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Inverse des Metrik-Tensors

Der Metrik-Tensor kann als Matrix geschrieben werden und hat eine entsprechende Inverse. Diese ist wiederum ein Tensor mit bestimmten Eigenschaften.

Tensoren mit zwei Indizes wie der Metrik-Tensor können als Matrizen dargestellt werden:

(1)

Der Metrik-Tensor ist symmetrisch, d.h. , und er hat eine Inverse.

Wenn es zu einer Matrix eine Inverse gibt, kann man die beiden Matrizen miteinander multiplizieren und man erhält die Einheitsmatrix :

(2)

In der Tensor-Schreibweise wird die Einheitsmatrix mit dem Kronecker-Delta dargestellt, welches ebenfalls ein Tensor ist:

(3)

Man kann den Metrik-Tensor und seine Inverse wiefolgt als Matrix-Multiplikation in Tensor-Schreibweise hinschreiben:

(4)

Definition: Die Invers-Matrix definiert einen Tensor mit kontravarianten Komponenten, wenn die Matrix aus kovarianten Komponenten besteht und umgekehrt!

Diese Art der Index-Kontraktion stellt also eine Matrix-Multiplikation dar. Das Resultat ist wiederum eine Matrix, ein Tensor mit zwei Indizes.

Die Inverse des Metrik-Tensors ist also definiert als jenes Matrix-Objekt mit kontravarianten Komponenten, welches multipliziert mit dem Metrik-Tensor mit kovarianten Komponenten auf die in (4) gezeigte Art als Resultat das Kronecker-Delta ergibt.

Da der Metrik-Tensor mit kontravarianten Indizes immer die Inverse des Metrik-Tensors mit kovarianten Indizes ist (und umgekehrt), schreibt man für den inversen Metrik-Tensor nicht , sondern einfach mit den entsprechenden kovarianten oder kontravarianten Indizes:

(5)

Die beiden Metrik-Tensoren und sind zu einander Inverse! Ist der eine bekannt, kann der andere berechnet werden. Sie repräsentieren dieselbe Information über die Metrik!

Inverse des Metrik-Tensors von Polarkoordinaten

Am Beispiel von Polarkoordinaten wollen wir die Inverse des Metrik-Tensors berechnen. Siehe Metrik-Tensor eines 2D-Polarkoordinatensystems für die Herleitung der Metrik und des Metrik-Tensors.

Die Metrik in 2D-Polarkoordinaten ist definiert als:

(6)

Der zugehörige Metrik-Tensor ist:

(7)

Die Inverse dieser Matrix kann praktisch abgelesen werden:

(8)

Multipliziert man diese beiden Matrizen, so erhält man die Einheitsmatrix bzw. das Kronecker-Delta:

(9)
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Erzeugt Dienstag, 25. Januar 2011
von wabis
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Geändert Sonntag, 27. März 2016
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