Mit Hilfe des Satz von Gauss und dem Gauss-Gesetz der Gravitation lässt sich das Gravitationsfeld ausserhalb und innerhalb eines Planeten berechnen.

Gravitationsfeld ausserhalb eines Planeten

Ein Planet ist ein rotationssymetrisches Gebilde und daher besonders einfach zu berechnen. Zur Vereinfachung kann man sich die Masse im Inneren des Planeten als gleichmässig (homogen) verteilt vorstellen. Dies spielt jedoch nur bei der Berechnung des Gravitationsfeldes innerhalb des Planeten eine Rolle.

Zur Berechnung des Gravitationsfeldes $\vec g$ im Abstand $r$ vom Zentrum des Planeten kann man den Satz von Gauss und das Gauss-Gesetz verwenden. Der Satz von Gauss stellt einen Zusammenhang her zwischen der Divergenz $\nabla\cdot\vec g$ des Feldes $\vec g$ im Volumen $V(r)$ und dem Fluss des Feldes durch die Oberfläche $S(r)$. Das Gauss-Gesetz liefert uns den Zusammenhang zwischen Divergenz und Massendichte $\rho$ des Planeten. Aus diesen beiden Zusammenhängen lässt sich der Gravitationsfluss in Abhängigkeit der Massendichte bzw. der Masse des Planeten berechnen. Bei einem kugelförmigen Volumen, dessen Zentrum im Zentrum des Planeten liegt, ist der Fluss $\vec g\cdot\vec n$ gerade die gesuchte Stärke $g(r)$ des Gravitationsfeldes im Abstand $r$ zum Planetenzentrum.

Zur Berechnung der linken Seite von (1): Das Gauss-Gesetz (2) liefert einen Ausdruck für $\nabla\cdot\vec g$. Das kann in (1) links eingesetzt werden, wobei die Konstanten vor das Integral gesetzt werden können:

Das Integral der Massendichte $\rho$ über das ganze Volumen der Kugel mit Radius $r$ ergibt gerade die Masse $M$ des Planeten, solange $r$ grösser als der Radius $R$ des Planeten ist:

Dies in (3) eingesetzt erhält man für die linke Seite des Satzes von Gauss:

Auf der rechten Seite des Satzes von Gauss (1) steht im Integral der Ausdruck $\vec g\cdot\vec n$. Dies ist die Normal-Komponente $g_n$ des Vektors $\vec g$, also die Komponente, die senkrecht zur Oberfläche der Kugel mit Radius $r$ wirkt. Der Vektor $\vec g$ zeigt immer zum Zentrum des Planeten hin, ändert also von Ort zu Ort seine Richtung. Die Länge $g_n$ des Vektors ist aber dank der Kugelsymmetrie und der isotropen Massenverteilung innerhalb der Kugel bei einem bestimmten Abstand $r$ immer gleich, also konstant, und kann daher vor das Integral gesetzt werden. Die rechte Seite von (1) wird somit:

Das verbleibende Integral ist nichts anderes als die Oberfläche der Kugel mit Radius $r$:

Die rechte Seite des Satzes von Gauss ist somit:

Zusammenfassung: Wir haben nun die linke und rechte Seite des Satzes von Gauss berechnet:

Nach dem Gleichsetzen der linken und rechten Seite erhält man:

Kürzen mit $4\pi$ und Lösen nach $g_n$ ergibt:

Dies ist nichts anderes als die Newton Formel für die Gravitation! Das Minus-Zeichen bedeutet, dass das Gravitationsfeld zum Planeten hin zeigt, nicht von ihm weg.

Diese Herleitung von Newtons Gesetz der Gravitation zeigt, dass es keine Rolle spielt, ob die Masse des Planeten auf den ganzen Planet verteilt ist oder in einem einzigen Punkt im Zentrum konzentriert ist. Das Integral der Massendichte über das Volumen mit Radius $r$ (4) ist immer dasselbe, solange $r \gt R$ ist.

Gravitationsfeld innerhalb eines Planeten

Das Gravitationsfeld innerhalb eines Planeten kann genau gleich wie oben berechnet werden. Es muss nur beachtet werden, dass das Volumenintegral über die Massendichte (4) nicht mehr die Masse des ganzen Planeten ergibt, sondern nur noch die Masse der Kugel mit Radius $r \lt R_{\rm Planet}$. Zur Vereinfachung der Berechnung wird die Massendichte $\rho$ innerhalb des Planeten als gleichmässig (homogen) verteilt angenommen.

Berechnen wir zunächst wieder die linke Seite des Satzes von Gauss, indem wir das Gauss-Gesetz einsetzen. Da die Massedichte $\rho$ als konstant angenommen wird, kann $\rho$ vor das Integral gesetzt werden:

Diesmal kann nicht einfach $\int \color{blue}{\rho}\ dV = \color{green}{M}$ gesetzt werden, da in der Kugel mit Radius $r$ nicht mehr die ganze Planetenmasse $M$ enthalten ist.

Das Integral oben rechts stellt das Volumen der Kugel mit Radius $r$ dar:

In (11) eingesetzt erhalten wir:

Für die rechte Seite des Satzes von Gauss gelten dieselben Aussagen wie beim Gravitationsfeld ausserhalb des Planeten. Wir erhalten daher wieder dieselbe Formel wie unter (8):

Setzen wir die beiden rechten Seiten von (13) und (14) in den Satz von Gauss ein, so erhalten wir:

Kürzen mit $4\pi r^2$ und Lösen nach $g_n$ ergibt:

Die Massedichte $\rho$ kann noch durch die Masse $M$ ausgedrückt werden (Massedichte = Masse / Volumen des Planeten). Dabei ist $R$ der Radius des Planeten:

Und in (16) eingesetzt:

Das Gravitationsfeld innerhalb des Planeten nimmt somit linear mit $r$ zu!

Interessant ist, dass die Masse ausserhalb der Kugel mit Radius $r$ in (15) nirgends vorkommt und somit keinerlei Beitrag zur Gravitation liefert. Dies bedeutet, dass innerhalb einer Hohlkugel keinerlei Gravitation herrscht!

Vergleich

Innerhalb des Planeten nimmt die Gravitation linear zu, ausserhalb nimmt sie mit dem Abstand im Quadrat ab! Wenn $r = R$ ist, werden die beiden Formeln identisch!