Unter euklidischer Geometrie versteht man die aus den Axiomen und Postulaten Euklids abgeleitete Geometrie. In jeder Geometrie interessiert man sich für diejenigen Transformationen, die bestimmte Eigenschaften nicht zerstören: Zum Beispiel ändern weder eine Parallelverschiebung noch eine Drehung oder Spiegelung in einer zweidimensionalen euklidischen Geometrie die Abstände von Punkten. Man sagt, dass der Abstand zweier Punkte eine euklidische Invariante darstellt.

Wie kann man die Geometrie beschreiben?

Eine Kugeloberfläche ist ein zweidimensionales Gebilde und die Kugeloberfläche ist offensichtlich gekrümmt, was in der dritten Dimension einfach ersichtlich ist. Es braucht jedoch keine dritte Dimension, um die Krümmung einer zweidimensionalen Fläche zu beschreiben. Dazu reichen Eigenschaften der Ebene aus.

Wie man im Bild erkennen kann, lässt sich jede Fläche durch lauter kleine Dreiecke aufbauen. Im Bild handelt es sich um lauter gleichartige Dreiecke. Die Dreiecke, welche eine Kugelfläche abdecken, müssen sich aber von den Dreiecken in der flachen Ebene leicht unterscheiden. Diese Unterscheidung ist ausreichend um die Geometrie der Fläche bestimmen zu können ohne dass eine höhere Dimension herangezogen werden muss.

Mathematiker beschreiben die Geometrie einer Fläche (oder eines N-Dimensionalen Raumes), indem sie die Distanz zwischen beliebigen benachbarten Punkten spezifizieren. Wenn man den Abstand zwischen jedem Paar benachbarter Punkte kennt, kann man die ganze Geometrie rekonstruieren und feststellen, ob sie flach oder gekrümmt ist.

Der infinitesimale Abstand $\mathrm d s$ zwischen zwei benachbarten Punkten kann im kartesischen Koordinatensystem mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:

Im kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinatenlinien gerade und stehen senkrecht aufeinander.

Man kann sich jedoch beliebige andere Koordinatensysteme vorstellen, z.B. Polarkoordinaten usw. In jedem Koordinatensystem erhält man andere Werte für die Komponenten von $\mathrm d s$ und die Komponenten können nur im kartesischen Koordinatensystem nach der Formel (1) zu $\mathrm d s$ kombiniert werden. Was jedoch in jedem beliebig gewählten Koordinatensystem gleich bleibt, ist der Wert von $\mathrm d s$. Man sagt: $\mathrm d s$ ist eine Invariante. Dies leuchtet ein, denn ein Massstab einer bestimmten Länge bleibt immer derselbe Massstab, egal in welches Koordinatensystem man ihn legt.

Die Formel für den infinitesimalen Abstand zwischen zwei Punkten in einem beliebig gekrümmten Koordinatensystem wie im Bild rechts sieht wiefolgt aus:

In der Formel (2) kommen die Komponenten $\mathrm d x$ und $\mathrm d y$ auch wieder vor und sie stehen im Quadrat. Man nennt das die quadratische Form. Die g-Werte sind keine Konstanten, sondern hängen generell von der Position ab: $g_{ij} = f(x, y)$. Die g's sind also Felder.

Beachte, dass die Formel (1) ein Spezialfall von Formel (2) ist mit den Werten $g_{11} = 1$, $g_{12} = 0$ und $g_{22} = 1$.

Der Therm $g_{12}\ \mathrm d x\ \mathrm d y$ kommt in (1) nicht vor. Dieser Therm ist immer dann ungleich Null, wenn die Koordinaten nicht senkrecht aufeinander stehen. Die Werte $g_{11}$ und $g_{22}$ haben mit dem Gitter-Abstand des Koordinatensystems, also der Skalierung in die entsprechende Richtung zu tun. Wenn das Koordinatengitter gekrümmt ist und sich von Ort zu Ort ändert, so sind die $g$'s Funktionen der Position (Felder).

Die Funktionen $g_{ij}(\mathbf x)$ nennt man die Metrik.

Flache Geometrie

Wenn man die Geometrie einer Fläche durch die einfache Formel (1) beschreiben kann, dann nennt man diese Geometrie flach. Durch die Wahl eines entsprechenden Koordinatensystems kann man selbst eine flache Geometrie durch eine komplizierte Formel wie (2) ausdrücken. Wenn es jedoch möglich ist ein neues Koordinatensystem für diese Geometrie zu finden, welches durch die Formel (1) beschrieben werden kann, dann ist die Geometrie flach.

Gekrümmte Geometrie

Es gibt Geometrien, die nicht flach sind. Egal wie man auch ein Koordinatensystem wählt in einer solchen Geometrie, wird es nicht möglich sein, sie auf die Form von (1) zu reduzieren.

Die zweidimensionale Oberfläche einer Kugel zum Beispiel hat so eine gekrümmte Geometrie. Egal wie man ein Koordinatensystem auf der Oberfläche einer Kugel wählt, man kann den Abstand benachbarter Punkte nie durch die Formel (1) ausdrücken.

Gekrümmt oder Flach?

Sehr oft können gekrümmte Geometrien lokal durch eine flache Geometrie angenähert werden. Die Geometrie eines Konus z.B. ist sogar überall flach, ausser an der Spitze.

Ebene

Eine Ebene wie eine Wandtafel hat offensichtlich eine flache Geometrie.

Kugeloberfläche

Eine Kugeloberfläche hat eine gekrümmte Geometrie. Die Kugeloberfläche kann nicht flach gemacht werden, ohne die Oberfläche zu verzerren.

Zylinderfläche

Eine Zylinderfläche hat eine flache Geometrie. Der Zylinder kann aufgeschnitten und zu einer Ebene entrollt werden, ohne die Fläche verzerren zu müssen.

Sattelfläche

Eine Sattelfläche hat eine gekrümmte Geometrie. Wie die Kugeloberfläche kann eine Sattelfläche nicht flach gemacht werden, ohne die Fläche zu verzerren.

Konus

Ein Konus ist überall flach, ausser an der Spitze! Der Konus kann aufgeschnitten und ohne Verzerrung zu einer Ebene entrollt werden. An der Spitze ist die Geometrie jedoch gekrümmt.

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