Bei $V^m$ und $V_m$ handelt es sich um denselben (physikalischen) Vektor $\vec V$, jedoch einmal mit kontravarianten Komponenten und einmal mit kovarianten Komponenten ausgedrückt. Zwischen den beiden Komponenten-Darstellungen kann also mittels des Metrik-Tensors und seiner Inversen umgerechnet werden.

Jeder Tensor hat somit mehrere Identitäten. Sie unterscheiden sich nur durch den Gebrauch von kontravarianten oder kovarianten Komponenten bzw. zwischen hochgestellten und tiefgestellten Indizes. Zwischen diesen Darstellungen kann mit Hilfe des Metrik-Tensors gewechselt werden. Dies gilt auch für Tensoren vom Rang grösser als 1:

Wenn wir zum Beispiel den ersten Index des Tensors $T_{mn}$ hochstellen wollen, so geht das wiefolgt:

Auch hier gilt: Die Komponenten von ${T^m}_n$ und $T_{mn}$ sind nicht dieselben! Die beiden Tensoren repräsentieren jedoch dasselbe Objekt!

Anwendung: Länge eines Vektors berechnen

Gehen wir von einem kleinen Vektor $\mathrm{d} \vec s$ aus, der in Tensor-Schreibweise als $\mathrm{d} x^m$ mit kontravarianten Komponenten geschrieben werden kann:

Wir können denselben Vektor jedoch auch mit Hilfe des Metrik-Tensors mit kovarianten Komponenten beschreiben:

Wie z.B. hier gezeigt können wir daraus einen neuen Tensor durch Multiplizieren bilden:

Was passiert nun, wenn wir diesen Tensor kontrahieren?

Durch die Tensor-Kontraktion erhalten wir einen Skalar $S$, der transformations-invariant ist. Wir können den kovarianten Vektor noch durch (5) ausdrücken und erhalten damit:

Dieser Skalar $S$ ist nichts anderes als das Quadrat $\mathrm{d} s^2$ der Länge des Vektors $\mathrm{d} \vec s$:

Dies ist das Grundprinzip des Metrik-Tensors! Beachte, dass $g^{mn}$ die Inverse des Metrik-Tensors $g_{mn}$ ist!

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