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Differentialrechnung mit mehreren Variablen

Da auf den folgenden Seiten vermehrt Gebrauch von Differentialrechnung mit mehreren Variablen gemacht wird, hier eine kurze Einführung.

Angenommen wir haben einen Raum, zum Beispiel mit zwei Dimensionen. Man kann kartesische Koordinaten in diesen Raum zeichnen wie im folgenden Bild links gezeigt:

infinitesimaler Vektor dx

Die Koordinaten können mit und beschriftet werden. Man ist jedoch nicht eingeschränkt auf zwei Dimensionen, sondern kann so viele Dimensionen verwenden, wie man benötigt. Die Notation bedeutet in diesem Fall nicht, dass mit potenziert wird, sondern ist ein Index.

Ein beliebiger Vektor beliebiger Dimension in einem solchen Koordinatensystem kann folgendermassen beschrieben werden:

(1)

Notation: Schreibweise eines Vektors: oder ; oder usw.

Angenommen wir haben eine Funktion . Dies kann ein Feld sein, das von der Position abhängig ist. Wir wollen nun untersuchen, wie sich dieses Feld ändert, wenn ein klein wenig geändert wird. Die kleine Änderung kann durch einen infinitesimal kleinen Abstand ausgedrückt werden:

(2)

Totales Differential

Die Änderung der Funktion kann durch die partiellen Ableitungen bezüglich der Koordinaten ausgedrückt werden. Dies nennt man Totales Differential:

(3)

Die Änderung des Feldes erhält man also, indem man die partielle Ableitung des Feldes bezüglich der ersten Koordinate mal dem infinitesimalen Abstand in die Richtung , plus die partielle Ableitung des Feldes bezüglich der zweiten Koordinate mal dem infinitesimalen Abstand in die Richtung usw. berechnet.

Die Formel (3) wird üblicherweise mit der Einsteinschen Summenkonvention folgendermassen abgekürzt:

(4)
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Erzeugt Donnerstag, 8. Oktober 2009
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Geändert Freitag, 25. März 2016
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