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Kovariante und Kontravariante Komponenten

Tensoren können kovariante und kontravariante Komponenten haben. Im kartesischen Koordinatensystem im flachen Raum sind die Werte dieser Komponenten identisch, nicht jedoch in anderen Koordinatensystemen. Hier zeige ich an einem Beispiel den Unterschied zwischen ko- und kontravarianten Komponenten eines Vektors.

Vektorkomponenten im kartesischen Koordinatensystem

In diesem Beispiel gehen wir immer von ein und demselben Vektor \vec A aus. Dieser hat eine bestimmte Länge l, die in allen Koordinatensystemen gleich (invariant) bleibt.

Ein Vektor hat aber nicht nur eine Länge, sondern auch eine Richtung. Um den Vektor vollständig beschreiben zu können, führt man passende Koordinatensysteme ein. So kann man einen Vektor in Komponenten zerlegen. Diese Komponenten nennt man auch Koordinaten. Im hier gezeigten kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem (X) hat der Vektor die Koordinaten: \vec A = (a^1, a^2) = ( b, c )

Diese Koordinaten erhalten wir, indem wir senkrechte Linien (Lot) von der Vektorspitze auf die Koordinatenachsen zeichnen. Die Strecken b und c vom Nullpunkt zu den Schnittpunkten dieser Linien sind die Koordinaten des Vektors im X-Koordinatensystem.

Durch diese Koordinaten ist der Vektor \vec A eindeutig bestimmt. Seine invariante Länge kann im kartesischen Koordinatensystem wiefolgt berechnet werden:

(1)
l^2 = \sum_i (a^i)^2

Dies ergibt in unserem Beispiel:

(2)
l^2 = (a^1)^2 + (a^2)^2 = b^2 + c^2 \qquad\Leftrightarrow\qquad l = \sqrt{ b^2 + c^2 }

Wenn man ein anderes, um einen beliebigen Winkel gedrehtes kartesisches Koordinatensystem wählt und dort auf diese Weise die Komponenten des Vektors berechnet, erhält man andere Zahlenwerte für die Koordinaten (a^1, a^2). Die nach (1) berechnete Länge bleibt jedoch gleich!

Vektorkomponenten in einem schiefen Koordinatensystem

In der Physik werden oft nicht kartesische Koordinatensysteme verwendet. Insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation als Raumzeit-Krümmung mit entsprechend gekrümmten Koordinatensystemen dargestellt.

In nicht-kartesischen Koordinatensystemen gibt es zwei unterschiedliche Möglichkeiten, die Komponenten eines Vektors zu definieren. Dies kann an einem schiefen Koordinatensystem (Y) am besten gezeigt werden:

cocontra2.png cocontra3.png
Kontravariante Komponenten Kovariante Komponenten
\vec A = ( a^i ) = \pmatrix{ a^1 \\ a^2 } \vec A = ( a_i ) = \pmatrix{ a_1 \\ a_2 }

Man sieht sofort, dass die kontravarianten und kovarianten Werte unterschiedlich sind. Trotzdem beschreiben diese Werte denselben Vektor! Wir können die kontravarianten und kovarianten Komponenten mit Hilfe der Trigonometrie aus den Werten b und c aus dem kartesischen X-Koordinatensystem berechnen:

(3)

kontravariante Komponenten

kovariante Komponenten

a^1 = b - {c \over \tan\theta}
a_1 = b
a^2 = {c \over \sin\theta}
a_2 = b \cdot \cos \theta + c \cdot \sin \theta

Die Koordinaten beziehen sich jeweils auf eine von zwei sog. dualen Basen. Die kovariante Basis wird in unserem Beispiel gebildet durch die Einheitsvektoren in Richtung y^1 und y^2. Diese Basis-Vektoren werden daher mit kovarianten Indizes beschriftet: \vec e_1, \vec e_2. Die kontravariante Basis kann z.B. über den Metrik-Tensor berechnet werden und hat kontravariante Indizes: \vec e^{\,1}, \vec e^{\,2}.

Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten, den Basis-Vektoren und dem Vektor \vec A ist der folgende:

(4)
\vec A = a^m \, \vec e_m = a^1 \, \vec e_1 + a^2 \, \vec e_2
(5)
\vec A = a_m \, \vec e^{\,m} = a_1 \, \vec e^{\,1} + a_2 \, \vec e^{\,2}

Wenn der Metrik-Tensor bekannt ist (Berechnung siehe weiter unten) kann zwischen den kontravarianten und kovarianten Komponenten umgerechnet werden. Mehr Infos dazu unter Index-Manipulation per Metrik-Tensor.

