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Euler-Lagrange-Gleichung

Die Euler-Lagrange-Gleichung ist der Kern aller Gleichungen der klassischen Physik. In einer leicht erweiterten Form ist diese Gleichung auch der Kern der Quantenphysik. Jedes physikalische Problem kann formuliert werden als ein Wirkungs-Prinzip mit der Euler-Lagrange-Gleichung.

(1)

Die Lagrange-Funktion ist wiefolgt definiert:

(2)

wobei'
' =' 'kinetische Energie des Systems
' =' 'potentielle Energie des Systems
' =' 'Gleichungen für die Positionen aller Objekte
' =' 'Gleichungen für die Geschwindigkeiten

Was sagt uns die Euler-Lagrange-Gleichung?

Die Lagrange-Funktion abgeleitet nach einer Geschwindigkeit nennt man auch Impuls kanonisch konjugiert zu . Die Lagrangefunktion abgeleitet nach der Position nennt man generalisierte Kraft:

(3a)

Impuls kanonisch konjugiert zu

(3b)

generalisierte Kraft

Das bedeutet also, dass die Zeit-Ableitung eines Impulses gleich der Kraft ist, woraus die Newton-Formel folgt:

(4)

Angewandt auf ein einfaches Beispiel mit nur einem Teilchen, das sich nur entlang der X-Achse bewegen kann, wo also gilt:

(5)

wobei'
' =' 'Impuls des Teilchens
' =' 'Masse des Teilchens
' =' 'Geschwindigkeit des Teilchens
' =' 'Beschleunigung des Teilchens

Wenn wir (5) in (4) einsetzen, erhalten wir die bekannte Newton-Formel:

(6)
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Erzeugt Sonntag, 3. Januar 2010
von wabis
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Geändert Sonntag, 29. Juni 2014
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