Die Euler-Lagrange-Gleichung ist der Kern aller Gleichungen der klassischen Physik. In einer leicht erweiterten Form ist diese Gleichung auch der Kern der Quantenphysik. Jedes physikalische Problem kann formuliert werden als ein Wirkungs-Prinzip mit der Euler-Lagrange-Gleichung.

Die Lagrange-Funktion $\cal L$ ist wiefolgt definiert:

Was sagt uns die Euler-Lagrange-Gleichung?

Die Lagrange-Funktion $\mathcal L$ abgeleitet nach einer Geschwindigkeit $\dot q_i$ nennt man auch Impuls $\Pi_i$ kanonisch konjugiert zu $q_i$. Die Lagrangefunktion abgeleitet nach der Position $q_i$ nennt man generalisierte Kraft:

Das bedeutet also, dass die Zeit-Ableitung eines Impulses gleich der Kraft ist, woraus die Newton-Formel folgt:

Angewandt auf ein einfaches Beispiel mit nur einem Teilchen, das sich nur entlang der X-Achse bewegen kann, wo also gilt:

Wenn wir (5) in (4) einsetzen, erhalten wir die bekannte Newton-Formel: