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Index-Manipulation per Metrik-Tensor

Durch Multiplizieren mit dem Metrik-Tensor können Tensor-Indizes hoch- und tiefgestellt werden, also kontravariante Komponenten eines Tensors in kovariante Komponenten umgewandelt werden und umgekehrt (siehe Kovariante und Kontravariante Komponenten).
(1)

Index tiefstellen

(2)

Index hochstellen

Bei und handelt es sich um denselben (physikalischen) Vektor , jedoch einmal mit kontravarianten Komponenten und einmal mit kovarianten Komponenten ausgedrückt. Zwischen den beiden Komponenten-Darstellungen kann also mittels des Metrik-Tensors und seiner Inversen umgerechnet werden.

Jeder Tensor hat somit mehrere Identitäten. Sie unterscheiden sich nur durch den Gebrauch von kontravarianten oder kovarianten Komponenten bzw. zwischen hochgestellten und tiefgestellten Indizes. Zwischen diesen Darstellungen kann mit Hilfe des Metrik-Tensors gewechselt werden. Dies gilt auch für Tensoren vom Rang grösser als 1:

Wenn wir zum Beispiel den ersten Index des Tensors hochstellen wollen, so geht das wiefolgt:

(3)

Auch hier gilt: Die Komponenten von und sind nicht dieselben! Die beiden Tensoren repräsentieren jedoch dasselbe Objekt!

Anwendung: Länge eines Vektors berechnen

ds = (dx^1, dx^2)

Gehen wir von einem kleinen Vektor aus, der in Tensor-Schreibweise als mit kontravarianten Komponenten geschrieben werden kann:

(4)
wobei'
' =' 'Einheitsvektoren (Vektoren der Länge 1) in Richtung bzw.

Wir können denselben Vektor jedoch auch mit Hilfe des Metrik-Tensors mit kovarianten Komponenten beschreiben:

(5)

Wie z.B. hier gezeigt können wir daraus einen neuen Tensor durch Multiplizieren bilden:

(6)

Was passiert nun, wenn wir diesen Tensor kontrahieren?

(7)

Durch die Tensor-Kontraktion erhalten wir einen Skalar , der transformations-invariant ist. Wir können den kovarianten Vektor noch durch (5) ausdrücken und erhalten damit:

(8)

Dieser Skalar ist nichts anderes als das Quadrat der Länge des Vektors :

(9)

Distanz-Formel

Dies ist das Grundprinzip des Metrik-Tensors! Beachte, dass die Inverse des Metrik-Tensors ist!

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Erzeugt Dienstag, 25. Januar 2011
von wabis
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Geändert Sonntag, 27. März 2016
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