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Euler-Lagrange-Gleichung

Die Euler-Lagrange-Gleichung ist der Kern aller Gleichungen der klassischen Physik. In einer leicht erweiterten Form ist diese Gleichung auch der Kern der Quantenphysik. Jedes physikalische Problem kann formuliert werden als ein Wirkungs-Prinzip mit der Euler-Lagrange-Gleichung.

(1)
{\partial \mathcal L \over \partial q_i} - {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} = 0 \qquad{\rm bzw.}\qquad {\mathrm d \over \mathrm d t} {\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} = {\partial \mathcal L \over \partial q_i} \qquad {\rm für\ jedes}\ i

Die Lagrange-Funktion \cal L ist wiefolgt definiert:

(2)

\mathcal L \bigl( t,\, q_i(t),\, \dot q_i(t) \bigr) = T - V

wobei'
T ' =' 'kinetische Energie des Systems
V ' =' 'potentielle Energie des Systems
q_i(t) ' =' 'Gleichungen für die Positionen aller Objekte
\dot q_i(t) ' =' 'Gleichungen für die Geschwindigkeiten

Was sagt uns die Euler-Lagrange-Gleichung?

Die Lagrange-Funktion \mathcal L abgeleitet nach einer Geschwindigkeit \dot q_i nennt man auch Impuls \Pi_i kanonisch konjugiert zu q_i. Die Lagrangefunktion abgeleitet nach der Position q_i nennt man generalisierte Kraft:

(3a)
{\partial \mathcal L \over \partial \dot q_i} = \Pi_i

Impuls kanonisch konjugiert zu q_i

(3b)
{\partial \mathcal L \over \partial q_i} = F_i

generalisierte Kraft

Das bedeutet also, dass die Zeit-Ableitung eines Impulses gleich der Kraft ist, woraus die Newton-Formel folgt:

(4)
{\mathrm d \over \mathrm d t}\,\Pi_i = F_i

Angewandt auf ein einfaches Beispiel mit nur einem Teilchen, das sich nur entlang der X-Achse bewegen kann, wo also gilt:

(5)

\Pi_i \rightarrow p = m \cdot v = m \cdot \dot x

wobei'
p ' =' 'Impuls des Teilchens
m ' =' 'Masse des Teilchens
v, \dot x ' =' 'Geschwindigkeit des Teilchens
a, \ddot x ' =' 'Beschleunigung des Teilchens

Wenn wir (5) in (4) einsetzen, erhalten wir die bekannte Newton-Formel:

(6)
{\mathrm d \over \mathrm d t}\, m \cdot \dot x = F \qquad\Rightarrow\qquad m \cdot \ddot x = F \qquad\Rightarrow\qquad F = m \cdot a
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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Sonntag, 29. Juni 2014
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