Berechnung der Länge eines Vektors in nicht-kartesischen Koordinaten

Die invariante Länge l des Vektors \vec A berechnet man bei Tensoren für beliebige Koordinatensysteme nach folgender Formel:

(6)
l^2 = a_m \, a^m = a_1 \, a^1 + a_2 \, a^2 + ...

Wenn wir die Werte von (3) einsetzen erhalten wir:

(7)
\begin{align} l^2 & = ( b ) \, \left( b - {c \over \tan\theta} \right) + \left( b \, \cos\theta + c \, \sin\theta \right) \, \left( {c \over \sin\theta} \right) \\ \ \\ & = b^2 - { b \, c \over \tan\theta } + { b \, c \, \cos\theta \over \sin\theta } + { c^2 \, \sin\theta \over \sin\theta } = b^2 - { b \, c \over \tan\theta } + { b \, c \over \tan\theta } + c^2 \quad\Rightarrow \end{align}
(8)
l^2 = b^2 + c^2

Wie man sieht erhalten wir über die Formel (6) wieder dieselbe Länge l für den Vektor \vec A wie im kartesischen Koordinatensystem (2)!

Geometrische Interpretation von kontravarianten und kovarianten Komponenten

cocontra2.png

Die geometrische Bedeutung von A^m und A_m ist folgende:

Wenn die kontravarianten Komponenten a^{1} und a^{2} mit den kovarianten Basis-Vektoren \vec e_1 und \vec e_2 des Y-Koordinatensystems multipliziert werden, erhält man durch Vektor-Addition den Vektor \vec A:

(9)
\vec A = a^m \, \vec e_m = a^1 \, \vec e_1 + a^2 \, \vec e_2

Dies gilt auch für einen beliebigen Vektor \vec v mit beliebig vielen Dimensionen:

(10)
\vec v = v^m \ \vec e_m = v^1 \ \vec e_1 + v^2 \ \vec e_2 + ... \qquad \Big| \ m = 1...D

Die Koeffizienten v^1, v^2 bis v^D nennt man die kontravarianten Komponenten des Vektors \vec v = (v^1, v^2,..., v^D).

cocontra3.png

Die kovarianten Komponenten a_1 und a_2 des Vektors \vec A entsprechen den Projektionen des Vektors auf die Y-Koordinatenachsen. Diese Projektionen erhält man über das Skalarprodukt des Vektors mit dem Basis-Vektor der jeweiligen Koordinatenachse:

(11)
a_1 = \vec A \cdot \vec e_1 \qquad\qquad a_2 = \vec A \cdot \vec e_2

Auch dies gilt für einen beliebigen Vektor \vec v mit beliebiger Dimension D:

(12)
v_n = \vec v \cdot \vec e_n \qquad \Big| \ n = 1...D

Die Koeffizienten v_1, v_2 bis v_D nennt man die kovarianten Komponenten des Vektors \vec v = (v_1, v_2,..., v_D).

Um den Zusammenhang zwischen v_n und v^m zu erhalten, setzen wir den Vektor \vec v aus (10) in (12) ein:

(13)
v_n = \vec v \cdot \vec e_n = ( v^m \ \vec e_m ) \cdot \vec e_n

Es gilt das Assoziativgesetz: (\alpha \, \vec x) \cdot \vec y = \alpha \, (\vec x \cdot \vec y), denn:

(14)
( \alpha \, \vec x ) \cdot \vec y = ( \alpha \, x_1 ) \, y_1 + ( \alpha \, x_2 ) \, y_2 + \ldots = \alpha \, x_1 \, y_1 + \alpha \, x_2 \, y_2 + \ldots
(15)
\alpha \, ( \vec x \cdot \vec y ) = \alpha \, ( x_1 \, y_1 + x_2 \, y_2 + \ldots ) = \alpha \, x_1 \, y_1 + \alpha \, x_2 \, y_2 + \ldots

Daher dürfen wir das Skalarprodukt der Einheitsvektoren in (13) zusammenfassen und schreiben:

(16)
v_n = v^m \ ( \vec e_m \cdot \vec e_n ) = v^m \ g_{mn} = g_{mn} \ v^m
wobei'
g_{mn} ' =' 'Metrik-Tensor

Dass v^m \ g_{mn} = g_{mn} \ v^m ist, kann man durch Ausschreiben der Ausdrücke zeigen:

(17)
v_n = v^1 \, g_{1n} + v^2 \, g_{2n} + ... = g_{1n} \, v^1 + g_{2n} \, v^2 + ...

