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Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren

Kovarianz und Kontravarianz beschreiben wie die Werte bzw. Komponenten von geometrischen oder physikalischen Dingen mit der Wahl einer Basis ändern. In der Physik denkt man sich die Basis als eine Gruppe von Referenz-Achsen. Ändert man die Skalierung der Achsen, ändern sich die Einheiten der Dinge. Ändert man zum Beispiel die Skalierung von Metern auf Centimeter, d.h. wir dividieren die Skalierung der Referenzachsen durch 100, werden die Komponenten zum Beispiel eines Geschwindigkeitsvektors mit 100 multipliziert. Der Vektor skaliert also invers zur Skalierung der Referenzachsen. Darum nennt man dies Kontravarianz. Als Folge hat ein physikalischer Vektor oft Einheiten einer Distanz oder Distanz mal eine andere Einheit, zum Beispiel Geschwindigkeit.

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Ein Vektor v      kann beschrieben werden durch

  • tangentiale Basisvektoren (e1, e2, e3)      an die Koordinaten-Kurven (q1, q2, q3)
  • Dual-Basis oder Kovektor-Basis (e1, e2, e3)     , Normal-Vektoren an die Koordinaten-Flächen     

Beachte, dass die Basis und Dual-Basis sich im Allgemeinen nicht überlagern, ausser wenn die Basis orthogonal ist.

Im Gegensatz dazu haben Dualvektoren, auch Kovektoren genannt, typischerweise Einheiten von 1 durch Distanz oder 1 / Distanz mal eine andere Einheit. Ein Beispiel eines Dualvektors ist der Gradient, der Einheiten der räumlichen Ableitung oder Distanz−1 hat. Die Komponenten von Dualvektoren ändern auf dieselbe Weise wie die Skalierung der Referenzachsen: die Dualvektoren sind kovariant.

Damit ein Vektor, wie zum Beispiel ein Richtungsvektor oder ein Geschwindigkeitsvektor, basis-unabhängig ist, müssen die Komponenten zur Änderung der Basis contra-vary (gegen-variieren), um diese Änderung zu kompensieren. Das heisst, eine Matrix welche die Vektorkomponenten transformiert, muss die inverse der Matrix sein, welche die Basis-Vektoren transformiert. Die Komponenten eines solchen Vektors nennt man Kontravariant. Beispiele von Vektoren mit kontravarianten Komponenten sind die Position von Objekten relativ zu einem Beobachter, oder jede Ableitung der Position nach der Zeit, wie zum Beispiel Geschwindigkeit und Beschleunigung. In Einstein-Notation werden kontravariante Komponenten mit oben stehenden Indizes geschrieben wie v = vi · ei.

Damit ein Dual-Vektor, auch Kovektor genannt, basis-unabhängig ist, müssen die Komponenten zur Änderung der Basis co-vary (gleich-variieren), um den selben Kovektor zu repräsentieren. Das heisst, die Komponenten müssen mit derselben Matrix multipliziert werden wie die Basis. Die Komponenten der Dual-Vektoren nennt man Kovariant. Beispiele für kovariante Vektoren erhält man generell wenn man den Gradienten einer Funktion berechnet. In Einstein-Notation werden kovariante Komponenten mit unten stehenden Indizes geschrieben wie v = vi · ei.

Gekrümmte Koordinatensysteme, wie zylindrische oder kugelförmige Koordinaten, werden oft in physikalischen und geometrischen Problemen verwendet. Verbunden mit jedem Koordinatensystem ist eine natürliche Wahl einer Koordinaten-Basis für Vektoren an jedem Punkt des Raumes. Kovarianz und Kontravarianz sind wichtig für das Verständnis, wie die Beschreibung der Koordinaten eines Vektors ändern, wenn man von einem Koordinatensystem in eine anderes wechselt.

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Erzeugt Samstag, 19. November 2016
von wabis
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Geändert Samstag, 25. Februar 2017
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