Physikalische Gesetze sind unabhängig von Koordinatensystemen. Für mathematische Berechnungen muss man jedoch in Koordinatensystemen rechnen. Es gibt beliebig viele mögliche Koordinatensysteme für ein Problem. Man wählt einfach geeignete aus. Nun ist es aber wichtig, Werte und Funktionen von einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnen zu können.

Angenommen wir haben zwei verschiedene Koordinatensysteme für denselben Raum (siehe Bild rechts). Ein bestimmter Punkt $\color{red}{\mathbf P}$ habe die Koordinaten $\color{blue}{(x^1, x^2,...)}$ im blauen Koordinatensystem. Derselbe Punkt hat im grünen Koordinatensystem die Koordinaten $\color{green}{(y^1, y^2,...)}$.

Wenn man die Koordinaten eines Punktes im X-Koordinatensystem kennt, so gibt es eine definierte Regel, wie man die enstprechenden Koordinaten im Y-Koordinatensystem berechnet, und umgekehrt. Dies nennt man eine Koordinatentransformation.

Das heisst also, wenn wir eine Menge X-Koordinaten $\color{blue}{x^n}$ haben, so existiert eine entsprechende Menge Y-Koordinaten $\color{green}{y^n}$, die auf definierte Weise von den X-Koordinaten abhängen:

oder ausgeschrieben:

:

Mit anderen Worten: Jede Y-Koordinate ist im Allgemeinen eine Funktion aller X-Koordinaten. Wenn man alle $x^n$ kennt, kann man sagen wie alle $y^n$ sind. Wenn man $y^1$ wissen will, kann man über die Funktion $y^1(\vec x)$ diesen Wert aus allen $x^n$ berechnen usw. Die Zeile (1) steht für $n$ Formeln, für jede Y-Koordinate eine.

Bedingungen für die Koordinatensysteme

Damit obige Gleichungen definiert sind, muss jedes Koordinatensystem die folgenden Bedingungen erfüllen:

• Jeder Punkt muss eindeutige Koordinaten in jedem Koordinatensystem haben. Keine zwei Punkte dürfen also dieselben Koordinaten im selben Koordinatensystem haben.
• Jedes Set von Koordinaten muss eindeutig einem Punkt zugeordnet sein und jeder Punkt muss umgekehrt eindeutige Koordinaten haben:

$(x^1, x^2,...) = \mathbf{P} = (y^1, y^2,...)$.

• Alles muss kontinuierlich und mehrfach differezierbar sein.