Die Koordinaten v^m und v_n sind also nur verschiedene Repräsentationen ein und desselben Vektors \vec v. Sie beziehen sich jeweils auf eine der Dual-Basen \vec e_i oder \vec e^{\,i} des Koordinatensystems. Ihre Komponenten können über den Metrik-Tensor g_{mn} in einander umgerechnet werden.

Komponenten eines Vektors in gekrümten Koordinatensystemen

Informationen zum BildKontravariante und Kovariante Koordinaten in gekrümmten Koordinatensystemen. Quelle: Wikipedia: Covariance and contravariance of vectors

In einem gekrümmten Koordinatensystem ist die Metrik von der Position eines Punktes abhängig. Damit sind auch die Basisvektoren an jedem Punkt des Vektorraumes verschieden. An jedem Punkt des Raumes kann man lokal Tangenten an die gekrümmten Koordinatenachsen legen. Wir können also lokal ein gekrümmtes Koordinatensystem durch ein nicht-gekrümmtes Koordinatensystem annähern. Diese Tangenten dienen als Referenz für die Basisvektoren.

Die kontravarianten Komponenten eines Vektors \vec A      erhält man dann durch Projektion auf die Koordinatenachsen     . Die kovarianten Komponenten erhält man durch Projektion auf die normalen Linien      zu den Koordinatenachsen (Hyperebenen).

Vergleiche auch mit Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren.

Der Metrik-Tensor

Der kovariante Metrik-Tensor ist wie oben hergeleitet gegeben durch die Skalarprodukte der Einheitsvektoren:

(18)
g_{mn} = \vec e_m \cdot \vec e_n \qquad\Rightarrow\qquad (g_{mn}) = \pmatrix{ \vec e_{ 1 } \cdot \vec e_{ 1 } & \vec e_{ 1 } \cdot \vec e_{ 2 } & \ldots \\ \vec e_{ 2 } \cdot \vec e_{ 1 } & \vec e_{ 2 } \cdot \vec e_{ 2 } & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots }

Der kontravariante Metrik-Tensor kann entsprechend aus den kontravarianten Basis-Vektoren berechnet werden:

(19)
g^{mn} = \vec e^{\,m} \cdot \vec e^{\,n} \qquad\Rightarrow\qquad (g^{mn}) = \pmatrix{ \vec e^{ \,1 } \cdot \vec e^{ \,1 } & \vec e^{ \,1 } \cdot \vec e^{ \,2 } & \ldots \\ \vec e^{ \,2 } \cdot \vec e^{ \,1 } & \vec e^{ \,2 } \cdot \vec e^{ \,2 } & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots }

Der kontravariante Metrik-Tensor ist die Inverse des kovarianten Metrik-Tensors:

(20)
g_{m\color{red}{s}} \, g^{\color{red}{s}n} = \delta_m^n = \begin{cases} 1 & \text{falls } m = n \\ 0 & \text{falls } m \neq n \end{cases}
wobei'
\delta_m^n ' =' 'Kronecker-Delta (Einheitsmatrix)

Der Metrik-Tensor g_{mn} lässt sich in unserem Beispiel wiefolgt berechnen:

(21)
g_{ 11 } = \vec e_1 \cdot \vec e_1 = \pmatrix{ 1 \\ 0 } \cdot \pmatrix{ 1 \\ 0 } = 1
(22)
g_{ 12 } = \vec e_1 \cdot \vec e_2 = \pmatrix{ 1 \\ 0 } \cdot \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } = \cos \theta
(23)
g_{ 21 } = \vec e_2 \cdot \vec e_1 = \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } \cdot \pmatrix{ 1 \\ 0 } = \cos \theta
(24)
g_{ 22 } = \vec e_2 \cdot \vec e_2 = \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } \cdot \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } = { \cos }^2 \theta + { \sin }^2 \theta = 1
(25)
( g_{mn} ) = \pmatrix{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \\ } = \pmatrix{ 1 & \cos\theta \\ \cos\theta & 1 \\ }

In unserem Beispiel ist der Metrik-Tensor konstant. Das heisst, seine Komponenten sind nicht von der Position \vec x abhängig. Dies ist in der AR in der Regel nicht der Fall.

