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Divergenzsatz

Der Divergenzsatz oder Satz von Gauss, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang her zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes im Volumen und dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche des Volumens .

Grafik zum Divergenzsatz

Der Divergenzsatz folgt als Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der wiederum den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert.

Wir gehen von einem Vektorfeld aus, das eine Divergenz hat. Dazu stellen wir uns ein beliebiges geschlossenes Volumen vor, das einen Teil des Feldes einschliesst (siehe Bild). Das Volumen hat eine Oberfläche . Diese Oberfläche können wir uns zusammengesetzt aus lauter infinitesimal kleinen Flächenelementen vorstellen. Jedes dieser Flächenelemente hat einen Einheits-Normalenvektor , der nach aussen zeigt.

Der Divergenzsatz sagt nun folgendes aus:

(1)

Satz von Gauss bei einem Gravitationsfeld

wobei'
' =' 'Gravitationsfeld
' =' 'Divergenz des Feldes
' =' 'Einheits-Normalenvektor auf dem Oberflächenelement
' =' 'Feldkomponente in Richtung des Normalenvektors
' =' 'infinitesimales Volumenelement
' =' 'ganzes Volumen
' =' 'infinitesimales Oberflächenelement
' =' 'ganze Oberfläche

Auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ist das Integral der Divergenz , also die Summe der Divergenz in allen Volumenelementen . Auf der rechten Seite steht ein Flächenintegral. Der Integrand ist ein Skalarprodukt zweier Vektoren, also ein Skalar. ist ein Vektor, der senkrecht auf einem infinitesimal kleinen Oberflächenelement steht und die Länge 1 hat. Wenn man den Feldvektor , der an dieser Stelle der Oberfläche des Volumens steht, skalar mit diesem Normalenvektor multipliziert, erhält man den Anteil des Feldes , der in Richtung wirkt. Die Anteile von , die nicht in Richtung zeigen, haben keinen Einfluss auf das was im Volumen passiert. Alle diese senkrechten Anteile werden nun aufsummiert über die ganze Oberfläche. Man nennt dies den Fluss (englisch flux) der Gravitation oder Gravitationsfluss durch die Oberfläche.

Der Satz von Gauss sagt also aus, dass die totale Divergenz des Gravitationsfeldes in einem beliebigen Volumen gleich dem Fluss dieses Feldes durch die Oberfläche dieses Volumens ist.

Wenn man einen Vergleich mit Wasser zieht, so bedeutet der Satz von Gauss einfach, dass die Menge des Wassers, das durch unsichtbare Zuleitungen in das Volumen gepumpt wird, gleich der Menge des Wassers ist, das durch die Oberfläche dieses Volumens fliesst. Das Volumen soll dabei gleich bleiben.

Es ist bemerkenswert, dass ein Gravitationsfeld in dieser Hinsicht offenbar gleich beschrieben werden kann, wie eine nicht komprimierbare Flüssigkeit.

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Erzeugt Sonntag, 13. September 2009
von wabis
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Geändert Montag, 18. Juli 2016
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