(1) |
Index tiefstellen |
(2) |
Index hochstellen |
Bei
Jeder Tensor hat somit mehrere Identitäten. Sie unterscheiden sich nur durch den Gebrauch von kontravarianten oder kovarianten Komponenten bzw. zwischen hochgestellten und tiefgestellten Indizes. Zwischen diesen Darstellungen kann mit Hilfe des Metrik-Tensors gewechselt werden. Dies gilt auch für Tensoren vom Rang grösser als 1:
Wenn wir zum Beispiel den ersten Index des Tensors
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Auch hier gilt: Die Komponenten von
Gehen wir von einem kleinen Vektor
(4) | ||||
wobei' |
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Wir können denselben Vektor jedoch auch mit Hilfe des Metrik-Tensors mit kovarianten Komponenten beschreiben:
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Wie z.B. hier gezeigt können wir daraus einen neuen Tensor durch Multiplizieren bilden:
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Was passiert nun, wenn wir diesen Tensor kontrahieren?
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Durch die Tensor-Kontraktion erhalten wir einen Skalar
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Dieser Skalar
(9) |
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Distanz-Formel |
Dies ist das Grundprinzip des Metrik-Tensors! Beachte, dass