Hier noch der kontravariante Metrik-Tensor, den ich mit dem Taschenrechner durch invertieren der Matrix (25) errechnet habe:

(26)
( g^{mn} ) = ( g_{mn} )^{ -1 } = \pmatrix{ 1 / \sin^2 \theta & -\cos\theta / \sin^2 \theta \\ -\cos\theta / \sin^2 \theta & 1 / \sin^2 \theta \\ }

Dual-Basis

Für jedes Koordinatensystem können zwei Mengen von gleichwertigen Basis-Vektoren definiert werden, die über den Metrik-Tensor ineinander umgerechnet werden können. Man spricht deshalb von einer Dual-Basis.

Das kartesische Koordinatensystem ist ein Spezialfall. Bei ihm sind die beiden Basen identisch. Das zeigt sich auch am Metrik-Tensor, der beim kartesischen Koordinatensystem der Einheitsmatrix entspricht. Daher spielt es beim kartesischen Koordinatensystem keine Rolle, ob ein Tensor-Index oben oder unten steht, denn kovariante und entsprechende kontravariante Komponenten sind identisch.

Die Verwendung der beiden Basen ist symmetrisch. So gilt folgender Zusammenhang zwischen einem Vektor \vec A, seinen Koordinaten und den Basis-Vektoren:

(27)
\vec A = a^m \, \vec e_m = a^1 \, \vec e_1 + a^2 \, \vec e_2 + ...
(28)
\vec A = a_m \, \vec e^{\,m} = a_1 \, \vec e^{\,1} + a_2 \, \vec e^{\,2} + ...
wobei'
a^m ' =' 'Kontravariante Komponenten des Vektors \vec A
a_m ' =' 'Kovariante Komponenten des Vektors \vec A
\vec e_m ' =' 'Kovariante Basis-Vektoren
\vec e^{\,m} ' =' 'Kontravariante Basis-Vektoren

Die Koordinaten eines Vektors können über die folgenden Skalarprodukte berechnet werden:

(29)
a^m = \vec A \cdot \vec e^{\,m}
(30)
a_m = \vec A \cdot \vec e_{\,m}

Berechnung der Dual-Basis

Wenn wir eine der beiden Dual-Basen haben, können wir über den Metrik-Tensor die andere Basis berechnen:

(31)
\vec e^{\,m} = g^{mn} \, \vec e_n
(32)
\vec e_m = g_{mn} \, \vec e^{\,n}

Den Metrik-Tensor kann man über die bereits bekannte Basis berechnen wie bei Der Metrik-Tensor gezeigt.

Wir kennen in unserem Beispiel die kovarianten Basis-Einheitsvektoren \vec e_1 und \vec e_2. Berechnen wir daraus die entsprechenden kontravarianten Basis-Vektoren nach der Formel (31):

(33)
\begin{align} \vec e^{ \,1 } & = g^{ 11 } \, \vec e_{ 1 } + g^{ 12 } \, \vec e_{ 2 } \\ & \\ & = \left( { 1 \over { \sin }^2 \theta } \right) \, \pmatrix{ 1 \\ 0 } - \left( { \cos \theta \over { \sin }^2 \theta } \right) \, \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } = \pmatrix{ { 1 \over { \sin }^2 \theta } - { { \cos }^2 \theta \over { \sin }^2 \theta } \\ -{ \sin \theta \cdot \cos \theta \over { \sin }^2 \theta } } = \pmatrix{ { 1 - { \cos }^2 \theta \over { \sin }^2 \theta } \\ - { \cos \theta \over \sin \theta } } = \pmatrix{ { { \sin }^2 \theta \over { \sin }^2 \theta } \\ -{ \cos \theta \over \sin \theta } } \quad\Rightarrow \end{align}
(34)
\vec e^{ \,1 } = \pmatrix{ 1 \\ -\cos \theta / \sin \theta }
(35)
\begin{align} \vec e^{ \,2 } & = g^{ 21 } \, \vec e_{ 1 } + g^{ 22 } \, \vec e_{ 2 } \\ & \\ & = -\left( { \cos \theta \over { \sin }^2 \theta } \right) \, \pmatrix{ 1 \\ 0 } + \left( { 1 \over { \sin }^2 \theta } \right) \, \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } = \pmatrix{ -{ \cos \theta \over { \sin }^2 \theta } + { \cos \theta \over { \sin }^2 \theta } \\ { \sin \theta \over { \sin }^2 \theta } } \quad\Rightarrow \end{align}
(36)
\vec e^{ \,2 } = \pmatrix{ 0 \\ 1 / \sin \theta }

Beachte:

Der kontravariante Basis-Vektor \vec e^{\,1} steht senkrecht auf dem kovarianten Basis-Vektor \vec e_2 und der kontravariante Basis-Vektor \vec e^{\,2} steht senkrecht auf dem kovarianten Basis-Vektor \vec e_1. Dies kann duch Bilden des Skalarproduktes dieser Paare überprüft werden. Das Skalarprodukt muss 0 ergeben, wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

Die beiden kontravarianten Basis-Vektoren haben nicht die Länge 1, sind also keine Einheits-Vektoren!

