Die Formel:
(1) |
kann mit der Einsteinschen Summenkonvention also folgendermassen geschrieben werden:
(2) |
Wann immer ein Index, wie in diesem Beispiel
In der Tensorrechnung muss zudem einer der Indizes oben und der andere unten stehen. Ein oberer Index im Nenner wird als ein unterer Index betrachtet. Es wird nur über Index-Paare summiert, die auf derselben Seite des Gleichheitszeichen stehen.
Im Kartesischen Koordinatensystem sind kontravariante und kovariante Koordinaten identisch. Daher gilt in kartesischen Koordinaten:
(3) |
(4) |
In anderen Koordinatensystemen kann über den Metrik-Tensor, wie in Index-Manipulation per Metrik-Tensor gezeigt, zwischen kovarianten und kontravarianten Koordinaten umgerechnet werden.
Mit diesen Eigenschaften können nach der Einsteinschen Summenkonvention die folgenden Vereinfachungen gemacht werden:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann wiefolgt geschrieben werden:
(5) |
Im kartesischen Koordinatensystem mit
Eine Koordinatentransformation kann als Multiplikation einer Transformations-Matrix mit einem Vektor geschrieben werden:
(6) |
(7) |