WaBis

walter.bislins.ch

Einsteinsche Summenkonvention

Mit der Einsteinschen Summenkonvention werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

Die Formel:

(1)	$\mathrm d \phi = {\partial\phi\over\partial x^1}\ \mathrm d x^1 + {\partial\phi\over\partial x^2}\ \mathrm d x^2 + ... = \sum_{n=1}^D {\partial\phi\over\partial x^{\color{red}{n}}}\ \mathrm d x^{\color{red}{n}}$

kann mit der Einsteinschen Summenkonvention also folgendermassen geschrieben werden:

(2)	$\mathrm d \phi = {\partial\phi\over\partial x^{\color{red}{n}}}\ \mathrm d x^{\color{red}{n}}$

Regeln

Wann immer ein Index, wie in diesem Beispiel $\color{red}{n}$ , zweimal in einer Formel vorkommt, bedeuted das automatisch, dass über diesen Index summiert wird. Es spielt keine Rolle wie der Index heisst.

In der Tensorrechnung muss zudem einer der Indizes oben und der andere unten stehen. Ein oberer Index im Nenner wird als ein unterer Index betrachtet. Es wird nur über Index-Paare summiert, die auf derselben Seite des Gleichheitszeichen stehen.

Kartesische Koordinaten

Im Kartesischen Koordinatensystem sind kontravariante und kovariante Koordinaten identisch. Daher gilt in kartesischen Koordinaten:

(3)	$x^i = x_i$

(4)	$M_{ij} = {M_i}^j = {M^i}_j = M^{ij}$

In anderen Koordinatensystemen kann über den Metrik-Tensor, wie in Index-Manipulation per Metrik-Tensor gezeigt, zwischen kovarianten und kontravarianten Koordinaten umgerechnet werden.

Mit diesen Eigenschaften können nach der Einsteinschen Summenkonvention die folgenden Vereinfachungen gemacht werden:

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann wiefolgt geschrieben werden:

(5)	$\vec x \cdot \vec y = \sum_{i=1}^D x_i \, y_i = x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + ... \qquad\Rightarrow\qquad \vec x\cdot\vec y = x_{\color{red}{i}}\ y^{\color{red}{i}}$

Im kartesischen Koordinatensystem mit $x^i = x_i$ .

Vektor mit Matrix multiplizieren

Eine Koordinatentransformation kann als Multiplikation einer Transformations-Matrix mit einem Vektor geschrieben werden:

(6)	$y_i = \sum_{ j=1 }^{ D } M_{ ij } \, x_j = M_{ i1 } \, x_1 + M_{ i2 } \, x_2 + \ldots \qquad \Rightarrow \qquad y_i = { { M }_{ i } }^{ \color{red}{j} } \, x_{\color{red}{j}}$

Produkt zweier Matrizen

(7)	$C_{ ij } = \sum_{ k=1 }^{ D } A_{ ik } \, B_{ kj } = A_{ i1 } \, B_{ 1j } + A_{ i2 } \, B_{ 2j } + \ldots \qquad \Rightarrow \qquad { { C }^{ i } }_{ j } = { { A }^{ i } }_{ \color{red}{k} } \, { { B }^{ \color{red}{k} } }_{ j }$

Allgemeine Relativitätstheorie

Tensor-Notationen

Angaben zu den hier verwendeten Notationen findest du unter Tensor-Notationen.

About	Walter Bislin (wabis)
Rights	Public Domain

More	Page Infos / Sitemap
Created	Donnerstag, 8. Oktober 2009

Scroll to	Top of Page
Changed	Sonntag, 27. März 2016