Weitere Berechnung am Beispiel

Wenn wir nun die kontravarianten Komponenten des Vektors \vec A kennen (siehe (3)):

(37)
\vec A = (a^m) = \pmatrix{ a^1 \\ a^2 } = \pmatrix{ b - c / \tan \theta \\ c / \sin \theta }

können wir seine kovarianten Komponenten über den Metrik-Tensor berechnen:

(38)
a_m = g_{mn} \, a^n

Dies entspricht der Multiplikation der Matrix (g_{mn}) mit dem Vektor (a^n):

(39)
\vec A = (a_m) = \pmatrix{ a_1 \\ a_2 } = \pmatrix{ g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \\ } \cdot \pmatrix{ a^1 \\ a^2 } = \pmatrix{ 1 & \cos \theta \\ \cos \theta & 1 } \cdot \pmatrix{ b - c / \tan \theta \\ c / \sin \theta }

Berechnen wir das:

(40)
a_1 = g_{ 11 } \cdot a^1 + g_{ 12 } \cdot a^2 = 1 \cdot \left( b - { c \over \tan \theta } \right) + \cos \theta \cdot \left( { c \over \sin \theta } \right) = b - { c \, \cos \theta \over \sin \theta } + { c \, \cos \theta \over \sin \theta } \quad\Rightarrow
(41)
a_1 = b
(42)
\begin{align} a_2 & = g_{ 21 } \cdot a^1 + g_{ 22 } \cdot a^2 = \cos \theta \cdot \left( b - { c \over \tan \theta } \right) + 1 \cdot \left( { c \over \sin \theta } \right) = \cos \theta \cdot \left( b - { c \, \cos \theta \over \sin \theta } \right) + { c \over \sin \theta } \\ & \\ & = b \, \cos \theta + \left( { -c \, { \cos }^2 \theta + c \over \sin \theta } \right) = b \, \cos \theta + \left( { c \, ( 1 - { \cos }^2 \theta ) \over \sin \theta } \right) = b \, \cos \theta + \left( { c \, { \sin }^2 \theta \over \sin \theta } \right) \quad\Rightarrow \end{align}
(43)
a_2 = b \, \cos \theta + c \, \sin \theta

Zusammengefasst ergeben sich die in (3) errechneten kovarianten Komponenten:

(44)
\vec A = (a_m) = \pmatrix{ a_1 \\ a_2 } = \pmatrix{ b \\ b \, \cos \theta + c \, \sin \theta }

Überprüfen wir noch, ob wir den Vektor \vec A erhalten, wenn wir die kovarianten Komponenten mit den kontravarianten Basis-Vektoren verknüpfen:

(45)
\begin{align} \vec A & = ( a_m \, \vec e^{ \,m } ) = a_1 \, \vec e^{ \,1 } + a_2 \, \vec e^{ \,2 } \\ & \\ & = ( b ) \, \pmatrix{ 1 \\ -\cos \theta / \sin \theta } + ( b \, \cos \theta + c \, \sin \theta ) \, \pmatrix{ 0 \\ 1 / \sin \theta } = \pmatrix{ b \\ { -b \, \cos \theta + b \, \cos \theta + c \, \sin \theta \over \sin \theta } } \quad\Rightarrow \end{align}
(46)
\vec A = \pmatrix{ b \\ c }

Überprüfen wir zum Schluss noch, ob wir den Vektor \vec A erhalten, wenn wir die kontravarianten Komponenten mit den kovarianten Basis-Vektoren verknüpfen:

(47)
\begin{align} \vec A & = ( a^m \, \vec e_m ) = a^1 \, \vec e_1 + a^2 \, \vec e_2 \\ & \\ & = ( b - c / \tan \theta ) \, \pmatrix{ 1 \\ 0 } + ( c / \sin \theta ) \, \pmatrix{ \cos \theta \\ \sin \theta } = \pmatrix{ b - { c \, \cos \theta \over \sin \theta } + { c \, \cos \theta \over \sin \theta } \\ { c \, \sin \theta \over \sin \theta } } \quad\Rightarrow \end{align}
(48)
\vec A = \pmatrix{ b \\ c }
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