}{x^2}$ beschriftet werden. Man ist jedoch nicht eingeschränkt auf zwei Dimensionen, sondern kann so viele Dimensionen verwenden, wie man benötigt. Die Notation $x^i$ bedeutet in diesem Fall nicht, dass $x$ mit $i$ potenziert wird, sondern $i$ ist ein Index.

Ein beliebiger Vektor beliebiger Dimension $D$ in einem solchen Koordinatensystem kann folgendermassen beschrieben werden:

Notation: Schreibweise eines Vektors: $\vec x$ oder $\mathbf{x}$; $\mathrm{d} \vec s$ oder $\mathrm{d}\mathbf{s}$ usw.

Angenommen wir haben eine Funktion $\phi(\vec x)$. Dies kann ein Feld sein, das von der Position $\vec x$ abhängig ist. Wir wollen nun untersuchen, wie sich dieses Feld ändert, wenn $\vec x$ ein klein wenig geändert wird. Die kleine Änderung kann durch einen infinitesimal kleinen Abstand ausgedrückt werden:

Totales Differential

Die Änderung der Funktion $\phi$ kann durch die partiellen Ableitungen bezüglich der Koordinaten $\mathrm d x^i$ ausgedrückt werden. Dies nennt man Totales Differential:

Die Änderung des Feldes $\mathrm d \phi$ erhält man also, indem man die partielle Ableitung des Feldes bezüglich der ersten Koordinate $\partial\phi / \partial x^1$ mal dem infinitesimalen Abstand $\mathrm d x^1$ in die Richtung $x^1$, plus die partielle Ableitung des Feldes bezüglich der zweiten Koordinate $\partial\phi / \partial x^2$ mal dem infinitesimalen Abstand $\mathrm d x^2$ in die Richtung $x^2$ usw. berechnet.

Die Formel (3) wird üblicherweise mit der Einsteinschen Summenkonvention folgendermassen abgekürzt: