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Divergenz des Gravitationsfeldes im Vakuum

Nach dem Gauss-Gesetz der Gravitation muss die Divergenz eines Gravitationsfeldes im leeren Raum Null sein, wenn dort die Massedichte Null ist.

(1)

Gauss-Gesetz der Gravitation

wobei'
' =' 'Nabla-Operator
' =' 'Gravitationsfeld
' =' 'Gravitationskonstante
' =' 'Massendichte an jedem Punkt

Dass die Divergenz des Gravitationsfeldes an jedem beliebigen Punkt ausserhalb einer Masse gleich Null sein soll, ist nicht sofort ersichtlich. Daher berechne ich hier die Divergenz im Abstand zu einem Planeten mit der Masse . Das entsprechende Gravitationsfeld nach Newton ist:

(2)

Ich lege den Ursprung des Koordinatensystems ins Zentrum des Planeten, sodass gilt:

(3)

Zur Vereinfachung der Formeln definiere ich noch:

(4)

Damit erhalten wir für die einzelnen Komponenten des Gravitationsfeldes:

(5)

Jetzt berechnen wir damit die Divergenz:

(6)

Da die Komponenten sich sehr ähnlich sind, reicht es eine Komponente zu differenzieren, die anderen können dann entsprechend hingeschrieben werden. Ich führe die Differenzierung hier an der Komponente durch. Dabei dividiere ich zunächst beide Seite durch , damit es übersichlicher zugeht:

(7)

Anwendung der Produktregel ergibt:

(8)

Nach dem Zusammenfassen und multiplizieren beider Seiten mit erhalten wir:

(9)

Die y- und z-Komponenten sind analog und habe ich einfach darunter geschrieben. Jetzt müssen wir diese Komponenten nur noch addieren, um die Divergenz zu erhalten:

(10)

ist nach (4) gerade und es lässt sich mit kürzen. Somit bleibt:

(11)

Die Divergenz eines Gravitationsfeldes im leeren Raum ist also tatsächlich Null. Da sich Gravitationsfelder von mehreren Massen einfach überlagern lassen, gilt dies auch, wenn beliebig viele Massen vorhanden sind!

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Erzeugt Samstag, 12. September 2009
von wabis
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Geändert Sonntag, 29. Juni 2014
von wabis