Tensoren mit zwei Indizes wie der Metrik-Tensor können als Matrizen dargestellt werden:

Der Metrik-Tensor ist symmetrisch, d.h. $g_{ij} = g_{ji}$, und er hat eine Inverse.

Wenn es zu einer Matrix $G$ eine Inverse $G^{-1}$ gibt, kann man die beiden Matrizen miteinander multiplizieren und man erhält die Einheitsmatrix $I$:

In der Tensor-Schreibweise wird die Einheitsmatrix mit dem Kronecker-Delta $\delta^m_n$ dargestellt, welches ebenfalls ein Tensor ist:

Man kann den Metrik-Tensor $g$ und seine Inverse $g^{-1}$ wiefolgt als Matrix-Multiplikation in Tensor-Schreibweise hinschreiben:

Definition: Die Invers-Matrix $g^{-1}$ definiert einen Tensor mit kontravarianten Komponenten, wenn die Matrix $g$ aus kovarianten Komponenten besteht und umgekehrt!

Diese Art der Index-Kontraktion stellt also eine Matrix-Multiplikation dar. Das Resultat ist wiederum eine Matrix, ein Tensor mit zwei Indizes.

Die Inverse des Metrik-Tensors ist also definiert als jenes Matrix-Objekt mit kontravarianten Komponenten, welches multipliziert mit dem Metrik-Tensor mit kovarianten Komponenten auf die in (4) gezeigte Art als Resultat das Kronecker-Delta ergibt.

Da der Metrik-Tensor $g^{mn}$ mit kontravarianten Indizes immer die Inverse des Metrik-Tensors $g_{mn}$ mit kovarianten Indizes ist (und umgekehrt), schreibt man für den inversen Metrik-Tensor nicht $g^{-1}$, sondern einfach $g$ mit den entsprechenden kovarianten oder kontravarianten Indizes:

Die beiden Metrik-Tensoren $g^{mr}$ und $g_{rn}$ sind zu einander Inverse! Ist der eine bekannt, kann der andere berechnet werden. Sie repräsentieren dieselbe Information über die Metrik!

Inverse des Metrik-Tensors von Polarkoordinaten

Am Beispiel von Polarkoordinaten wollen wir die Inverse des Metrik-Tensors berechnen. Siehe Metrik-Tensor eines 2D-Polarkoordinatensystems für die Herleitung der Metrik und des Metrik-Tensors.

Die Metrik in 2D-Polarkoordinaten ist definiert als:

Der zugehörige Metrik-Tensor ist:

Die Inverse dieser Matrix kann praktisch abgelesen werden:

Multipliziert man diese beiden Matrizen, so erhält man die Einheitsmatrix bzw. das Kronecker-Delta: