Das Gravitationsfeld $\vec g(\mathbf x)$ um eine einzelne Masse variiert mit der Position und zeigt immer zum Zentrum der Masse (siehe Bild). Das hineinzeigen auf einen Punkt nennt man Divergenz des Feldes. Die Masse ist die Ursache für die Divergenz des Feldes und die Divergenz ist proportional zur Masse. An jedem Punkt gibt es eine Divergenz, welche proportional zur Masse an diesem Punkt ist.

Um dies mathematisch formulieren zu können, wird das Konzept der Massen-Dichte eingeführt. Wenn man sich Masse auf sehr viele im Raum verteilte winzig kleine Masseteilchen vorstellt, bedeutet Massendichte $\rho$ einfach:

Die Massendichte variiert von Ort zu Ort. An einer Stelle ist keine Masse, an einer anderen wenig wieder an einer anderen viel. Die Massendichte ist also eine Funktion des Ortes $\mathbf x$ und somit ist $\rho$ ein Skalarfeld, ein sog. Dichte-Feld.

Die Beziehung zwischen der Divergenz des Gravitationsfeldes $\nabla\cdot\vec g(\mathbf x)$ und dem Dichtefeld $\rho(\mathbf x)$ ist wiefolgt:

Beachte: Das Gravitationsfeld ist ein Vektorfeld, aber seine Divergenz ist ein Skalarfeld. Das Skalarprodukt von $\nabla$ mit dem Vektorfeld $\vec g$ erzeugt ein Skalarfeld. Das Gauss-Gesetz ist also eine Feldgleichung. Es zeigt die Beziehung zwischen zwei Feldern.

Das Gauss-Gesetz der Gravitation sagt physikalisch dasselbe aus wie das Gravitationsfeld nach Newton. Die Stärke des Gravitationsfeldes ist immer proportional zur Gravitationskonstante $G$ und proportional zur Masse, ausgedrück durch $\rho$ und der Wert ist immer negativ oder Null. Das bedeutet, die Divergenz ist eigentlich eine Konvergenz.

Nach dem Gauss-Gesetz muss die Divergenz eines Gravitationsfeldes im Vakuum $(\rho = 0)$ Null sein. Den Nachweis findest du auf der Seite:

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